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Revista Brasileira de Ensino de F´ısica, v. 27, n. 2, p. 271 - 282, (2005) www.sbfisica.org.br
Hist´oria da F´ısica
Bose e Einstein: Do nascimento da estat´ıstica quˆantica
`a condensa¸c˜ao sem intera¸c˜ao I
(Bose and Einstein: From the birth of quantum statistics to the condensation without interaction I)
S´ılvio R. Dahmen^1
Instituto de F´ısica da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil Recebido em 19/11/2004; Aceito em 12/1/
Em 1924, motivado por um trabalho de S. Bose sobre a radia¸c˜ao do corpo negro, A. Einstein escreveu uma s´erie de trˆes artigos acerca das propriedades termodinˆamicas de um g´as ideal quˆantico. No segundo destes ar- tigos, publicado em janeiro de 1925, ele previu o fenˆomeno da “condensa¸c˜ao” dos ´atomos n˜ao interagentes no estado fundamental a partir de uma certa densidade cr´ıtica do g´as, fenˆomeno este que veio a ser posteriormente conhecido como Condensa¸c˜ao de Bose-Einstein (CBE). Neste primeiro artigo discuto detalhadamente o trabalho de Bose e as implicac¸c˜oes do m´etodo por ele desenvolvido sobre o trabalho de Einstein. Em um artigo posterior discutir-se-´a o trabalho de Einstein. Palavras-chave: mecˆanica estat´ıstica, condensa¸c˜ao de Bose-Einstein, hist´oria da F´ısica.
In 1924, motivated by a work of S. Bose on the black-body radiation problem, A. Einstein wrote a series of three articles where he derived the thermodynamic properties of an ideal quantum gas. In the second article, published in January 1925, Einstein predicted the “condensation” of the noninteracting atoms into the ground state after a certain density threshold had been reached. This phenomenon came to be known as Bose-Einstein Condensation (BEC). In this article, the first of a sequel, I discuss Bose’s paper in detail and the implications the method he developed had on Einstein’s work. In a forthcoming article Einstein’s contributions will be discussed. Keywords: statistical mechanics, Bose-Einstein condensation, history of Physics.
1. Introdu¸c˜ao
Em 1924 o jovem f´ısico indiano Satyendra Nath Bose enviou a Albert Einstein uma c´opia do trabalho intitu- lado Planck’s Law and The Light Quantum Hypothesis no qual ele obtivera a F´ormula de Planck para a ra- dia¸c˜ao do corpo negro^2. Na carta enviada, Bose solici- tava a Einstein que, em julgando seu trabalho merit´orio, providenciasse para que seu artigo fosse publicado na Zeitschrift f¨ur Physik, da qual Einstein era editor^3. Ciente da importˆancia do trabalho de Bose, Einstein traduziu-o e fˆe-lo publicar, acrescentando ao final de sua tradu¸c˜ao o coment´ario: “... A dedu¸c˜ao de Bose para a f´ormula de Planck se me afigura como um importante avan¸co. O m´etodo aqui utilizado produz tamb´em uma teoria quˆantica do g´as ideal, como mostrarei em outro lugar”. Einstein veio de encontro a esta promessa com
uma s´erie de trˆes artigos nos quais aplicava o m´etodo de Bose a um g´as de mol´eculas maci¸cas n˜ao interagentes. Mas em que consistia este m´etodo e porque, na vis˜ao de Einstein, ele representaria um avan¸co?
O problema da radia¸c˜ao t´ermica do corpo negro pode ser colocado, sem qualquer sombra de d´uvida, entre os mais importantes na hist´oria da evolu¸c˜ao da F´ısica, pois ele deu in´ıcio a revolu¸c˜ao quˆantica. Como bem frisou o historiador da ciˆencia J. Renn em artigo recente [1], a supera¸c˜ao de paradigmas na ciˆencia se d´a quando problemas de ´areas fronteiri¸cas da ciˆencia cl´assica se chocam – no caso do corpo negro, a eletrodinˆamica de Maxwell e a termodinˆamica – e ent˜ao, para que esta supera¸c˜ao seja concretizada, uma mudan¸ca na estruturas dos chamados n´ıveis de conheci- mento se faz necess´aria. Conceitos antigos devem ser (^1) E-mail: [email protected].
(^2) Este trabalho havia sido rejeitado pelo peri´odico inglˆes Philosophical Magazine. Cf. A. Pais, op. cit.. Ele foi publicado em Zeit. Phys. 26 , 178 (1924), sob o t´ıtulo Plancks Gesetz und die Lichtquantenhypothese. (^3) A carta de Bose inicia-se assim: “Respeitado Sr., tomei a iniciativa de enviar-lhe o artigo incluso para sua aprecia¸c˜ao. Estou ansioso por saber o que o Sr. acha dele. O Sr. ver´a que arrisquei-me a deduzir o coeficiente 8 πν^2 /c^3 na lei de Planck independente- mente da eletrodinˆamica cl´assica.”.
