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CONJUNTOS NUMÉRICOS
Símbolos Matemáticos
a, b, ... variáveis e parâmetros^ = igual
A, B, ... conjuntos ≠ diferente
∈ pertence a > maior que
∉ não pertence < menor que
⊂ está contido ≥ maior ou igual a
⊄ não está contido
≤ menor ou igual a
⊃ contém
n! fatorial
⊃ não contém
Σ somatório
∃ existe
Π produtório
∃ não existe
∞ infinito
∃| existe apenas um / existe um único ∫^
integral
| tal que
lim limite
∀ todo, qualquer
log logaritmo
⇒ implica (se então)
ln logaritmo natural (neperiano)
⇔ equivale (se e somente se)
números naturais
∪ união de conjuntos
números inteiros
∩ interseção de conjuntos
números racionais
∅ Conjunto vazio
números reais
∨ ou
∧ e
~ negação (lógica)
Propriedades das desigualdades:
a) Se a > b e b > c ⇒ a > c Ex. a = 5 , b = 3 , c = 2
b) Seja a > b :
- Se c >0 ⇒ a. c > b. c Ex. a = 5 , b = 3 , c = 2
- Se c < 0 ⇒ a. c < b. c Ex. a = 5 , b = 3 , c = -
c) a > b ⇒ a + c > b +c , ∀ c ∈ R
d) a > b e c > d ⇒ a + c > b + d Ex. a = 3 , b = 2 , c = - 3, d = - 4
e) Se a > b > 0 e c > d >0 ⇒ a. c > b. d
Valor Absoluto
O valor absoluto ou módulo de um número real é a distância entre ele e a origem,
independentemente do sentido.
, a 0 a se a
a a se
Propriedades do Valor Absoluto
- a ≥ 0 e a = 0 ⇔ a = 0
- a^2 = a^2
- a^2 = a
- a < b, b > 0 ⇔ - b < a < b
- a > b, b > 0 ⇔ a > b ou a < -b ou
- | a | = b, b > 0 ⇔ a = b ou a = -b
- Se a, b ∈ R ⇒ | a. b | = | a |. | b |
- Se a, b ∈ R , b ≠ 0 ⇒ a b
a b
- Se a, b ∈ R ⇒ | a + b | ≤ | a | + | b | (Desigualdade Triangular)
- Se a, b ∈ R ⇒ | a | - | b | ≤ | a - b | ≤ | a | + | b |
Quaisquer que sejam os números reais a e b, tem-se: a + b = b + a a.b = b.a
Quaisquer que sejam os números reais a, b e c, tem-se (a + b) + c = a + ( b + c) (ab)c = a(bc)
Existem únicos números reais, indicados por 0 e 1, tais que, para qualquer número real a, tem-se: a + 0 = a a. 1 = a
- Elemento oposto e elemento inverso
Existem únicos números reais, indicados
(^1) ( a ≠ 0) (chamado inverso), tal que
a + (–a) = 0 a. a
- Propriedade distributiva Quaisquer que sejam a,b e c reais, tem-se a (b + c ) = ab + ac (b + c) a = ba + ca
Partindo dessas propriedades, apresentaremos alguns resultados:
Cancelamento se a + b = a + c então b = c
se ab = ac e a ≠ 0 então b = c
Anulamento a.0 = 0, para todo a pertencente a
para quaisquer a e b de , se ab = 0, então a = 0, ou b = 0.
Regras de sinal para quaisquer a e b de
–( –a) = a (–a)b = – (ab) = a(–b) (–a)(–b) = ab
Subtração
A diferença de b e a, indicada por b – a, é definida por b – a = b + (– a), para quaisquer a e b reais.
A regra dos sinais nos diz:
Divisão
O quociente de b por a, onde a≠ 0, indicado por a
b (^) , onde b é o numerador e a o
denominador. Também é chamado fração a
b (^).
É PROIBIDO DIVIDIR POR ZERO !!
Soma de frações:
c
a b c
b c
a (^) ± = ± (c ≠ 0)
bd
ad bc d
c b
a (^) ± = ± (b ≠ 0, d ≠ 0)
Produto de frações:
bd
ac d
c b
a (^) ⋅ = (b ≠ 0, d ≠ 0)
Quociente de frações:
d
c
b
a
c
d b
a (^) ⋅ (b ≠ 0, d ≠ 0 e c ≠ 0)
Bibliografia:
- Iezzi G, Dolce O, Gegenszain D, Périgo R. Matemática. Volume único. Atual editora. São
Paulo, 2002.
- Iezzi G. Fundamentos da Matemática Elementar- vol. 1. Atual editora. São Paulo, 2000.
