Modulação de Sinais: AM, FM, VSB, SSB e PM, Provas de Engenharia Elétrica

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FUNDAMENTOS DE TELECOMUNICAÇÕES

Capítulo 4

Modulação

Linear

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4.1 Introdução

ModulaÁ„o È a alteraÁ„o sistem·tica de uma forma de onda chamada portadora de acordo com a caracterÌstica de outra forma de onda, o sinal modulante ou mensagem. Estudaremos, neste e nos capÌtulos seguintes, diversos tipos de modulaÁ„o entre eles, a modulaÁ„o linear (AM, AM-SP, SSB, VSB, etc..), a modulaÁ„o exponencial (FM, PM). Tanto a modulaÁ„o linear como a modulaÁ„o exponencial s„o tipos de modulaÁ„o de onda contÌnua, isto È, a portadora È uma senÛide. A modulaÁ„o por pulsos, na qual a portadora È um trem de pulsos periÛdicos, pode parecer com modulaÁ„o linear ou modulaÁ„o exponencial ou nenhuma, dependendo do caso.

4.2 Sinais Passa-Faixa e Sistemas

Um sinal passa-faixa · aquele cujo espectro est· concentrado nas vizinhanÁas de uma freq¸Íncia ìfp ≠ 0î, chamada freq¸Íncia de portadora.

Figura 4.2.1 – Sinal passa-faixa Para o sinal da Figura 4.2.1: v(t) = R(t).cos[Wpt + ∅∅∅∅ (t) R(t) (^) ≥≥≥≥ 0 (1)

R(t) = envoltÛria

funÁıes do tempo

∅(t) = fase

Por definiÁ„o a envoltÛria È n„o negativa, isto È, as amplitudes negativas s„o absorvidas pela adiÁ„o de ± 180 ‡ fase ∅(t).

fp Tp

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V(f)=^12 [V (^) i (f-fp)+V (^) i (f+fp)]+ (^) 2 j^ [V (^) q(f-f (^) p)-V (^) q(f+f (^) p)] (5)

Da Figura 4.2.2 (b), podemos ainda escrever:

R(t) = v^ i (t)+^ vq^2 (t) (6)

∅∅∅∅ (t) = arctg (^) v(t)

v (t) i

q (7)

4.3 Sistemas e Sinais Equivalentes Passa-Baixa

Consideremos a funÁ„o de freq¸Íncia do sinal passa-faixa da Figura 4.3.1. Seu equivalente passa-baixa È definido como:

Figura 4.3.1 – Sinal passa-faixa e seu equivalente passa-faixa. V (^) PB (f) = V(f + fp). u(f + f (^) p) (8) Para determinarmos a express„o do equivalente passa-baixa no domÌnio do tempo partimos da equaÁ„o (5), substituindo ìfîpor ìf + fp î.

V(f + f p) =^12 [Vi (f) + V i (f + 2f p)] + 2 j^ [Vq(f) ñ Vq(f + 2f p)]

V(f + f p).μ(f + f p) = 21 Vi (f) + 2 j^ .Vq(f) = V PB(f)

Logo, voltando ao domÌnio do tempo:

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v (^) PB = (^) 21 v (^) i (t) + (^) 2 j^ .v (^) q(t) (9) Usando as equaÁıes (2) e (3) V (^) PB = (^) 21 R(t).e j ∅∅∅∅ (t)^ (10)

Como v(t) = R(t).cos[W pt + ∅(t)], temos

v(t) = 2Re [v (^) PB (t).e jW^ pt^ (11) Que È a express„o de um sinal passa-faixa em funÁ„o do seu equivalente passa- baixa. De maneira similar podemos obter: v(f) = VPB (f-f (^) *p) + V PB (f + f (^) p) (12)

Os valores das expressıes (8), (9), (11) e (12) s„o aplicados tanto a sinais como sistemas passa-baixa. Assim sendo, se H(f) È uma funÁ„o de transferÍncia passa-faixa, a funÁ„o de transferÍncia passa-baixa equivalente, ser·:

H (^) PB (f) = H(f + fp). μμμμ (f + f (^) p) (13)

h (^) PB(t) = F -1[HPB(f)]

supondo ìx(t)î um sinal passa-faixa na entrada de um sistema passa-baixa teremos na saÌda:

Y(f) = H(f).X(f)

Do mesmo modo: Y (^) PB (f) = HPB (f).X (^) PB (f) (14) Que satisfaz o teorema da convoluÁ„o: Y (^) PB (f) = HPB (f).X (^) PB (f) (15) Desta forma um problema de an·lise de um sistema ou sinal passa-faixa pode ser analisado em termos do passa-baixa equivalente.

h PB(t)

HPB(f)

x PB(t)

XPB(f)

y PB(t) = h PB(t) * x PB(t)

YPB(f) = H PB(f) * XPB(f)

Figura 4.3.2 – Sistema passa-baixa equivalente

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Como conseq¸Íncia imediata pode-se concluir que ìBanda-Largaî requer freq¸Íncia de portadora elevada. A tabela abaixo mostra valores numÈricos associados a esta asserÁ„o, listando algumas freq¸Íncias de portadoras e as faixas nominais associadas, pressupondo-se que B ≅ 0,02fp. Pode-se conseguir bandas largas, porÈm com substancial aumento de custo.