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reavaliados e a eles dada uma nova interpreta¸c˜ao. Um novo edif´ıcio ´e erigido sobre estruturas pr´e-existentes. Esta perspectiva pode ser bem ilustrada no trabalho de Planck: com sua teoria para a radia¸c˜ao da cavi- dade do corpo negro ele conseguiu uma f´ormula que interpolava os resultados experimentais de O. Lummer, E. Pringsheim, H. Rubens e F. Kurlbaum de maneira muito precisa. A teoria de Planck, que foi constru´ıda sobre uma brilhante combina¸c˜ao dos trˆes pilares fun- damentais da F´ısica do s´eculo XIX – a mecˆanica, a termodinˆamica e a eletrodinˆamica – deixa transpare- cer o trabalho de um mestre. Por´em, ao final de seu trabalho, Planck se viu obrigado a introduzir a id´eia da quantiza¸c˜ao da energia de troca entre a radia¸c˜ao e as paredes do corpo negro, criando assim a id´eia do quantum de energia, algo at´e ent˜ao impens´avel dentro dos cˆanones da f´ısica cl´assica. Faltou a Planck por´em o passo crucial da interpreta¸c˜ao, na medida em que sendo ele um f´ısico de forma¸c˜ao cl´assica, a hip´otese da quan- tiza¸c˜ao da energia parecia antes um mal necess´ario e n˜ao um princ´ıpio fundamental [2]. Alguns anos mais tarde, mais precisamente em 1916, Einstein publica um trabalho intitulado Zur Quantentheorie der Strahlung (Acerca da Teoria Quˆantica da Radia¸c˜ao) no qual, no- vamente, o problema do corpo negro volta `a tona [3]. Usando id´eias de sua revolucion´aria teoria dos Quanta de Luz de 1905 bem como dos trabalhos de Bohr de 1913, Einstein conseguiu, a menos de um fator indeter- minado, reproduzir os resultados de Planck usando a ent˜ao rec´em-criada mecˆanica quˆantica. Mas esse fator indeterminado era justamente uma pe¸ca fundamental na equa¸c˜ao de Planck e Einstein ent˜ao se viu obrigado a recorrer a um argumento cl´assico para conseguir ajustar sua equa¸c˜ao. Quando Bose envia sua carta oito anos de- pois, junto a ela vai uma nova teoria: considerando que a radia¸c˜ao nada mais era que um g´as de f´otons e por- tanto pass´ıvel de um tratamento segundo os m´etodos da mecˆanica estat´ıstica de Maxwell, Boltzmann e Gibbs, Bose reformulou, de maneira inovadora, as leis desta ciˆencia de modo a nela incorporar as id´eais da mecˆanica quˆantica e reproduzir, assim, o resultado de Planck sem recorrer a quaisquer elementos da f´ısica cl´assica. Eins- tein percebeu de imediato a importˆancia do trabalho de Bose. E n˜ao apenas isso: se o m´etodo de Bose tivera ˆexito com um g´as de part´ıculas n˜ao maci¸cas, a extens˜ao de suas id´eias a um g´as de part´ıculas com massa n˜ao interagentes deveria ser n˜ao apenas fact´ıvel mas algo inevit´avel – uma teoria quˆantica do g´as ideal! Logo na introdu¸c˜ao do segundo artigo da s´erie de trˆes que publicou, Einstein afirma: “... Se a dedu¸c˜ao de Bose para a F´ormula da Radia¸c˜ao de Planck for considerada seriamente, n˜ao se poder´a ent˜ao passar ao largo de tal teoria para o g´as ideal.. .” [4].
Vistos em conjunto, os trabalhos de Bose e Einstein restringiram-se assim n˜ao apenas na reprodu¸c˜ao de um resultado j´a conhecido (no caso de Bose) ou na extens˜ao de um m´etodo a um problema diferente (no caso de
Einstein), mas antes sim em dar a mecˆanica estat´ıstica uma nova roupagem conceitual, mudando os alicerces sobre os quais esta ciˆencia estava fundada. No presente trabalho discuto detalhadamente o tra- balho de Bose na forma de um prel´udio ao segundo artigo de Einstein, que ´e o objetivo principal deste es- tudo e que ser´a discutido detalhadamente em um artigo subseq¨uente [5]. A pergunta que devemos nos fazer por´em ´e a seguinte: por qual motivo seria este segundo artigo de Einstein t˜ao relevante e, na opini˜ao de muitos histori- adores da ciˆencia, o mais importante dos trˆes artigos por ele escritos sobre o tema, a ponto de se tornar o foco de nossas aten¸c˜oes? Baseado nas equa¸c˜oes deduzi- das no primeiro artigo, Einstein prevˆe que, ao atingir uma certa densidade cr´ıtica, ocorrer´a uma condensa¸c˜ao das part´ıculas n˜ao interagentes no estado fundamen- tal, a chamada Condensa¸c˜ao de Bose-Einstein (CBE), de maneira an´alogoaquela pela qual um g´as real de part´ıculas interagentes se condensa [6]. Mas por ser uma “Condensa¸c˜ao sem Intera¸c˜ao” o fenˆomeno pre- visto por Einstein s´o pode ocorrer devido a um meca- nismo f´ısico inteiramente novo e que, posteriormente, entendeu-se como sendo de origem puramente quˆantica: o surgimento de correla¸c˜oes entre as part´ıculas em fun¸c˜ao das propriedades de simetria da fun¸c˜ao de onda do sistema. Nos ´ultimos anos este tema tem se tornado cada vez mais relevante: em 1995 os grupos de W. Ket- terle no MIT e de E.A. Cornell e C.E. Wiemann no JILA lograram criar condensados a partir de vapores de s´odio e rub´ıdio, confinados em armadilhas magn´eticas e esfriados a temperaturas extremamente baixas, da or- dem de nanokelvin [7, 8]. A importˆancia destes ex- perimentos se deve n˜ao apenas ao estado-da-arte das t´ecnicas experimentais empregadas, t´ecnicas estas que tiveram um grande avan¸co na d´ecada de 80, como o res- friamento ´optico e as armadilhas opto-magn´eticas [9]: ela se deve ao fato que estes experimentos mostraram, pela primeira vez e de maneira inequ´ıvoca, a existˆencia de condensados. Embora