Função Implícita
A maioria das funções que lidamos até agora foi da forma y = f(x), em que y é expresso diretamente
ou explicitamente em termos de x. Acontece com frequência de y ser definido como uma função de x por
meio de uma equação em x e y.
Definição: Consideremos uma equação nas variáveis x e y. Dizemos que uma função y=f(x) é definida
implicitamente por tal equação ou que tal equação define implicitamente y =f(x) se para todo x no domínio
de f o ponto (x,f(x)) satisfaz a equação. Em outras palavras o gráfico de f coincide com parte do gráfico da
equação.
Exemplo1. As funções
𝑦 =
√
25 − 𝑥!
e
𝑦 = −
√
25 − 𝑥!
são definidas implicitamente pela equação
𝑥!+ 𝑦!=25
, pois para todo
𝑥 ∈ [−5, +5]
, tem-se
𝑥!+ (
√
25 − 𝑥!
"
#)!=25
. Os gráficos dessas funções
são a metade superior e a metade inferior da circunferência de raio 5, mostrada na Fig. 2.
A curva mostrada na Fig. 1, que são os pontos que satisfazem a equação
𝑥$+ 𝑦$− 9𝑥𝑦 = 01
, não é
gráfico de nenhuma função de x. Entretanto ela pode ser dividida em arcos, cada um desses arcos é um
gráfico de uma função de x. E se fosse pedido para encontrarmos a inclinação da reta tangente a curva1
𝑥$+ 𝑦$− 9𝑥𝑦 = 0
no ponto (2,4)? Observe que não é fácil explicitar y nessa equação!
Obs.: Mesmo sem conseguir isolar o y numa equação, é possível mostrar que tal equação define
implicitamente y =f(x). Esse resultado é dado no teorema das funções implícitas dado no cálculo II.
O que a gente vai ver a seguir é: Como calcular
%&
%'
sem explicitar y na equação.
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
Supondo que uma equação em x e y define implicitamente y = f(x), podemos determinar
𝑓′
, sem
explicitar f(x). Basta usar a regra da cadeia para derivar ambos os lados da equação e depois isolar
𝑓′
.
Fig.1 Fólio de Descartes
𝑥$+ 𝑦$− 9𝑥𝑦 = 0
Fig.2 Circunferência de raio 5
𝑥!+ 𝑦!=25
