Operações e Propriedades de Números Complexos, Notas de estudo de Cálculo Avançado

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Operac¸ ˜oes com n ´umeros complexos. Propriedades e

representac¸ ˜ao dos n ´umeros complexos

Conjunto dos números complexos C

C “ tz “ x ` i y : x, y P Ru,

x “ Repzq parte real,

y “ Impzq parte imaginária,

Se x “ Repzq “ 0 o número complexo é dito imaginário puro.

Dois números complexos são iguais se e somente se as partes reais

de ambos coincidem e as partes imaginárias são iguais,

i denota a unidade imaginária: i ¨ i “ i

2 “ ´1.

O número complexo z “ x ` iy é

representado no plano complexo

pelo ponto de coordenadas px, yq, o

mesmo que corresponde ao vetor

px, yq P R

2

. Além disso,

px, 0 q ô x P R.

�^ z^ “^ x^ `^ iy

x

y

Repzq

Impzq

Propriedades das operações com números complexos

pC, `, ¨q constitui um corpo e valem as seguintes propriedades

Associatividade para ambas operações:

pz 1 z 2 q z 3 “ z 1 pz 2 z 3 q “ z 1 z 2 z 3 ,

pz 1 z 2 qz 3 “ z 1 pz 2 z 3 q “ z 1 z 2 z 3 ,

Comutatividade para ambas operações:

z 1 z 2 “ z 2 z 1 , z 1 z 2 “ z 2 z 1 ,

Distributividade

z 1 pz 2 z 3 q “ z 1 z 2 z 1 z 3 ,

Neutro da soma: 0 “ p 0 , 0 q, tal que 0 ` z “ z @z P C,

Neutro do produto: 1 “ p 1 , 0 q, tal que 1 z “ z @z P C,

Inverso aditivo (oposto de z “ px, yq): ´z “ p´x, ´yq,

Inverso multiplicativo z

´ 1

para z � 0

zz

´ 1 “ 1 ô px iyqpu ivq “ p 1 , 0 q.

Escrevendo o produto na forma matricial obtemos um sistema 2 ˆ 2 nas

incógnitas u, v: ¨

x ´y

y x

u

v

Logo,

u “

x

x 2 ` y 2

e v “

´y

x 2 ` y 2

obtidos diretamente pela Regra de Cramer:

u “

1 ´y

0 x

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ x

2 ` y 2

e v “

x 1

y 0

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ x

2 ` y 2

Observação: x

2 ` y

2 � 0 porque z � 0.

Desigualdades com números complexos

Desigualdade triangular

|z 1 z 2 | ď |z 1 | |z 2 |, @z 1 , z 2 P C.

Consequências da desigualdade triangular:

´|z 1 ´ z 2 | ď |z 1 | ´ |z 2 | ď |z 1 ´ z 2 | ou de forma equivalente:

||z 1 | ´ |z 2 || ď |z 1 ´ z 2 |.

Combinando os resultados anteriores:

||z 1 | ´ |z 2 || ď |z 1 ˘ z 2 | ď |z 1 | ` |z 2 |.

|Repzq| ď |z|, @z P C.

|Impzq| ď |z|, @z P C.

Distância entre dois pontos do plano complexo

dpz 1 , z 2 q “ |z 1 ´ z 2 |.

x

y

�

z (^1)

�

z (^2)

Representação polar de um número complexo

Se z “ x ` iy, x, y P R, considere

ρ “ |z| “

b

x 2 ` y 2 “

b

Repzq

2 ` Impzq

2 e

θ tal que x “ ρ cos θ e y “ ρ sen θ,

para obter uma representação polar

z “ ρpcos θ ` i sen θq

� z

ρ “ |z|

θ

Repzq

Impzq

Existem infinitos valores de θ que satisfazem essas condições,

eles são denominados de argumento e denotados por arg pzq.

Os argumentos de um número complexo

Se z “ 0 o argumento está indeterminado.

Se z � 0 é imaginário puro escolha θ “

π 2 ou θ “ ´

π 2 segundo a

parte imaginária seja positiva ou negativa, respectivamente.

Se Repzq ą 0 escolha θ “ arctg

`

y x

P

`

π 2

π 2

Se Repzq ă 0 escolha θ “ π ` arctg

`

y x

Todos os outros valores possíveis são obtidos acrescentando 2kπ, k P Z.

O argumento no intervalo p´π, πs é dito argumento principal.

Posteriormente vamos definir a função Argumento (ramos da função

Argumento).

Raízes complexas. Cont.

Há n raízes complexas para w P C, w “ rpcos φ ` i sen φq:

z (^) k “

n

r

cos

φ ` 2 πk

n

` i sen

φ ` 2 πk

n

, onde k “ 0 , 1 , 2 ,... , n ´ 1.

Exemplo: Raízes complexas da unidade, ou seja, z P C : z

n “ 1.

Denotemos por

ω “ cos

2 π

n

` i sen

2 π

n

então as n raízes complexas da unidade são: 1, ω, ω

2 ,... , ω

n´ 1

. Para o

caso n “ 6,

2 π 6

�

�

Exercícios

1. Verifique que:

1 ` 2 i 3 ´ 4 i

`

2 ´i 5 i

2 5

e

5 p 1 ´iqp 2 ´iqp 3 ´iq

1 2

i.

2. A partir da desigualdade triangular prove as seguintes desigualdades

válidas para todo par de números complexos z 1 , z 2 :

(a) ||z 1 | ´ |z 2 || ď |z 1 ˘ z 2 | ď |z 1 | ` |z 2 |.

(b) |Repz 1 q| ď |z 1 | e |Impz 1 q| ď |z 1 |.

3. Represente no mesmo gráfico do plano complexo os números:

cos

π

` i sen

π

, p 1 ` iq, p 1 ´ iq

4 , i ´ 3 e p´iq

4 .

4. Represente na forma polar os seguintes números complexos: 2 ´ 2 i, ? 2 2 ` i

? 2 2 e ´i. Escreva um argumento para cada um deles.

5. Verifique que:

(a) z 1 z 2 “ z 1 z 2 e |z|

2 “ zz¯.

(b) Um possível argumento para z é ´ argpzq.

(c) Um possível argumento para z 1 z 2 é argpz 1 q ` argpz 2 q.