Baixe Caculo - de - Vigas e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity!
3 – Cálculo das Vigas
3.1 Introdução
Dando seqüência ao projeto do edifício exemplo, partiremos agora para o cálculo e dimensionamento das vigas.
3.1.1 Ações
As ações geram solicitações nas estruturas. Estas solicitações são determinadas através de teorias de cálculo estrutural. No caso geral, tem-se:
F = F (^) k → F (^) d = γf F (^) k → Sd
ou, em estruturas de comportamento linear,
F = F (^) k → Sk → Sd = γf Sk.
No caso da flexão simples, tem-se: F (^) d → M (^) d.
3.1.2 Resistências
As resistências são determinadas através de teorias apropriadas, a partir dos dados da seção transversal e das características mecânicas dos materiais.
No caso da flexão simples tem-se, como dados:
fck (resistência do concreto); fyk (resistência da armadura); e dimensões relativas da seção transversal (concreto e armadura).
Através de teoria apropriada determina-se o momento resistente último, M (^) u
3.1.3 Verificações de Segurança
Existe segurança adequada quando é verificada a condição: M (^) d ≤ M (^) u. Por razões de economia, faz-se M (^) d = Mu.
3.1.4 Tipos de Ruptura na Flexão
Em geral, tem-se o seguinte tipo de ruptura:
se As = 0, ou muito pequena ⇒ ruptura frágil (brusca) por tração no concreto; se As for muito grande (pequena deformação εs )⇒ ruptura frágil (brusca) por esmagamento do concreto comprimido; e se As for “adequada” ⇒ ruptura dúctil (com aviso), com escoamento da armadura e acompanhada de intensa fissuração da zona tracionada
3.2 Hipóteses de Cálculo na Flexão
Para o dimensionamento usual das vigas em concreto armado, deve-se respeitar as seguintes hipóteses de cálculo:
a) Manutenção da seção plana ;
As seções A e B passam para A’ e B’, quando fletidas, permanecendo planas conforme a figura a seguir:
b) Aderência perfeita entre concreto e armadura;
Inexiste qualquer escorregamento entre os materiais, em outras palavras, a deformação da armadura εs é admitida igual à deformação da fibra de concreto εc , junto a esta armadura.
c) Tensão no concreto nula na região da seção transversal sujeita a deformação de alongamento;
d) Diagramas tensão-deformação (de cálculo) no aço
aço de dureza natural: este aço apresenta patamar de escoamento conforme a figura d1.
e) Diagramas tensão-deformação (de cálculo) no concreto
diagrama parábola-retângulo
Figura e.
γc = 1,4 (coeficiente de ponderação da resistência do concreto) fcd = fck / γc 0,85 : coeficiente para considerar a queda de resistência do concreto para cargas de longa duração (efeito Rusch)
diagrama retangular simplificado
Figura e.
x = altura da zona comprimida, medida a partir da borda comprimida k = 0,85 , quando a largura da zona comprimida não diminui em direção à borda comprimida (seção retangular); em caso contrário usar 0,80.
f) Domínios de Deformação,
O estado limite último convencional ocorre quando o diagrama de deformação passa por um dos dois pontos, A ou B, na fig. f1).
Figura f.
σcd
0,85f (^) cd
0,002 0, 5
εc t t )
parábola do 2 o
patamar
As
Mud x
k fcd
0,8x
deformação de estado limite
h
d
As
0,
εyd 0,
A
B
x 34
x 23
D (^4)
D (^3)
D (^2)
4 3
2
Mud
Sendo:
d = altura útil da seção = distância do CG da armadura à borda comprimida x = altura da zona comprimida (medida a partir da borda comprimida)
Diz-se que o diagrama de deformação do tipo 2 está no domínio de deformação 2 quando a altura da zona comprimida obedece à condição:
x ≤ x 23 = 0,0035 d / (0,0035 + 0,010) = 0,259 d
Por sua vez, o diagrama de deformação encontra-se no domínio 3 de deformação quando a altura da zona comprimida obedece à condição:
x 23 ≤ x ≤ x 34 = 0,0035 d / (0,0035 + εyd )
Analogamente, o diagrama de deformação está no domínio 4 quando:
x 34 ≤ x ≤ d.