o tema j´a fosse antigo e n˜ao muito tempo ap´os o trabalho de Einstein Fritz London tivesse argumentado que a superfluidez do 4 He repre- sentaria uma manifesta¸c˜ao da CBE, a “certifica¸c˜ao” experimental da presen¸ca de um condensado na fase su- perfluida do h´elio s´o foi obtida em 1995 [10]. Seja por nos remeter a quest˜oes fundamentais da f´ısica quˆantica, seja por suas poss´ıveis aplica¸c˜oes experimentais, ´e cada vez maior o n´umero de artigos na ´area e tamb´em o de estudantes que logo nos semestres iniciais dos cursos de F´ısica entram em contato com o assunto. Para aqueles interessados em estudar a CBE o artigo de V. Bagnato [9], onde os aspectos te´oricos e experimentais s˜ao dis- cutidos de maneira detalhada, ´e um excelente ponto de partida. H´a tamb´em exposi¸c˜oes em um n´ıvel mais avan¸cado como o artigo de revis˜ao de A. Leggett [11] ou mais recentemente de A.F.R. de Toledo Piza [12]. O tema tamb´em j´a h´a muito faz parte dos livros-texto de
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ou seja, a raz˜ao entre os coeficientes ´e numericamente igual ao coeficiente de emiss˜ao de um corpo idealizado
- uma constante universal. O argumento impec´avel de Kirchhoff, segundo o qual se (2) n˜ao fosse verdadeira poder-se-ia ent˜ao construir um perpetuum mobile do se- gundo tipo (em outras palavras, um dispositivo que vi- olasse a segunda lei da termodinˆamica), deu in´ıcio a uma s´erie de trabalhos cujo objetivo era o de deter- minar as propriedades f´ısicas deste corpo padr˜ao que, embora idealizado, podia ser bem aproximado por uma cavidade met´alica revestida de platina. Aqui uma das grandezas de interesse (por ser proporcional ao espec- tro de radia¸c˜ao emitido) ´e a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao ρ (T, ν), definida como a densidade volum´etrica de energia da radia¸c˜ao de frequˆencia entre ν e ν + d ν, dentro da cavidade. Determinar esta grandeza para todo o espectro poss´ıvel de frequˆencias e temperaturas tornou-se um dos principais problemas da ´epoca. As- sim, em especial a partir de 1896, atrav´es de uma s´erie de medidas experimentais realizadas no Physikalisch- Technische Reichsanstalt de Berlin por O. Lummer, E. Pringsheim, H. Rubens e F. Kurlbaum foi poss´ıvel de- terminar, de maneira inequ´ıvoca, a dependˆencia de ρ em T e ν (esquematicamente representada pela curva s´olida na Fig. 1). Pelo lado te´orico, havia dois resul- tados que se aplicavam aos limites de altas e baixas frequˆencias respectivamente
ρ(T, ν) = α ν^3 e−^
βνT Lei de Wien-Planck (3)
ρ(T, ν) = 8 π ν^2 c^3
kB T Lei de Rayleigh-Jeans (4)
Nestas express˜oes α e β eram constantes ajust´aveis e c e kB representavam a velocidade da luz e a constante de Boltzmann, respectivamente. Estas duas leis por´em n˜ao eram capazes de explicar o regime de frequˆencias intermedi´arias.
ν
ρ ( ν, Τ )
Wien-Planck Experimental Rayleigh-Jeans
Figura 1 - Representa¸c˜ao esquem´atica da forma da curva experi- mental para a densidade de energia da radia¸c˜ao do corpo negro ρ(ν, T ) para um T fixo e as respectivas aproxima¸c˜oes de Wien- Planck (altas frequˆencias) e Rayleigh-Jeans (baixas frequˆencias).
N˜ao obstante a boas interpola¸c˜oes, a f´ormula de Wien-Planck era insustent´avel do ponto de vista te´orico
em fun¸c˜ao de premissas adotadas, al´em de levar a uma divergˆencia para o regime de baixas frequˆencias (a famosa cat´astrofe do infravermelho). Embora, sob o ponto de vista te´orico, a dedu¸c˜ao de Rayleigh e Jeans estivesse assentada sobre bases mais s´olidas, a lei se aplicava somente ao regime de baixas frequˆencias e leva- va tamb´em a uma divergˆencia. Coube a Planck deduzir a f´ormula que tinha por limites os resultados acima e que interpolava corretamente a curva experimental. O trabalho de Planck, baseado num modelo mecˆanico em que ele tratava as paredes do corpo negro como formado de grande n´umero de osciladores interagindo com a ra- dia¸c˜ao eletromagn´etica, levou-o a concluir pela quan- tiza¸c˜ao das energias de troca (absor¸c˜ao e emiss˜ao) entre os osciladores e o campo eletromagn´etico, algo at´e ent˜ao inimagin´avel segundo os cˆanones da f´ısica cl´assica. O argumento de Planck para chegar a uma curva que interpolasse os resultados experimentais baseou-se em uma combina¸c˜ao de mecˆanica, eletrodinˆamica e ter- modinˆamica. Da primeira veio o modelo das paredes do corpo negro formadas por osciladores harmˆonicos (“ressonadores”) que interagiam com a radia¸c˜ao eletro- magn´etica segundo a teoria de Maxwell. Da ter- modinˆamica Planck faz uso do conceito de equil´ıbrio termodinˆamico entre os osciladores e a radia¸c˜ao na cavi- dade, que lhe permite tecer considera¸c˜oes sobre a maxi- miza¸c˜ao da Entropia do sistema. A chave final vem da mecˆanica estat´ıstica cl´assica, que Planck usa para relacionar a entropia dos osciladores com a da radia¸c˜ao eletromagn´etica e portanto com a densidade de energia ρ desta ´ultima. O primeiro passo foi a equa¸c˜ao, obtida por Planck em 1899, que relacionava a densidade de energia de ra- dia¸c˜ao ρ (ν, T ) com a energia m´edia dos osciladores U (ν, T ) na forma
ρ (ν, T ) = 8 πν^2 c^3
U (ν, T ) (5)
