Análise Espectral de Sinais: Sinais Periódicos, Modulação e Transformada de Fourier, Notas de aula de Engenharia de Telecomunicações

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Fundamentos de Telecomunicações

Aula 4: Análise de

Sinais

Sumário

Sinais Periódicos: Espectros de Linhas

Sinais não Periódicos: Espectros Contínuos

Modulação

Forma de onda sinusoidal

afrequênciacíclica éoinversodo período

éoperíodode repetição

desviadodaorigemdumvalor -

Representaofactodovalor máximo

frequência angular

valordepicoou amplitude

( ) cos( )

0 0 0 0 0 0 0 o

f

T

f

T

A

v t A t

       

Forma de onda sinusoidal

Representação da Sinusoide por um fasor O fasor tem comprimento A Roda no sentido retrógrado a fo rotações por segundo Faz um angulo de radianos com o eixo real Para descrever o fasor no domínio da frequência precisamos de associar A amplitude à fase 

Convenções na representação espectral  (^) Variável independente é a frequência f em Hz (ciclos/seg)  (^) W em rad/seg é uma notação sintética para 2pif  (^) Os ângulos de fase são medidos relativamente a função coseno : sin wt= cos (wt-90)  (^) A amplitude é sempre positiva. Uma amplitude negativa é absorvida na fase

• (^) – A cos(wt)= A cos (wt+-180)  (^) Os ângulos são expressos em graus embora angulos wt sejam em radianos.

Espectro unilateral do mesmo sinal ( ) 7 cos( 2. 0 .) 60 º) 4 cos(( 120 90 ) ( ) 7 cos( 40 60 º) 4 sin(( 120 )          v t t t v t t t    

Fasores Conjugados Espectro de linhas bilateral Simetria par Simetria ímpar                       e e A e e A A f t z Ae e z Ae e z z z j f t j f t o j f t j f t o o o o . 2 . 2 cos( 2 )

.. ( ) 2 1 2 2 (^2) * 2

Espectros de Linha

 (^) Constituem representações pictóricas de sinsuoides ou fasores em função do tempo  (^) Uma linha no espectro unilateral representa um cosseno real  (^) Uma linha no espectro bilateral representa uma exponencial complexa donde para obter o cosseno real se deve adicionar o fasor conjugado  (^) Qando se faz referência ao intervalo [f1,f2] num espectro bilateral tesá implícita a referência aos intervalos negativos correspondentes.  (^) O espectro de amplitude fornece bastante mais informação que o de fase

Sinais Periódicos

 Sinusóides e fasores são sinais periódicos valoresquetoma emqqintervalode tamanho Sinalfica complementamentedefinido pelos períododo sinal ( ) ( ) - de segundos Sinalinvarianteperanteqq translação temporal o o o o T T v t mT v t t T      

Sinais periódicos e potência média  vt) é voltagem aos terminais duma resistência  v(t) dá lugar a uma corrente i(t)= v(t)/R  (^) Potência instantânea dissipada na resistência sv(t)=v(t).i(t)= v^2 (t)/R  (^) Potência normalizada (R=1)  (^) Potência média dum sinal periódico    0 2 0 2 ( ) 1 ( ) T v t dt T S v t

Série de Fourier

Há pouco obtemos um sinal a partir da soma

duma constante e várias sinusoides

Vamos agora decompor um sinal periódico

em somas sinusoidas

• (^) Série de Fourier

Representação espectal da Série de Fourier n 0 arg C n

n n 0 0 0 0 0 0 0 C C C (iii)Seosinalv(t)for real

(ii)Acomponentecostanteéigualaoválormédiodo sinal

dafrequênciafundamenta l (i) Todas frequênciassãomúltiplasinteiras, harmónicas arg ( ) espectrode amplitude ( ) espectrodeamplitudecomofunção def

j T n e v t dt v t T

C

T

f C nf C nf C nf C   



Série trignométrica de Fourier

2 cos( 2 arg )

( ) valor real

1 0 n n n

v(t) C C nft C

v t

 

Espectro de amplitude simetria par Espectro de fase simetria ímpar É usual usar a série exponencial e o espectro bilateral