A seção que atinge o ELUlt. nos domínios D 2 e D 3 é dita sub-armada ou normalmente armada. Quando o ELUlt. é atingido no D 4 , a seção é dita superarmada. Trata-se de situação antieconômica, pois a armadura não é explorada na sua plenitude. Procura-se evitar o dimensionamento neste domínio.
3.3 Dimensionamento à Flexão
3.3.1 Seção Retangular à Flexão
A seção retangular com armadura simples é caracterizada da seguinte forma:
a zona comprimida da seção sujeita a flexão tem forma retangular; a barras que constituem a armadura está agrupada junto à borda tracionada e pode ser imaginada concentrada no seu centro de gravidade
Resultantes das tensões:
no concreto: R (^) cd = 0,85⋅fcd⋅b⋅0,8⋅x = 0,68⋅b⋅x⋅fcd na armadura: R (^) sd = As⋅σsd
h
d
b
x 0,8x
0,85f (^) cd Rc
Rsd
0,
d - 0,4x
Mud
As^ εu σsd
Figura 3.3.2.
Onde:
b /
a/
8 h (6h paralajeembalanco) b 2
f f 1
onde
0,6 emvaointernodeviga contínua
0,75 emvaoextremodevigacontínua
emvigaisostatica a l
l
l
sendo l o vão correspondente da viga.
Se a altura comprimida (0,8 x) for menor ou igual à espessura da laje (h (^) f ), tem-se uma seção retangular com armadura simples, já vista. Quando x for maior do que h (^) f, a forma da zona comprimida (sujeita à tensão 0,85fcd ) tem a forma de um “T”. A análise da seção pode ser feita como se indica a seguir.
Figura 3.3.2.
O problema pode ser equacionado subdividindo a zona comprimida em retângulos (1 e 2). As resultantes de tensão sobre as partes 1 e 2 valem:
Resultante do concreto na aba colaborante: R (^) cfd = 0,85 f (^) cd (bf - bw) h (^) f (1) Resultante do concreto na alma: R (^) cwd = 0,85 f (^) cd bw (0,8 x) (2)
bf
bw
Rsd
d
hf Mud
1 2 1 x 0,8x
0,85f (^) cd (^) Rcfd
Rcwd
εu As
As
bf
b 1 bw
h (^) f 0,
εu
0,85f (^) cd^ 0,85f^ c
Mud
A equação de equilíbrio de momento fornece:
M (^) ud = M (^) d = Mcfd + M (^) cwd = Rcfd (d - hf / 2) + M (^) cwd
ou
M (^) cwd = Md - Rcfd (d - hf / 2)
Este momento deve ser resistido pela parte 2 que é uma seção retangular b (^) w por d. Portanto
cd
2 w
cwd 0 , 425 b df
M
x 1 , 25 d 1 1
Com a posição da linha neutra, obtém-se a resultante do concreto na alma, R (^) cwd , através de (2).
A equação de equilíbrio de força permite escrever:
R (^) sd = As fyd = Rcfd + Rcwd
De onde se obtém a área de aço, As, necessária para resistir ao esforço solicitante.
3.3.3 Seção Retangular com Armadura Dupla
Quando se tem, além da armadura de tração As , outra A’ (^) s posicionada junto à borda oposta comprimida, diz-se que se tem seção com armadura dupla. Normalmente, ela é empregada para se conseguir uma seção sub-armada sem alterar as dimensões da seção transversal. A armadura comprimida A’ (^) s introduz uma parcela adicional na resultante de compressão permitindo, assim, aumentar a resistência da seção.
Seja o esquema de cálculo mostrado a seguir:
Figura 3.3.3.
Equilíbrio de força: R (^) sd = Rcd + R’ (^) sd As σsd = 0,68 b x fcd + A’ (^) sd σ’ (^) sd (a)
h d
d’
A’ (^) s
As
b
x ε’ (^) s
εc
0,4 d’ Rcd R’^ sd
Rsd
Md
Com x = x , tem-se, no domínio 3, εc = 0,0035 e no domínio 2:
εc = 0,010 x / (d – x ) (por semelhança de triângulos).
Logo: ε’ (^) s = εc ( x - d’) / x
que permite obter σ’ (^) sd (no diagrama σ x ε da armadura).
Finalmente:
A’ (^) s = R’ (^) sd / σ’ (^) sd e As = As1 + As.