onde ν representava agora n˜ao apenas a frequˆencia da radia¸c˜ao mas tamb´em a frequˆencia de oscila¸c˜ao dos “ressonadores” lineares que formavam as paredes do corpo negro. Comparando esta rela¸c˜ao com as Eqs. (3) e (4) ´e poss´ıvel isolar T de modo a obter uma rela¸c˜ao do tipo T = T (U ). Mas da termodinˆamica sabemos que T −^1 = ∂S/∂U e portanto ´e poss´ıvel calcular a entropia dos osciladores por meio de uma integra¸c˜ao e chegar `a express˜ao
S = −
U
βν
ln
U
Aeν
para o caso em que utilizamos a Lei de Wien-Planck. Nesta equa¸c˜ao A = αc^3 / 8 π, e ´e a base do logar´ıtmo neperiano. Como j´a mencionado, para um sistema em equil´ıbrio termodinˆamico a entropia S deve ser m´axima e sua concavidade (dada pela derivada segunda de S com rela¸c˜ao a U ) deve ser negativa, para que
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o equil´ıbrio seja est´avel. Derivando ent˜ao a Eq. (6) Planck obteve
∂^2 S ∂U
2 =^ −^
constante U
Aplicando o mesmo m´etodo `a f´ormula de Rayleigh- Jeans obt´em-se
∂^2 S ∂U
2 =^ −^
constante U
2.^ (8)
Se o corpo negro e a radia¸c˜ao est˜ao em equil´ıbrio ter- modinˆamico, ent˜ao a quest˜ao que se coloca ´e a de que maneira podemos combinar estas duas f´ormulas, uma vez que, embora se apliquem a diferentes regimes de frequˆencia, ambas devem estar conectadas continua- mente. Planck prop˜oe em seu primeiro artigo uma ex- press˜ao que interpola estes dois resultados na forma
∂^2 S ∂U
2 =^ −^
U (U + b)
onde b ´e uma constante a ser determinada. Integrando a express˜ao acima e utilizando a Eq. (5) chega-se final- mente `a
ρ =
B
e
β T (^) − 1
Havia ainda duas constantes a serem determinadas (B e β) e para isto Planck recorre `a mecˆanica estat´ıstica de Boltzmann atrav´es da aplica¸c˜ao da famosa rela¸c˜ao S = kB ln Ω, que relaciona a entropia (uma grandeza macrosc´opica) com o n´umero de microestados con- dizentes com os v´ınculos do sistema. Este c´alculo leva- nos a famosa f´ormula de Planck para a densidade de energia da radia¸c˜ao do corpo negro
ρ (ν, T ) =
8 πν^2 c^3
hν e khν B T^ − 1
onde = hν representava a energia de um oscilador de frequˆencia ν e h uma constante por ele chamada de Wirkungsquantum (quantum de a¸c˜ao). Planck ent˜ao conclui que os osciladores s´o poderiam emitir ou absorver pacotes de energia que fossem m´ultiplos desta constante fundamental. Surgia assim na F´ısica a quan- tiza¸c˜ao da energia.
3. Bose e a busca por um caminho logi-
camente justific´avel
Entre o trabalho de Bose e Planck h´a um hiato de pouco mais de duas d´ecadas. N˜ao obstante a f´ormula de Planck reproduzisse os resultados experimentais obser- vados, sua dedu¸c˜ao era, em grande medida, baseada em elementos da f´ısica cl´assica. Pela perspectiva de Bose, a dedu¸c˜ao da f´ormula de Planck n˜ao era assim “sufi- cientemente justificada do ponto de vista l´ogico”. Com
rela¸c˜ao a Einstein, Bose fala em seu artigo sobre a ex- cepcionalmente elegante dedu¸c˜ao do f´ısico alem˜ao e da incorpora¸c˜ao, por parte daquele, das id´eias da mecˆanica de Bohr em sua l´ogica, n˜ao deixando por´em de apontar o fato que ao final de seu trabalho Einstein se vira obri- gado a recorrer a um argumento cl´assico para chegar ao resultado correto. Para melhor entender a quest˜ao podemos percorrer rapidamente o passos seguidos por Einstein neste trabalho, que se resumem a cinco: (1) Discretiza¸c˜ao dos n´ıveis de energia dos osciladores (mol´eculas): Einstein empresta, da teoria de Bohr, o fato que do ponto de vista da mecˆanica quˆantica, mol´eculas podem estar em qualquer um dos estados discretos Z 1 , Z 2 ,... , Zn aos quais est˜ao associadas energias discretas ε 1 , ε 2 ,... , εn (“... excetuando-se o movimento translacional e de orienta¸c˜ao”). (2) Distribui¸c˜ao de estados dos osciladores: se os os- ciladores nas paredes do corpo negro est˜ao em equil´ıbrio termodinˆamico com a radia¸c˜ao, ent˜ao a distribui¸c˜ao canˆonica de Boltzmann e Gibbs para estados do sistema se aplica e leva a uma frequˆencia relativa Wn de mol´eculas no estado Zn dada por Wn = pn exp (−εn/kB T ) onde pn “... pode ser chamado de peso estat´ıstico do estado e ´e um n´umero caracter´ıstico da mol´ecula, quer dizer, de seu n-´esimo estado quˆantico e independente da temperatura”.
(3) A hip´otese da troca de energia por radia¸c˜ao. Uma mol´ecula pode passar de um estado Zm para um estado Zn de trˆes modos, a saber: a) pela emiss˜ao espontˆanea de radia¸c˜ao, que ocorre com uma probabilidade, por unidade de tempo, dada por dW = Anmdt; b) pela emiss˜ao in- duzida pelo campo eletromagn´etico cuja taxa de ocorrˆencia depende da densidade de energia ρ da radia¸c˜ao e portanto dW = Bnmρdt; ou, final- mente, c) pela absor¸c˜ao de radia¸c˜ao com taxa dW = Bnm ρdt. Os parˆametros Anm, etc. n˜ao s˜ao explicitados por Einstein mas representam simplesmente “...uma constante caracter´ıstica da combina¸c˜ao dos ´ındices sob considera¸c˜ao. ”. (4) No equil´ıbrio termodinˆamico h´a uma distribui¸c˜ao estacion´aria de estados Zn e isto s´o ´e poss´ıvel se as taxas com as quais as mol´eculas absorvem energia (Einstrahlung) sejam iguais, em m´edia, `a soma das taxas de emiss˜ao induzida e emiss˜ao ex- pontˆanea (Austrahlung). Em outras palavras
pne−εn/kB^ T^ ρ Bnm = pme−εm/kB^ T^ (ρ Bnm + Anm). (12)
Al´em disso, argumenta Einstein, se no limite de T → ∞ a densidade de energia do campo ρ tamb´em vai a infinito, ent˜ao segue da equa¸c˜ao que pnBmn = pmBmn.