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS SOBRE CONJUNTOS NUMÈRICOS
INTRODUÇÃO:
1)a) V b) V c) V d) V e) V f) V
PROPRIEDADES
- a) 45.32 b) 5.2 + 5.3 c) 0 + 7 = 7 d) 1
EFETUE
- a) 12 b) – 24 c) – 18
REGRA DE SINAL
- a) F b) V c) V
EFETUE
- a) (^83)
b) 14 35 −^15 = − 351
c) − 83 + 14 = −^32 12 + 3 = −^2912
d) 40 −^6045 +^12 = 5260 −^45 = 607
e) (^3215)
f) (^14)
g) 1210 ÷ 38 = 1210.^83 =^165
h) − 23 ÷ 27 = − 23.^72 = −^73
i) ad bcd^^ −^ ab = a d (^ bcd^ − b )
POTENCIAÇÃO
Potência com Expoente Inteiro Positivo
Sendo a um número real, definimos an^ como:
a^1 = a
an^ = a. a .a .a. ... .a ( n fatores ), se n = 2,3,4, ... a^0 = 1
a é chamado de base e n de expoente
Propriedades
Se m e n são números naturais (N) e a e b reais (R), então:
ß am^. an^ = am+n
ß (^) n
m a
a (^) = am-n, ( a ≠ 0 )
ß (am)n^ = am.n ß (ab)n^ = an^ bn
ß
n b
a (^)
n
n b
a (^) , (b ≠ 0)
Potência com Expoente Inteiro Negativo:
Sendo a um número real (R) diferente de zero e n um inteiro não negativo, definimos:
n
n a
a − =^1 a
a −^1 =^1
RADICIAÇÃO
Definição da raiz enésima de a: n^ a
Sendo a e b números reais maiores ou iguais a zero, chamados radicando, e n um número
natural diferente de zero chamado índice, lê-se raiz enésima de a e defini-se n^ a como sendo
um número real b, tal que:
n (^) a = b ⇔ a = b n
Propriedades
Se a ∈ R+, b ∈ R+, m ∈ Z, n ∈ N* e p ∈ N*, então
( ) n^ m
n m a = a n (^) a m (^) =^ np^ amp
Exercícios sobre potenciação e radiciação
- Efetue:
a) x^4. x^5 =
b) [(3c^3 )^2 ]^2 = c) (-x^3 ): (x^2 )=
d) x^4 y^5 : x^3 =
e)
2 5
c^ =
- Calcule:
a)
1 2
−
y
x
b) 4 a^9
c) 3 7 2 ^ a
d)^3
2 8 e) 50 − 3 98 + 128
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DO CÁLCULO ZERO – POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
- a) x^9
b) 3^4 c^12 = 81c^12
c) -x
d) x y^5
e) 25
9 c^2
- a) x
y^2
b) 8 a 9 =a^8 a
c) 3 a^14 =a^43 a^2
d) 3 8 2 =^364 = 4
e) - 8 2
FUNÇÕES
As principais definições, teorias e propriedades sobre funções podem ser encontradas em seu
livro-texto (Stewart, vol1); Assim, não vamos aqui nos alongar na teoria que pode ser
encontrada lá. O intuito desta seção é apresentar as formas e gráficos de algumas funções
importantes.
Definição: Dizemos que y é uma função de x se para cada valor atribuído a x existe em único
valor correspondente para y. Neste caso, denotamos y = f(x). O conjunto de valores que
podem ser atribuídos a x é chamado domínio da função e é denotado por Dom f ou por Df. O
conjunto formado pelos valores que y assume em correspondência a algum valor x é chamado de imagem da função e é denotado por Im f ou If.
FUNÇÃO AFIM: y = ax+b
b:coeficiente linear
a:coeficienteangular
a < 0
a = 0
a > 0
b < 0 b = 0 b > 0
FUNÇÃO MODULAR
A função modular f :IR→ IR é definida por f (x) = |x|, se:
− <
≥ = = x, sex 0
x, sex 0 f(x) x
f(x) = |x| f(x) = |x – 2|
Exemplos:
- Resolver |3x – 2| = 2:
3x- 1 2 x -^1
3x- 1 2 x 1 ou | 3x- 1 | 2 Resposta: S = {1, -1/3}
- Resolver: |2x – 1| = |x + 3|
= + ⇒ =
= + ⇒ = = + ⇒ 3 2x- 1 - (x 3) x -^2
2x- 1 x 3 x 4 ou | 2x- 1 | |x 3 | Resposta: S = {4, -2/3}
FUNÇÃO RAIZ N-ÉSIMA
ou
n par
Dom f=[0;+∞) Im f=[0;+∞) n ímpar
Dom f= R Im f=R
n
1
y ( x ) = x
n
y (x) = x
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Definição : Dado um número real a, tal que a >0 e a ≠ 1, chamamos função exponencial de
base “a” a função f de IR → IR que associa a cada x real o número ax.
Podemos escrever, também: f: IR → IR
x → ax
Exemplos de funções exponenciais em IR:
a) f(x) = 2x
b) f(x) =
x 2
c) f(x) = ex
d)
x x e
f (x) e^1
e) f(x) = 10x
O gráfico de f(x) = ax^ tem o seguinte aspecto:
- Se a > 1 2) Se 0 < a < 1
função crescente função decrescente
Observamos que nos dois casos, a imagem da função exponencial é: Im = R+*.
Dizemos, ainda, que a função f(x) = ax, corta o eixo y no ponto (0, 1).
