CALCULO 4 COMPLEXOS.PDF, Resumos de Cálculo Avançado

Baixe CALCULO 4 COMPLEXOS.PDF e outras Resumos em PDF para Cálculo Avançado, somente na Docsity!

Conjuntos relevantes no plano complexo

Discos no plano complexo

Disco aberto centrado em p 0 , 0 q de raio ǫ ą 0: Dp0; ǫq “ tz P C : |z| ă ǫu

Disco aberto centrado em px 0 , y 0 q de raio ǫ ą 0: Dpz 0 ; ǫq “ tz P C : |z ´ z 0 | ă ǫu onde z 0 “ x 0 ` iy 0

�

z (^0)

Pontos exteriores e de fronteira

Dado um conjunto não vazio B Ă C dizemos que z P C é um ponto exterior de B se e somente se existe um disco aberto centrado em z de raio ǫ (^) z ą 0 totalmente contido em Bc^ “ C ´ B: D Dpz; ǫ (^) z q Ă Bc^.

�

Dizemos que z P C é um ponto de fronteira de B se e somente se ele n˜ao é ponto interior nem ponto exterior.

�

Fronteira e fecho de um conjunto

A fronteira de um conjunto B é o conjunto de todos seus pontos de fronteira e é denotado por BB:

�

O fecho de um conjunto consiste da união da sua fronteira e seus pontos interiores: ¯B “ BB Y Int pBq.

Conjunto fechado: F “ F¯.

Conjuntos convexos e não convexos

Convexo: todo segmento de reta ligando dois pontos nele também está contido no conjunto.

Não convexo:

Conjuntos disconexos

�

Conjunto que não é simplesmente conexo

�

UM CONJUNTO SIMPLESMENTE CONEXO DE C NÃO PODE TER

BURACOS, FENDAS OU FUROS!!

Conjunto exterior à seção de uma coluna de uma ponte

Exercícios

1. Represente os seguintes conjuntos no plano complexo e determine quais deles são abertos, limitados e simplesmente conexos: (a) tz : |z ´ i| “ 3 u. (b) tz : |z ´ 4 | ă 1 u. (c) tz : |z ` 1 | ą 0 u.
2. Represente os seguintes conjuntos no plano complexo e determine se cada uma delas é conexa. Determine também se cada uma delas é simplesmente conexa: (a) 2 ă |z| ă π. (b) 0 ă |z ´ 4 | ă 1. (c) |z ´ i| ă 1. (d) z � 0 , π 2 ă argpzq ă π. (e) 1 ă |z ´ i| ă 3.