Bose e Einstein: Do nascimento da estat´ıstica quˆantica `a condensa¸c˜ao sem intera¸c˜ao I 277
pois argumentavam que esta propriedade do espa¸co-μ levaria irremediavelmente a divergˆencias. Assim, para efeitos de c´alculo ´e conveniente dividir o espa¸co-μ em pequenas caixas de volume dx dy dz dpx dpy dpz de tal maneira que part´ıculas dentro desta caixa possuem em m´edia todas a mesma energia - em outras palavras, descrevemos o sistema por um conjunto de n´ıveis dis- cretos e enumer´aveis ε 1 , ε 2 , · · ·. Para Boltzmann n˜ao havia uma justificativa convincente para fazer isto, ape- nas uma argumenta¸c˜ao a posteriori baseada no sucesso do m´etodos. A pergunta inicial adquire ent˜ao um outro car´ater: quantas (e quais) s˜ao as poss´ıveis maneiras de distribuir as N part´ıculas por entre os n´ıveis ε 1 , ε 2 , · · · de tal maneira que
E =
i
Ni εi
N =
i
Ni? (14)
Esse foi o problema com o qual se deparou Bose. Se a radia¸c˜ao ´e um g´as de f´otons onde podemos assumir que N 0 deles possuam uma energia hν 0 , N 1 a energia hν 1 e assim por diante, de quanta maneiras podemos distribuir os f´otons de tal modo que a energia total E da radia¸c˜ao valha
E =
∑^ ∞
s=
Nshνs = V
ρ dν?
Pela f´ormula podemos ver que calcular a distribui¸c˜ao de poss´ıveis valores dos Ns’s ´e o mesmo que calcular a den- sidade volum´etrica de energia ρ de Planck. Em outras palavras, Bose reduziu o problema de Planck a um pro- blema de mecˆanica estat´ıstica de um g´as de part´ıculas sem massa. H´a no entanto um detalhe sutil no m´etodo de Boltz- mann e de importˆancia fundamental pelas suas im- plica¸c˜oes no trabalho de Bose: a Eq. (14) s´o faz sentido se houver uma rela¸c˜ao un´ıvoca entre a energia de uma part´ıcula e a enumerabilidade de uma c´elula, ou seja se a cada c´elula i pudermos associar uma energia εi ´unica. Se uma part´ıcula se encontra na i-´esima c´elula, sua contribui¸c˜ao `a energia total ser´a sempre εi inde- pendentemente da ocupa¸c˜ao das outras c´elulas. Isso s´o ´e poss´ıvel se a energia E puder ser escrita como uma soma de termos que sejam fun¸c˜oes de coordenadas e momenta de uma part´ıcula apenas, como est´a impl´ıcito em (14). No m´etodo de Boltzmann, termos que depen- dam de coordenadas de mais de uma part´ıcula devem ser exclu´ıdos, o que significa que podemos tratar apenas part´ıculas n˜ao interagentes [21]. A solu¸c˜ao encontrada por Bose foi totalmente nova e, pelo que podemos depreender da an´alise de A. Pais [19], ele a fez sem ter no¸c˜ao da radicalidade de sua id´eia: Bose trocou a independˆencia estat´ıstica de part´ıculas pela independˆencia estat´ıstica de estados, criando as- sim um m´etodo que pode ser estendido para sistemas
interagentes. Voltaremos a este ponto nas pr´oximas se¸c˜oes em virtude tamb´em de Einstein ter uma se¸c˜ao completa sobre esta quest˜ao em seu artigo sobre a CBE. Resumindo, Bose se viu face-a-face com os seguintes problemas:
(1) calcular os poss´ıveis n´ıveis de energia entre as frequˆencias ν e ν + dν, determinando assim os poss´ıveis estados onde podemos encontrar os f´otons;
(2) determinar as poss´ıveis distribui¸c˜oes de f´otons por entre estes n´ıveis, ou seja, combina¸c˜oes de dife- rentes conjuntos {N 0 , N 1 ,.. .} condizentes com a condi¸c˜ao de energia E fixa;
(3) achar quais distribui¸c˜oes correspondem ao equil´ıbrio termodinˆamico.
Discutiremos a seguir detalhadamente cada um destes passos, uma vez que em seu primeiro artigo Einstein segue, do ponto de vista formal, os mesmos passos de Bose, introduzindo por´em, onde necess´ario, impor- tantes modifica¸c˜oes f´ısicas.