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Para cada número real positivo b ≠ 1 , definimos a função logarítmica , na base b, como sendo
a função f :( 0 ,∞ )→IR, que a cada número real positivo x associa o número real f (x)= logbX.
A função logaritmo de x na base b pode ser representada graficamente de duas maneiras
diferentes, dependendo do valor de b, como figura abaixo:
b > 1 0 < b < 1
Como se vê nos gráficos acima, a função logarítmica é crescente se b > 1 e é decrescente se 0 < b < 1. O domínio da função logarítmica é o conjunto dos números reais positivos e sua
imagem é o conjunto de todos os números reais.
Tipos importantes de funções:
Função par : Se f (x)= f(−x), para todo x ∈ Domfentão dizemos que a função f(x) é uma
função par. (note que o gráfico é uma curva simétrica pelo eixo y).
Exemplos: f(X) = x^2 é uma função par, já que f (−x )=(−x)^2 =x^2 =f(x).
g(x) = cos(x) é uma função par, já que f (−x )=cos(−x)=cos(x)=f(x).
Função ímpar: Se f (x)= −f(−x), para todo x ∈ Domfentão dizemos que a função f(x) é uma
função ímpar. (note que o gráfico é uma curva simétrica pela origem).
Exemplos: f(X) = x^3 é uma função par, já que f (−x )=(−x)^3 =−x^3 =−f(x).
g(x) = sen(x) é uma função ímpar, já que f (− x)=sen(−x)=−sen(x)=−f(x).
Função injetora: Se para quaisquer x 1 e x 2 no domínio de f(x), x 1 ≠ x 2 ⇒f(x 1 )≠f(x 2 ), então
dizemos que f é uma função injetora.
Exemplos: f(x) = x^3 é uma função injetora, já que se x 1 ≠ x 2 ⇒f(x 1 )=x 13 ≠x^32 =f(x 2 ).
f(x) = x^2 não é injetora, já que se x 1 = 2 e x 2 = − 2 temos x 1 ≠ x 2 , mas f (x 1 )= f( 2 )= 22 = 4 =(− 2 )^2 =f(− 2 )=f(x 2 ).
Função sobrejetora: é aquela em que sua imagem coincide com seu contra-domínio.
Função bijetora: é aquela que é ao mesmo tempo bijetora e sobrejetora.
Função composta: Sejam g :A→ Be f :Img→ C. A função f o g:A→C dada por
f o g(x)=f ( g(x))é a função composta de f com g.
Exemplos:
Se f (x)= x^2 + 3 e g( x)= sen(x)então f o g(x)=f( g(x)) =f( sen(x)) =( sen(x)) 2 + 3. Se h( x)= exe u( x)= tg(x)então h o u(x)=h( u(x)) =h(tg (x)) = etg(x).
Observação: Em geral, f o g(x)≠ gof(x). No exemplo anterior, se f (x)= x^2 + 3 e
g( x)= sen(x ) então g o f(x)=g( f(x)) =g( x^2 + 3 ) =sen( x^2 + 3 ) e
f o g(x)= (sen (x)) 2 + 3 ≠sen( x^2 + 3 ) =gof(x).
Função inversa: Se y = f(x) é uma função bijetora então a função g(y) tal que
g( y)= x⇔y=f(x )é a função inversa de f(x). Muitas vezes denotamos a função inversa de f
por f-1.
Exemplos:
Se f (x)= x^3 então y = x^3 ⇔x=^3 y e a função inversa de f(x) é g( y)= f−^1 (y)=^3 y
ou transformando para x, f −^1 (x)=^3 x.
Observação: As funções f(x) e g(y) são inversas se e somente se f (g(y))= ye g( f(x))= x. Ou
seja, uma forma alternativa para verificar se duas funções são inversas é verificar se as
compostas dão as funções identidades.
Exemplos: Se f (x)= x+ 1 e f −^1 (^ x)=x− 1 então f ( f−^1 (x)) =f( x− 1 ) =(x− 1 )+ 1 =x e
f −^1 ( f(x)) = f−^1 ( x+ 1 ) =(x+ 1 )− 1 =x. Assim, como f ( f−^1 (x)) = f−^1 ( f(x)) =xentão f(x) e f-1(x) são
inversas.
Resultado útil: Se c é um número real positivo então:
- O gráfico de f(x) + c é o gráfico de f(x) deslocado c unidades para cima.
- O gráfico de f(x) - c é o gráfico de f(x) deslocado c unidades para baixo.
- O gráfico de f(x + c) é o gráfico de f(x) deslocado c unidades para a esquerda.
- O gráfico de f(x - c) é o gráfico de f(x) deslocado c unidades para a direita.
Ou seja,
Bibliografia:
- Iezzi G, Dolce O, Gegenszain D, Périgo R. Matemática. Volume único. Atual editora. São
Paulo, 2002.
Iezzi G. Fundamentos da Matemática Elementar – vol.1. Atual editora. São Paulo, 2000.
Guidorizzi HL. Um curso de Cálculo – vol 1. FTD editora. 5ª edição. Rio de Janeiro, 2001.
Stewart J. Cálculo – vol 1.Pioneira editora. São Paulo, 2001.