3.4 Dimensionamento ao Cisalhamento
3.4.1 Modelo Simplificado para o Comportamento da viga (treliça
básica de Mörsch)
O panorama de fissuração, que se implanta na viga por ocasião da ruptura, sugere um modelo em forma de treliça para o seu esquema resistente (fig. 3.4.1.1). Esta treliça é constituída de banzos paralelos ao eixo da viga (banzo superior comprimido de concreto, e banzo inferior tracionado correspondente à armadura longitudinal de flexão), diagonais comprimidas de concreto inclinadas de 45 o^ (bielas diagonais) e pendurais correspondentes à armadura transversal. Esta armadura é, em geral, constituída de estribos distanciados de s e posicionados ao longo da viga, perpendicularmente ao seu eixo. As cargas atuantes na viga são substituídas por forças concentradas equivalentes aplicadas aos “nós” da treliça.
viga real modelo
Figura 3.4.1.
s s
45
z
Rcd
Rsd
pd pd. s
Os esforços na treliça múltipla podem ser estimados através de uma treliça mais simples, isostática, fig. 3.4.1.2, dita treliça clássica ou treliça de M ö rsch. Cada pendural nesta treliça representa (z/s) estribos, da treliça original, o mesmo ocorrendo com a diagonal comprimida.
Figura 3.4.1.
Do equilíbrio do ponto J, fig. 3.4.1.3, tem-se:
R (^) swd = Vd e R (^) cwd = Vd 2
Figura 3.4.1.
a) Tensão média na diagonal comprimida (biela comprimida de concreto)
Figura 3.4.1.
z
J
Rsd1 Rsd
Rswd =V (^) d Rcw
Rcd
Rcw V (^) d Rsd Rcw Rswd =V^ d Rsd Rsd
z
45
z=d/1,
Rcd
Rsd
z
z
bw h 1
onde: z / s = número de estribos no comprimento z de viga e
ρw w w
A
b s
= = taxa geométrica de armadura transversal.
3.4.2 Dimensionamento
a) Verificação do Concreto
Admite-se que a segurança de uma viga ao cisalhamento esteja devidamente atendida quando
τ (^) wd ≤ τwu = 0 3, ⋅fcd (não maior do que 4,5 MPa)
Com, b d
V
w
d τ (^) wd = (Vd = γf V)
De resultados de análises experimentais, permite-se considerar na flexão simples:
τc = 0 15, fck (em MPa).
b) Cálculo dos Estribos
Dessa forma, atribuindo à tensão de tração nos estribos o valor fywd, eles podem ser quantificados através da expressão:
ρ
τ τ w
wd c fywd
Onde fywd = 43,48 kN/cm^2 para os aços CA50.
3.4.3 Arranjos das armaduras
Também para o dimensionamento ao cisalhamento deve-se respeitar as seguintes condições:
a) Armadura transversal mínima (estribo mínimo)
ρw
para o CA CA min para o CA
A este estribo mínimo corresponde uma força cortante V*.
V*
b d (f ) 1,
= w^ ⋅^ ⋅^ ywd^ ⋅^ ρwmin^ +τc^.
b) Tipo de estribo
Normalmente, utiliza-se estribo de 2 ramos (para b (^) w ≤ 40 cm) e estribos de 4 (ou mais) ramos se b (^) w > 40 cm.
c) Diâmetro dos estribos (φt )
mm
b t ≤ φ ≤ w
d) Espaçamento dos estribos (s)
Recomenda-se obedecer às seguintes condições:
s
cm d CA CA
φ φ
As duas últimas condições são aplicadas quando se tem armadura comprimida de flexão (A’ (^) s ).
e) Cobertura do diagrama de força cortante
Costuma-se garantir a resistência ao cisalhamento, adotando-se estribos uniformes por trechos de viga. Desta forma, resulta a “cobertura em degraus” do diagrama de força cortante; cada degrau correspondendo a um trecho de estribo constante. A fig. 3.4.3. ilustra este procedimento. Para vigas usuais de edifícios, pode-se adotar, em cada vão, 3 trechos: um central correspondente à armadura mínima (ρwmin e V*), e mais dois trechos, adjacentes aos apoios do vão com estribos calculados para as respectivas forças cortantes máximas.
a força cortante devida a uma carga concentrada aplicada a uma distância a (a ≤ 2 h) do centro do apoio poderá, neste trecho de comprimento a, ser reduzida
multiplicando-se por
a 2 ⋅h
^
^
, fig. 3.4.3.3.
Figura 3.4.3.