3.2. Passo 1: O volume do espa¸co-μ e sua dis- cretiza¸c˜ao
Os f´otons de Bose podem ocupar um volume V , que ´e o volume da cavidade do corpo negro. Se, como Einstein mostrara em seu trabalho sobre o efeito fotoel´etrico, pudermos associar a um f´oton de frequˆencia ν um mo- mento hν/c, ent˜ao os momenta px, py e pz devem satis- fazer px^2 + py 2 + pz 2 = h^2 ν^2 c^2
uma vez que a radia¸c˜ao dentro da cavidade do corpo negro ´e isotr´opica. Em outras palavras, os valores de momenta condizentes com a condi¸c˜ao |p| = hν/c est˜ao sobre a superf´ıcie de uma esfera de raio hν/c. Portanto o volume do espa¸co de fase para aqueles estados de frequˆencia entre ν e ν + dν ´e o volume da casca esf´erica entre as esferas de raio hν/c e h(ν + dν)/c devidamente multiplicado por V , ∫ dx dy dz dpx dpy dpz = V 4 π
hν c
h dν c
Se faz necess´ario ainda calcular o n´umero poss´ıvel de es- tados dentro deste volume, ou seja, discretiz´a-lo. Sem uma argumenta¸c˜ao convincente Bose diz que isto se faz dividindo o volume acima por uma volume elemen- tar h^3 pois “nada definitivo pode ser dito a respeito do m´etodo de dividir o volume do espa¸co de fase desta maneira ” al´em do que temos que multiplicar o resul- tado por 2 devido a polariza¸c˜ao dos f´otons! Vale lem- brar que o conceito de polariza¸c˜ao do f´oton ainda era desconhecido e Bose simplesmente afirma que que “para levar em conta a polariza¸c˜ao [da luz] parece necess´ario
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multiplicar este n´umero por 2 para obter o n´umero... de c´elulas.. .”. Chega-se assim ent˜ao ao n´umero As^ de c´elulas no espa¸co-μ
As^ =
8 π V ν^2 d ν c^3
E no m´´ ınimo impressionante constatarmos que Bose es- tava correto em sua contagem, pois pelo que podemos depreender da leitura de seu texto, ele parecia n˜ao saber justificar as escolhas feitas. Podemos encontrar esta dedu¸c˜ao em livros-textos de uma forma um pouco modificada: se a um f´oton dentro da cavidade de vo- lume V = L^3 associarmos um campo el´etrico, ent˜ao no equil´ıbrio e com condi¸c˜oes peri´odicas de contorno teremos ondas est´acion´arias de vetores de onda k tais que
k =
2 π L
n , (18)
onde n ´e um vetor cujas componentes assumem os valo- res 0, ± 1 , ± 2 ,.. .. Assim, o n´umero poss´ıvel de mo- menta entre a casca esf´erica de raios k e k + dk vale
4 πk^2 dk ( (^2) π L
) 3 ,^ (19)
onde 2π/L representa assim o incremento nos valores de k. Multiplicando esta equa¸c˜ao por 2 para levar em conta os dois estados de polariza¸c˜ao de um f´oton e usando a rela¸c˜ao p = ℏk = hν/c entre momento e o n´umero de onda k do f´oton, recuperamos a express˜ao (17) de Bose. A Fig. 2 ilustra esta contagem para um caso bidimensional.
Figura 2 - Discretiza¸c˜ao do espa¸co de vetores de onda (kx, ky ), onde o n´umero de estados ´e dado pelo n´umero de valores permi- tidos (pontos) entre os c´ırculos de raio k e kdk.
3.3. Passo 2: O n´umero de microestados
Para entender a contagem de microestados de Bose, recorramos novamente a um g´as ideal composto por N
part´ıculas. Cada uma delas pode ocupar um estado de energia εi dentro de um poss´ıvel conjunto {εk} de ener- gias discretas, de tal maneira que haja N 1 part´ıculas no estado de energia ε 1 , N 2 part´ıculas no estado de energia ε 2 e assim por diante, tal que a Eq. (14) seja satisfeita. Quais as poss´ıveis distribui¸c˜oes {Nk} = {N 1 , N 2 , · · · } condizentes com (14)? Primeiro ´e pre- ciso lembrar que na mecˆanica cl´assica as part´ıculas s˜ao distingu´ıveis pois, como enfatizou Boltzmann, ´e poss´ıvel reverter as equa¸c˜oes de movimento (elas s˜ao sim´etricas por revers˜ao temporal) e em princ´ıpio co- nhecer o passado de cada uma delas (suas pos´ı¸c˜oes e momenta iniciais), distinguindo-as portanto em fun¸c˜ao de sua hist´oria. Imaginemos um problema mais sim- ples: de quantas maneiras diferentes ´e poss´ıvel arranjar um grupo de N pessoas numa fila indiana? A an´alise combinat´oria nos d´a a resposta: peguemos a primeira pessoa - por ser primeira, n˜ao temos outra op¸c˜ao que n˜ao a de iniciar a fila por ela e portanto h´a apenas 1 lugar onde coloc´a-la. J´a a pessoa de n´umero 2 poder´a ser colocada em 2 diferentes posi¸c˜oes: antes ou depois da primeira. Para a terceira haver´a 3 poss´ıveis lugares: antes das outras duas, `a frente delas, ou no meio. As- sim, estendendo o racioc´ınio veremos que h´a N − 1 posi¸c˜oes para a (N − 1)-´esima pessoa e N posi¸c˜oes para a N -´esima, de modo que o n´umero total de filas indianas diferentes ser´a
W = 1 × 2 × 3 × · · · × (N − 1) × N = N! (20)
Mas no caso particular de Boltzmann, part´ıculas podem ocupar o mesmo lugar na fila (ou seja, ao inv´es de uma fila indiana, temos uma fila brasileira!). Fisicamente isso quer dizer que part´ıculas podem ter uma mesma energia εi e portanto h´a um n´umero Ni de part´ıculas que podem todas estar na mesma posi¸c˜ao εi. Isso im- plica que todas as Ni! diferentes combina¸c˜oes geradas pelas permuta¸c˜oes destas part´ıculas correspondem a um mesmo estado e portanto o n´umero de combina¸c˜oes deve ser reduzido por um fator de 1/Ni!. Logo deve- mos fazer a substitui¸c˜ao W → W/Ni!, o que nos leva, quando consideramos todos os poss´ıveis Ni, `a express˜ao final W =
N!
N 1 !N 2! · · ·
N!
s Ns!^
W representa o n´umero de diferentes combina¸c˜oes de N part´ıculas de tal modo que N 1 delas se encontrem na c´elula de energia ε 1 , etc.. Esta grandeza ´e tamb´em chamada de probabilidade termodinˆamica, embora n˜ao seja uma probabilidade, por ser > 1. No entanto o nome se deve ao fato que W ´e proporcional ao “volume” do espa¸co-μ e a probabilidade do macroestado ser rea- lizar fisicamente ´e, na interpreta¸c˜ao de Boltzmann, dada pelo produto deste volume por uma probabilidade definida de modo apropriado. Por uma quest˜ao de rigo- rosismo hist´orico h´a uma detalhe que devemos conside- rar mas que, para os resultados que nos interessam, n˜ao tem maiores consequˆencias: originalmente Boltzmann
280 Dahmen
temos assim
ln W = ln
s
As! p 0 s!p 1 s!...
s
ln As!
s
r
ln pr s! (25)
Utilizando a F´ormula de Stirling para grandes n´umeros
ln N!
