calculo 4 COMPLEXOS.PDF, Resumos de Cálculo Avançado

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Func¸ ˜oes de vari´avel complexa. Func¸ ˜oes holomorfas e as

Equac¸ ˜oes de Cauchy-Riemann

Funções de variável complexa

Seja D Ă C um domínio (conjunto não vazio, aberto e conexo). Consideraremos uma função f : D Ñ C,

isto é, uma função da variável complexa z “ x ` iy, x, y P R,

z P D ÞÑ f pzq P C.

D

x

y

� z

f

u

v

�^ f^ pzq

O conjunto f pDq é denominado de conjunto imagem de f ou imagem.

Limites e continuidade

Seja D Ă C um domínio e f : D Ñ C, tal que, z P D ÞÑ f pzq P C.

O limite da função f em z 0 “ x 0 ` iy 0 P D existe e vale l P C e escrevemos zlimÑz 0 f^ pzq “^ l, se e somente se existem os limites das partes real e imaginária:

px,yqÑplimx 0 ,y 0 q^

upx, yq “ Replq e (^) px,yqÑplimx 0 ,y 0 q^

vpx, yq “ Implq.

A função f é contínua em z 0 , z 0 P D, se e somente se u e v são contínuas em px 0 , y 0 q. Nesse caso,

zlimÑz 0 f^ pzq “^ f^ pz^0 q, A função f é contínua (em todo seu domínio D) se for contínua em todo z 0 P D.

Limites e continuidade. Exemplo

Exemplo: f : C Ñ C, f pzq “ z 2. Ela é contínua porque

upx, yq “ x 2 ´ y^2 e vpx, yq “ 2 xy, verifiquem!

e existem os limites a seguir:

px,yqÑplimx 0 ,y 0 q^

x 2 ´ y^2 “ x 20 ´ y^20 ,

assim como

px,yqÑplimx 0 ,y 0 q^

2 xy “ 2 x 0 y 0 , @px 0 , y 0 q P R^2.

Portanto,

zlimÑz 0 f^ pzq “^ z^20 “^ f^ pz^0 q,^ @z^0 P^ C, que é o que caracteriza a uma função contínua no seu domínio.

Exercício: De forma similar, mostre que a função f : C Ñ C definida como f pzq “ |z|^2 para cada z P C é uma função contínua.

Propriedades das funções contínuas

A soma de duas funções contínuas definidas no mesmo domínio D é uma função contínua definida em D.

Uma função contínua f : D Ñ C multiplicada por um número complexo c é também uma função contínua com o mesmo domínio:

c f : D Ñ C z ÞÑ c ¨ f pzq.

O produto de duas funções contínuas definidas no mesmo domínio é também uma função contínua com o mesmo domínio.

O quociente de duas funções contínuas f, g : D Ñ C, tais que gpzq � 0 , @z P D é uma função contínua em D: f g :^ D^ Ñ^ C z ÞÑ (^) gf^ ppzzqq.

Função diferenciável em um ponto

Seja f : G Ñ C definida no domínio G Ă C ao qual pertence z 0 P G. Se existe o limite do quociente incremental (razão incremental)

hlimÑ 0 f^ pz^0 `^ h hq ´ f^ pz^0 q,

dizemos que f é diferenciável em z 0 e o valor do limite é denotado por f 1 pz 0 q ou d fdz pz 0 q. Desta forma, f 1 pz 0 q “ d fdz pz 0 q “ (^) hlimÑ 0 f^ pz^0 `^ h hq ´ f^ pz^0 q.

Observação: a rigor a existência do limite acima deveria ser denomindada de derivabilidade de f em z 0 , mas neste caso a diferenciabilidade é direta. A existência do diferencial, que é a função linear d f : C Ñ C valendo d f phq “ f 1 pz 0 qh e tal que:

hlimÑ 0 f^ pz^0 `^ hq ´^ f^ pz^0 q ´^ f^

(^1) pz 0 qh h “^0 ,

é consequência direta da derivabilidade. Verifiquem! (^) [email protected] DMAT / UFPR – p. 9 / 17

Continuidade das funções holomorfas

Teorema: Se f : G Ñ C definida no domínio G Ă C é holomorfa, então f é contínua. Demonstração: Exercício.

Funções inteiras e limitadas

Uma função inteira é uma função f : C Ñ C holomorfa em todo C.

Uma função f : D Ă C Ñ C é dita limitada se existe um valor real M ą 0 tal que | f pzq| ă M para todo z P D. Nesta definição a função não precisa ser holomorfa, sequer contínua.

Teorema de Liouville: toda função inteira e limitada f : C Ñ C é obrigatoriamente constante: f pzq “ C, C P C constante.

Portanto, calculando a derivada pela definição, obtemos que f 1 pzq “ 0 , @z P C.

Equações de Cauchy-Riemann

Teorema: Se f : G Ñ C é holomorfa no domínio G Ă C, então existem as derivadas parciais de upx, yq e vpx, yq e valem as equações de Cauchy-Riemann:

Bu Bx px,^ yq “

Bv By px,^ yq^ e^

Bu By px,^ yq “ ´

Bv Bx px,^ yq,^ @px,^ yq P^ G.

Além disto, a função pu, vq : G Ă R 2 Ñ R 2 é diferenciável como função de duas variáveis. Ou seja, existe o diferencial em cada ponto de G, denotado por Dpu, vqpx, yq : R^2 Ñ R 2 , que é uma transformação linear tal que

lim |ph 1 ,h 2 q|Ñ 0

|pu, vqpx h 1 , y h 2 q ´ pu, vqpx, yq ´ Dpu, vqpx, yqph 1 , h 2 q| |ph 1 , h 2 q| “^0 ,

onde |ph 1 , h 2 q| denota o módulo ou norma euclideana do vetor ph 1 , h 2 q.

Diferencial complexo Ñ matriz jacobiana de pu, vq

O diferencial complexo vale d f phq “ f 1 pz 0 qh, isto é, o produto dos valores complexos da derivada e o incremento,

f 1 pzqph 1 ih 2 q “ pa ibqph 1 ` ih 2 q.

Escrevendo o produto na forma matricial obtemos ¨ ˝ a^ ´b b a

˝ h^1 h (^2)

A matriz jacobiana da função pu, vq oriunda de f holomorfa precisa ser ¨ ˝

B Bux B Buy Bv Bx

Bv By

˝ a^ ´b b a

Caso tenham interesse, posso fazer a demonstração completa no atendimento ou consultem a bibliografia mencionada anteriormente.

Exercícios

1. A partir das equações de Cauchy-Riemann obtenha as seguintes fórmulas para calcular f 1 pzq a partir das derivadas parciais de u e v:

f 1 pzq “ d fdz pzq “ B Bux px, yq ` i (^) BBvx px, yq

e f 1 pzq “ d fdz pzq “ B Bvy px, yq ´ i B Buy px, yq.

2. Verifique que as partes real e imaginária da função inteira f pzq “ pz ` 1 q^3 satisfazem as equações de Cauchy-Riemann.
3. Verifique que as partes real e imaginária da função f pzq “ z^2 definida para todo z P C satisfazem as equações de Cauchy-Riemann. Sendo as partes real e imaginária funções diferenciáveis em px, yq, o que podemos concluir sobre a função f? Quanto vale f 1 pzq?