Convém frisar que estas reduções só podem ser feitas para o cálculo da armadura transversal. A verificação do concreto (τwd ) deve ser feita com os valores originais, sem redução.
3.4.4 Armadura de Costura nas Abas das Seções Transversais
Normalmente, as abas das seções transversais estão submetidas a solicitações tangenciais. Junto à ligação (aba-alma) das seções das vigas esta solicitação atinge o valor máximo. Esta solicitação exige, no concreto armado, uma armadura de costura. Em vigas usuais de edifícios, podem ocorrer duas situações onde estas armaduras são necessárias, fig. 3.4.4.1. A primeira situação corresponde às seções dos vãos com abas comprimidas de seções T (flexão nos vãos das vigas normais) e, a outra, às seções de apoios internos das vigas contínuas, onde a armadura de flexão é distribuída também nas lajes (abas tracionadas).
Figura 3.4.4.1 - Situações usuais
b (^) f
armaduras área comprimida na flexão
Seção 1 - Vão
área comprimida na flexão
armaduras de flexão
Seção 2 - Apoio
Seção 1 - Vão
Seção 2 - Apoio
p
a P
h
V V (^) red = V [a / (2 h)]
a) Aba comprimida
A fig. 3.4.4.2 apresenta a situação típica correspondente à seção T submetida à flexão.
Fig. 3.4.4.2 - Aba comprimida
Considere-se a aba lateral de dimensão b’, fig. 3.4.4.3.
Figura 3.4.4.
A força cortante para determinação da armadura transversal da aba necessária é dada por:
V
b b fd V f
= (^) d
Da expressão de cisalhamento, tem-se que:
τ (^) fo f
d
f
fd f
fd f
b b
V
h z
V
h z
V
h d
(a)
bf
d ε
Rcd
Rsd
z
x
0,85 f (^) cd
As
b’ bf
b’
Rcd
Rcd+dRc
Rfd
Rfd +dRfd
τfo
hf
Figura 3.4.4.5 - Aba tracionada
Considere-se a aba indicada na fig. 3.4.4.6.
Figura 3.4.4.6 - Aba lateral
A cortante de cálculo resultante na aba considerada é dada pela expressão mostrada a seguir:
V
A
A
fd sfV s
= d
onde: Asf = área da seção de armadura de flexão contida na aba.
Analogamente ao caso anterior, tem-se que:
τ (^) fo
sf s
d
f
fd f
fd f
A
A
V
h z
V
h z
V
h d
(b)
Comparando-se a expressão do cisalhamento usual de viga (conforme o modelo da treliça clássica) com a expressão (b), pode-se concluir que ela permite imaginar a força cortante Vfd atuando na seção fictícia de dimensões hf x d. Logo, a armadura transversal, necessária no modelo da treliça clássica, é dada por:
área comprimida na flexão
armaduras de flexão (A (^) s)
parte da armadura de flexão, posicionada numa aba lateral (Asf )
0,
z
Rsd
Rcd
M (^) d
armaduras de costura
Rsd
Rsd +dRs
Rsf
Rsfd+dRsf
τfo hf
Rcd
z
ρ
τ f
fo fywd
onde ρf sf f
A
h
sendo A (^) sf a área total de armadura transversal da aba (armadura de costura) por unidade
de comprimento.
Normalmente, adota-se a armadura obtida desta maneira, como sendo suficiente para garantir a segurança da ligação entre a aba e a alma da viga. Deve-se, também, verificar
V
h d
fd f f
≤ 0 3, (^) cd (verificação da compressão na biela diagonal)
e
- ρf ≥ 0,14% (taxa mínima de armadura transversal para o CA50/60).
3.4.5 Armadura de Suspensão
Normalmente, os apoios das vigas são constituídos pelos pilares. Neste caso, diz-se que os apoios são do tipo direto. Algumas vezes as vigas se apóiam em outras vigas; constituem os apoios do tipo indireto. Quando as reações são aplicadas junto à face superior da viga de apoio, não existe a necessidade de armadura de suspensão. Esta situação é ilustrada na 3.4.5.1.
Figura 3.4.5.1 - Viga de pequena altura apoiada sobre uma viga de grande altura
A fig. 3.4.5.2 mostra, para o caso de viga de altura (h) maior do que a da viga de apoio (h (^) a), a necessidade de armadura de suspensão para a reação total, isto é, Z (^) d = Rd.
ha
h
viga de
viga i d