N +
ln N (26)
chegamos finalmente `a
ln W ≈
s
As^ ln As^ −
s
r
pr s^ ln pr s. (27)
Fa¸camos agora as varia¸c˜oes. Para isto temos
δE = 0 = δ
s
N shνs
s
δN s^ hν (28)
δN s^ = 0 = δ
r
rpr s
r
rδpr s^ (29)
Para a varia¸c˜ao de ln W vale
δ ln W = 0 = δ
s
As^ ln As
−δ
s
r
pr s^ ln pr s
s
δAs
ln As^ + 1
s,r
δpr s
ln pr s^ + 1
s
r
δpr s
ln pr s^ + 1
No ´ultimo passo por ser As^ uma constante sua varia¸c˜ao ´e nula. Pelo m´etodo de multiplicadores de Lagrange, considerar a varia¸c˜ao (30) sujeita `as varia¸c˜oes (28) e (29) significa somarmos as trˆes equa¸c˜oes com os v´ınculos devidamente multiplicados por parˆametros de ajuste que, seguindo Bose, chamaremos de 1/β e λs. O primeiro d´a conta da constˆancia de E. O segundo, que Bose introduz por imaginar ser N s^ tamb´em uma constante, ´e na verdade desnecess´ario, como discutimos abaixo. Obtemos assim
∑
s
r
[
δpr s
1 + ln pr s^ + λs
δpr srhνs β
]
Igualando o termo entre chaves a zero temos, com uma simples manipula¸c˜ao alg´ebrica, o resultado
pr s^ = e−(λ
s+1) e−^
rhνβ = Bse−^
rhνβ (31)
Da rela¸c˜ao As^ =
r pr
s (^) temos por´em
As^ =
r
Bse−^
rhνβ = Bs
1 − e−^
hνβ^ )− 1
−→ Bs^ = As
1 − e−^
hνβ^ )^
. (32)
Na passagem da primeira equa¸c˜ao para a ´ultima usa- mos o resultado da soma de uma progress˜ao geom´etrica de raz˜ao. Para o valor de N s^ e E obtemos de modo an´alogo as express˜oes
N s^ =
r
rpr s
r
rAs
1 − e−^
hνβ^ ) e−^
rhνβ
= As^
e−^
hνβ
1 − e−^
hνβ^ ;^ (33)
E =
s
N shνs^ =
s
r
rpr shνs
= As
1 − e−^
hνβ^ ) e−^
rhνβ hνs^. (34)
Levando em conta (17) chegamos a express˜ao para a energia
E =
s
8 πhνs^3 V c^3
e−^
hνβ
1 − e−^
hνβ^ dν
s (^) , (35)
e para a entropia S = kB ln W temos
S = kB
[
E
β
s
As
1 − e−^
hν β
]
Por outro lado, da termodinˆamica sabemos que ∂S ∂E =^
1 T e portanto da´ı conclu´ımos que
β = kB T. (37)
Finalmente
E =
s
8 πhνs^3 V c^3
e khνs B T^ − 1
dνs^ , (38)
que ´e a f´ormula de Planck. Bose conclui assim a tarefa a qual se propusera: deduzir a equa¸c˜ao de Planck sem recorrer para isso a quaisquer elementos da f´ısica cl´assica. Como j´a mencionado, a introdu¸c˜ao da condi¸c˜ao de N s^ constante ´e totalmente irrelevante [19]. Dizer que o n´umero de c´elulas As^ numa regi˜ao no entorno de dνs ´e constante, como faz Bose em seu artigo de maneira expl´ıcita, n˜ao implica que o n´umero de f´otons seja cons- tante, como podemos ver pela express˜ao para Ns abaixo da Eq. (22). Isto significa que se tomarmos λs^ = 0 nos c´alculos acima chegaremos ainda `a Eq. (38). Em outras palavras, para um sistema onde o n´umero de part´ıculas n˜ao ´e conservada o potencial qu´ımico μ deve ser nulo uma vez que λs^ = βμ. E o que h´a de t˜ao espe- cial nos f´otons para que isso ocorra? Sendo a energia de um f´oton inversamente proporcional ao comprimento de
Bose e Einstein: Do nascimento da estat´ıstica quˆantica `a condensa¸c˜ao sem intera¸c˜ao I 281
onda (cf. ´ıtem (5) da se¸c˜ao III) f´otons de comprimento de onda infinitamente longos tem energia pr´oxima de zero e portanto podemos adicion´a-los ao sistema sem incorrer numa divergˆencia da energia total E. A imposi¸c˜ao de Einstein de que o n´umero total N de mol´eculas de um g´as seja conservado ´e o ponto fulcral de seu trabalho, por ser ela a condi¸c˜ao sine qua non para a ocorrˆencia do fenˆomeno da condensa¸c˜ao. A carac- ter´ıstica fundamental deste fenˆomeno ´e a existˆencia de uma popula¸c˜ao macrosc´opica de part´ıculas no es- tado fundamental: a quase totalidade das part´ıculas vai para o estado de menor energia, deixando os estados de maior energia despopulados a tal ponto que a raz˜ao en- tre N 0 e o n´umero N total aproxima-se de 1 quando a temperatura vai a zero. Ao abrir m˜ao desta condi¸c˜ao, o fenˆomeno deixa de existir – motivo pelo qual n˜ao existe uma condensa¸c˜ao de Bose-Einstein para f´otons.