BANDA DE FREQÜÊNCIA FREQ. DE PORTADORA LARGURA DE BANDA Ondas longas de r·dio 1000 kHz 2 kHz Ondas curtas de r·dio 5 MHz 100 kHz VHF 100 MHz 2 MHz Microondas 5 GHz 100 MHz Ondas MilimÈtricas 100 GHz 2 GHz Faixa tÌpica 5 x 10^14 Hz 1013 Hz

4.5 Modulação em Banda Lateral Dupla “AM” e “AM-SP”

A modulaÁ„o em banda lateral dupla tem duas formas usuais. A primeira delas È a modulaÁ„o em amplitude convencional ìAMî, largamente empregada pelas estaÁıes de r·dio ìBroadcastingî e, a segunda, È a modulaÁ„o em amplitude com portadora suprimida ìAM-SPî. Vamos considerar o sinal modulante ou mensagem ìx(t)î com banda limitada em ìWî, de tal forma que:

G (^) x (f) ≅≅≅≅ 0 |f| > W X(f) ≅≅≅≅ 0

(16)

A Figura 4.5.1 mostra um sinal modulante e sua densidade espectral de energia tÌpica para um sinal de voz no qual ìWî È considerado em torno de ì3 a 4 kHzî.

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Figura 4.5.1 – (a) Espectro de sinal modulante. (b) Densidade espectral de energia típica para sinal de voz

A caracterÌstica principal de um sinal AM È que a envoltÛria da portadora modulada tem a forma do sinal modulante. Consideremos a Figura 4.5.2, na qual:

Figura 4.5.2 – Sinal AM Verifica-se que o maior nÌvel da portadora n„o modulada Ap , sofre uma variaÁ„o proporcional ao sinal modulante A (^) m.cosWmt. Definiremos uma relaÁ„o chamada de Ìndice de modulaÁ„o como sendo a relaÁ„o entre a m·xima amplitude do sinal modulante e a amplitude da portadora. m = p

m A

A (^) 0 < m ≤≤≤≤ 1 (17)

Quando m = 0 n„o h· modulaÁ„o e o sinal modulado se confunde com a portadora. Quando m = 1 temos 100% de modulaÁ„o e a amplitude da portadora ir· variar de ì0î a ì2.Ap î. Para m > 1 teremos sobremodulaÁ„o, que acarretar· uma revers„o de fase da portadora e distorÁ„o da envoltÛria acarretando alteraÁ„o na mensagem.

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2

mA (^) p 2

mA (^) p

f (^) p ñ f (^) m f (^) p f (^) p + f (^) m Figura 4.5.3 – Espectro de um sinal modulado em amplitude por tom de freqüência “fm << f (^) p”.

Para um sinal modulante x(t) com banda limitada em ìWî. x (^) p(t) = A (^) p.[1+m.x(t)].cos Wpt (20)

X (^) p(f)= A 2 p^. δδδδ (f-fp) + A 2 p^ δδδδ (f+fp)+ mA 2 p^ .X(f-f (^) p)+ mA 2 p^ .X(f-f (^) p) (21)

Duas propriedades do espectro AM podem ser notadas facilmente: 1) H· simetria em torno da resson‚ncia, sendo a amplitude par e a fase Ìmpar. A porÁ„o ‡ direita do espectro È chamada banda lateral superior (BLS) e a porÁ„o ‡ esquerda de banda lateral inferior (BLI). 2) A largura da banda transmitida BT requerida para um sinal AM È exatamente duas vezes a largura da banda do sinal modulante (mensagem).

Figura 4.5.5 – Espectro de sinal AM Com um tom de modulaÁ„o, uma onda AM pode ser tratada como uma soma de fasores, uma para cada linha espectral.

X (^) p(f) A (^) p

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(^1) mA (^) p

A (^) p fm fm R(t)

f (^) p 21 mA (^) p Figura 4.5.6 – Diagrama fasorial de um sinal AM

O fasor da portadora gira com uma velocidade fp. O fasor da banda lateral gira a uma velocidade ìfmî em relaÁ„o a portadora. Note que a intensidade (comprimento) das linhas laterais que representam as bandas laterais s„o idÍnticas bem como a defasagem com a portadora, resultando um fasor colinear com o fasor da portadora. Observando o esquema da Figura 4.5.3 conclui-se que:

2.Am = (^) 2

A (^) m·x − Amin (23)

2.A (^) p = A (^) máx – A (^) m. 2 (24) Usando (23) em (24) teremos:

A (^) p = (^) 4

A (^) m·x + Amin (25)

da equaÁ„o (23):

A (^) m = (^) 4

A (^) m·x − Amin (26)

Logo:

m = p

m A

A = m·x min

m·x min A A

A A

− (27)

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2

1 m I

I 2

2

p

t (^) = + ÷

÷ ø

ö ç

ç è

æ (31)

4.8 Modulação por Vários Tons

Normalmente na pr·tica a modulaÁ„o de uma portadora È realizada por v·rios tons senoidais simultaneamente. Seja A 1 , A 2 , A 3 , etc., as tensıes modulantes simult‚neas. Ent„o a tens„o modulante total ìAt î ser· igual a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada onda individual:

At = A^1 +A 2 +A 3 +...