4. Conclus˜oes
O trabalho de Bose lan¸cou as bases sobre as quais foi poss´ıvel construir uma mecˆanica estat´ıstica que incor- porasse, em seu bojo, a ent˜ao rec´em-criada mecˆanica quˆantica. Entre seus desdobramentos, o artigo de Eins- tein sobre a termodinˆamica de um g´as ideal quˆantico figura entre os mais importantes, pois nele foi pre- visto o fenˆomeno da condensa¸c˜ao das part´ıculas no es- tado fundamental. A assim chamada Condensa¸c˜ao de Bose-Einstein em vapores de metais alcalinos (tanto atˆomicos quanto moleculares) ´e hoje um fato experi- mental solidamente estabelecido e entre suas futuras aplica¸c˜oes poder´ıamos vislumbrar a cria¸c˜ao de “lasers de mat´eria” [7] ou ainda a possibilidade de utilizar con- densados emaranhados nos protocolos de swapping em criptografia quˆantica [26]. A condensa¸c˜ao e seus desen- volvimentos atuais ser˜ao detalhadamente discutidos em um artigo posterior [5].
Referˆencias
[1] J. Renn, Die Physik vom Kopf auf die F¨usse gestellt: Wie Einstein die Spezielle Relativit¨atstheorie fand, Phys. Journal 3 , 49 (2004). A tradu¸c˜ao deste artigo pode ser encontrada na RBEF 27 , 27 (2005). [2] N. Studart, RBEF 22 , 523 (2000). [3] A. Einstein, Zur Quantentheorie der Strahlung, Verh. Deut. Phys. Ges. 18 , 318 (1916). Einstein publicou mais dois artigos na sequˆencia: Mitt. Phys. Ges. Z¨urich 16 , 47 (1916); Phys. Zeitschr. 18 , 121 (1917). Na re- alidade o problema do corpo negro esteve sempre pre- sente, sendo que durante os anos entre o trabalho de Planck e o de Einstein, v´arios artigos sobre esse assunto foram publicados. [4] A. Einstein, Quantentheorie des einatomigen idealen Gases II, Sitz. Ber. Preus. Akad. Wissens. 3 (1925). A vers˜ao em Portuguˆes pode ser encontrada na RBEF 27 , 113 (2005).
[5] S.R. Dahmen, RBEF 28 , 283 (2005). [6] Vale a pena lembrarmos que um g´as n˜ao interagente cl´assico - o g´as ideal - n˜ao se condensa. Classicamente a condensa¸c˜ao s´o pode ocorrer mediante o aparecimento de uma intera¸c˜ao, diferentemente do caso quˆantico. [7] W. Ketterle, Rev. Mod. Phys. 74 , 1131 (2002). [8] E.A. Cornell and C.E. Wieman, Rev. Mod. Phys. 74 , 875 (2002). [9] V. Bagnato, RBEF 19 , 11 (1997). [10] P. Sokol em Bose Einstein Condensation, editado por A. Griffin, D.W. Snoke e S. Stringari (Cambridge Uni- versity Press, Cambridge, 1995). Aqui p. 51. A dis- cuss˜ao sobre a teoria do h´elio superfluido pode ser en- contrada em A.L. Fetter and J.D. Walecka, Quantum Theory of Many-Particle Systems (Dover Publ. Inc., Mineola, 2003), p. 481-495. [11] A. J. Leggett, Rev. Mod. Phys. 73 , 307 (2001). [12] A.F.R de Toledo Piza, Braz. J. Phys. 34,3B, 1102 (2004). [13] K. Huang, Statistical Mechanics (John Wiley and Sons Ltd., New York, 1988), caps. 12, se¸c˜ao 3. [14] R. Becker und W. D¨oring, Ann. Physik 24 , 719 (1935). [15] J.E. Mayer, J. Chem. Phys. 5 , 67 (1937). [16] B. Kahn and G.E. Uhlenbeck, Physica 5 , 399 (1938). [17] G.E. Uhlenbeck, Over Statistische Methoden in de The- orie der Quanta, Tese de doutorado, Leiden, 1927. [18] A.A. Michelson, Light Waves and Their Uses, p. 23 e
- Reproduzido em G. Holton, Thematic Origins of Scientific Thought. Kepler to Einstein (Harvard Uni- versity Press, Cambridge, 1973). [19] A. Pais, Subtle is the Lord...The Science and Life of Al- bert Einstein (Oxford University Press, Oxford, 1982). Os cap´ıtulos relevantes ao trabalho aqui apresentado s˜ao o 4, se¸c˜oes c e d, e o 23. [20] O termo espa¸co-μ foi introduzido em [23] por ser μ a primeira letra da palavra mol´ecula no alfabeto grego. O termo Complexo, no original alem˜ao Komplexion, ´e de Boltzmann. [21] E necess´´ ario que haja colis˜oes entre part´ıculas, de modo que elas possam trocar energia e momento e assim dar origem a uma distribui¸c˜ao dinˆamica de pontos no espa¸co-μ. No entanto podemos contornar a condi¸c˜ao de n˜ao intera¸c˜ao imaginando que a energia nas colis˜oes ´e pequena quando comparada a energia total do sistema e ocorrem num intervalo de tempo infinitesimal. [22] O termo espa¸co-Γ foi introduzido em [23] por ser Γ a primeira letra da palavra g´as no alfabeto grego. [23] Os termos estat´ıstica fina e grossa vˆem do alem˜ao feine e grobe Statistik e foram introduzidos por Paul e Ta- tiana Ehrenfest em seu famoso tratado sobre os fun- damentos da mecˆanica estat´ıstica, onde aparecem pela primeira vez na se¸c˜ao 23. Cf. P. und T. Ehrenfest, En- zyklop¨adie der Mathematischen Wissenschaften, Bd. 4,2, Abh. 28 (vol. 4, tomo 2, tratado 28), Teubner, Leipzig (1911). Este extenso trabalho foi publicado na forma de livro, em inglˆes, com o t´ıtulo Conceptual Foundations of the Statistical Approach to Mechanics, Cornell University Press, Ithaca, (1959).