Dividindo ambos os lados por ìAp î teremos:

mt = m^ m m ...

2 3

2 2

2 1 +^ + +

(32)

4.9 AM sem Portadora AM-SP

Devido ao elevado consumo de potÍncia, ‡s vezes somos levados a suprimir do sinal AM a freq¸Íncia da portadora resultando o AM com portadora suprimida. O sinal AM-SP toma ent„o a seguinte caracterÌstica: x (^) p(t) = x(t).A (^) p.cos Wpt (33)

A envoltÛria do sinal: R(t) = x(t).A p

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Figura 4.9.1 – Sinal AM-SP no domínio do tempo

Como a portadora foi suprimida, a potÍncia transmitida È apenas a que est· contida nas bandas laterais. Logo, a transmiss„o em AM-SP pode ser feita com grande economia de potÍncia.

P t = 21 .m^2 .P p

O espectro AM-SP È simplesmente o espectro da mensagem deslocada.

X (^) p(f) = A 2 p^ .[X(f-f (^) p) + X(f + fp)] (35)

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(a) (b)

Figura 4.10.1 – (a) Modulador de produto; (b) Modulador não linear.

A Figura 4.10.1 mostra dois tipos de moduladores. Um utilizando um multiplicador, sendo por isto chamado modulador de produto. A translaÁ„o em aparece pela multiplicaÁ„o por ìcos Wp tî. No outro È utilizado um elemento n„o linear, que pode ser do tipo ìLei quadr·ticaî ou um circuito chaveado como veremos logo a seguir. Se o elemento linear tiver a seguinte caracterÌstica de transferÍncia.

v (^) out = a 1. v (^) in + a 2 v (^) in^2 (36)

Omitindo os termos de ordem mais elevada estaremos tratando com um elemento que segue uma lei quadr·tica. Se:

v in = x(t) + cos W pt

v out = a1.[x(t) + cos W p t] + a2.[x(t) + cos W pt]^2

v out =a 1.x(t)+a 2.x 2 (t)+a 2cos 2 Wp(t)+a 1.[1+ ÷÷

ø

ö ççè

æ 1

2 a

2a (^) .x(t)].cosWpt (37)

O ˙ltimo termo È o AM desejado, com: A (^) p = a 1 m = (^) ÷÷ ø

ö ççè

æ 1

2 a

2a (^) (38)

No domÌnio da freq¸Íncia teremos o seguinte espectro unilateral.

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Figura 4.10.2 – Espectro do sinal na saída do elemento não linear.

Um exemplo de um modulador com lei quadr·tica È dado pelo circuito que segue, onde V fornece a polarizaÁ„o ao FET que est· na regi„o de saturaÁ„o onde seu comportamento segue uma lei quadr·tica, o sintonizado RLC paralelo age como um filtro passa-faixa sintonizado em ìfp î.

Figura 4.10.3 – Modulador não linear utilizando FET

Devido a alta precis„o de filtragem requerida, os moduladores de lei quadr·tica s„o usados principalmente como moduladores de baixo nÌvel, isto È, em nÌveis de potÍncia abaixo do valor transmitido. Para se evitar o uso de amplificadores, devemos usar moduladores de alto nÌvel. Estes s„o obtidos com o circuito da Figura 4.10.4 do tipo chaveado.

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Um exemplo È dado na Figura 4.10.6 com um elemento n„o linear

Figura 4.10.6 – Modulador não linear para AM-SP

Para um elemento n„o linear com v (^) out = av (^) in^2 (40)

v in = x(t) + cos W pt

v out = a[x(t) + cos W pt]^2

v out = a.x 2 (t) + 2a.x(t).cos Wpt + a.cos 2 W pt

ApÛs o filtro:

x (^) p(t) = 2a.x(t).cos W (^) pt AM-SP (41)

Infelizmente, na pr·tica, os moduladores com dispositivos lineares perfeitos s„o raros, de modo que um sinal AM-SP È obtido com dois moduladores AM, arrumados numa configuraÁ„o balanceada, a fim de cancelar a portadora conforme mostra a Figura 4.10.7.

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Figura 4.10.7 – Modulador balanceado

4.11 Modulação em SSB

As bandas laterais superior e inferior de sinais AM e AM-SP s„o unicamente relacionadas pela simetria ao redor da freq¸Íncia portadora. Sabendo-se a amplitude e a fase de uma, obtemos a outra. Ent„o, a banda transmitida pode ser suprimida de uma das bandas laterais no espectro de AM produz SSB. A banda passante obviamente ser·: BT = W (42)

Podemos ter um sinal SSB em banda lateral superior ou inferior. No primeiro caso recebe a designaÁ„o de SSSB e, no segundo, ISSB (ver Figura 4.11.1). A potÍncia total transmitida por um sinal SSB È a potÍncia contida em uma das bandas do AM. Logo:

Pt = (^) 4

m 2 .Pp (43)