cálculo, conceitos e história, Notas de estudo de Automação

Baixe cálculo, conceitos e história e outras Notas de estudo em PDF para Automação, somente na Docsity!

CÁLCULO

DIFERENCIAL E INTEGRAL

NA

W I K I P É D I A

Cálculo

(http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo

O Cálculo Diferencial e Integral ou simplesmente Cálculo é um ramo importante da da Álgebra e da Geometria (como a inclinação de uma recta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo de uma curva ou o volume de um sólido). Onde há movimento ou crescimento e onde forças variáveis agem produzindo aceleração, o cálculo é a matemática a ser empregada.

O cálculo foi criado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exactas. Desenvolvido por Isaac Newton Cálculo ajuda em vários conceitos e definições desde a matemática, clássica e até a física moderna. O estudante de cálculo deve ter um conhecimento em certas áreas da matemática, como funções, geometria e trigonometria, pois são a base do cálculo. O cálculo tem inicialmente 3 "operações como o cálculo de limites, o

A integral indefinida também pode ser chamada de antiderivada, uma vez que é um processo que inverte a derivada de funções. Já a integral definida, inicialmente definida como Soma de Riemann, estabelece limites de integração, ou seja, é um processo estabelecido entre dois intervalos bem definidos, dai o nome integral definida.

Com o advento do Teorema Fundamental do Cálculo os dois ramos do cálculo: o diferencial surgiu do problema da tangente, enquanto o cálculo integral surgiu de um problema aparentemente não relacionado, o problema da área. O professor de Newton em Cambridge, Isaac Barrow estritamente relacionados, ao perceber que a derivação e a integração são processos inversos. Foram Leibniz e transformar o cálculo em um método matemático sistemático. Particularm viram que o Teorema Fundamental os capacitou a calcular áreas e integrais muito mais facilmente, sem que fosse necessário calculá pelo matemático Riemann, pupilo de

http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo)

Cálculo Diferencial e Integral , também chamado de cálculo infinitesimal é um ramo importante da matemática, desenvolvido a partir Geometria, que se dedica ao estudo de taxas de variação de grandezas linação de uma recta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo de uma curva ou o volume de um sólido). Onde há movimento ou crescimento e onde forças variáveis agem produzindo aceleração, o cálculo é a matemática a ser empregada.

iado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exactas. Isaac Newton e Gottfried Leibniz, em trabalhos independentes, o Cálculo ajuda em vários conceitos e definições desde a matemática, moderna. O estudante de cálculo deve ter um conhecimento em s da matemática, como funções, geometria e trigonometria, pois são a base do cálculo. O cálculo tem inicialmente 3 "operações-base", ou seja, possui áreas iniciais , o cálculo de derivadas de funções e a integral

indefinida também pode ser chamada de antiderivada, uma vez que é um processo que inverte a derivada de funções. Já a integral definida, inicialmente definida , estabelece limites de integração, ou seja, é um processo estabelecido entre dois intervalos bem definidos, dai o nome integral definida.

eorema Fundamental do Cálculo estabeleceu-se uma conexão entre os dois ramos do cálculo: o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral diferencial surgiu do problema da tangente, enquanto o cálculo integral surgiu de um problema aparentemente não relacionado, o problema da área. O professor de Isaac Barrow, descobriu que esses dois problemas estão de fato estritamente relacionados, ao perceber que a derivação e a integração são processos e Newton que exploraram essa relação e a utilizaram para transformar o cálculo em um método matemático sistemático. Particularm viram que o Teorema Fundamental os capacitou a calcular áreas e integrais muito mais facilmente, sem que fosse necessário calculá-las como limites de soma (método descrito , pupilo de Gauss)

O cálculo permite calcular a área da região assinalada

cálculo infinitesimal , desenvolvido a partir , que se dedica ao estudo de taxas de variação de grandezas linação de uma recta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo de uma curva ou o volume de um sólido). Onde há movimento ou crescimento e onde forças variáveis agem produzindo aceleração, o cálculo é a matemática a ser empregada.

iado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exactas. , em trabalhos independentes, o Cálculo ajuda em vários conceitos e definições desde a matemática, química, física moderna. O estudante de cálculo deve ter um conhecimento em s da matemática, como funções, geometria e trigonometria, pois são a base do base", ou seja, possui áreas iniciais integral de diferenciais.

indefinida também pode ser chamada de antiderivada, uma vez que é um processo que inverte a derivada de funções. Já a integral definida, inicialmente definida , estabelece limites de integração, ou seja, é um processo estabelecido entre dois intervalos bem definidos, dai o nome integral definida.

se uma conexão entre Cálculo Integral. O cálculo diferencial surgiu do problema da tangente, enquanto o cálculo integral surgiu de um problema aparentemente não relacionado, o problema da área. O professor de Isaac blemas estão de fato estritamente relacionados, ao perceber que a derivação e a integração são processos que exploraram essa relação e a utilizaram para transformar o cálculo em um método matemático sistemático. Particularmente ambos viram que o Teorema Fundamental os capacitou a calcular áreas e integrais muito mais las como limites de soma (método descrito

encontrar a área do círculo. O método também foi usado por Zu Chongzhi no quinto século depois de Cristo, para achar o volume de uma esfera.

No período medieval, o Matemático indiano Aryabhata usou a noção infinitesimal em 499 D.C. expressando-a em um problema de astronomia na forma de uma equação diferencial básica. Essa equação levou Bhāskara II no século doze a desenvolver uma derivada prematura representado uma mudança infinitesimal, ele desenvolveu também o que seria uma forma primitiva do “Teorema de Rolle”.

No século XII o matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi descobriu a derivada de polinômios cúbicos, um resultado importante no cálculo diferencial. No século XIV, Madhava de Sangamagrama, juntamente com outros matemáticos-astrônomos da Escola Kerala de Astronomia e Matemática, descreveu casos especiais da Série de Taylor, que no texto são tratadas como Yuktibhasa.

No período moderno, descobertas independentes no cálculo foram feitas no início do século XVII no Japão por matemáticos como Seki Kowa que expandiu o método de exaustão. Na Europa, a segunda metade do século XVII foi uma época de grandes inovações. O Cálculo abriu novas oportunidades na física-matemática de resolver problemas muito antigos que até então não haviam sido solucionados. Muitos matemáticos contribuíram para essas descobertas, notavelmente John Wallis e Isaac Barrow. James Gregory proveu um caso especial do segundo teorema fundamental do cálculo em 1668.

Sir Isaac Newton foi um dos mais famosos inventores e contribuidores do cálculo com relação a suas leis de movimento e outros conceitos matemáticos- físicos

Gottfried Wilhelm Leibniz , foi originalmente acusado de plagiar os trabalhos não publicados de Isaac Newton, hoje porém é considerado, juntamente com Newton, o inventor do cálculo

Coube a Leibniz e Newton recolher essas idéias e juntá-las em um corpo teórico que viria a constituir o cálculo, a ambos é atribuído a simultânea e independente invenção do cálculo. Historicamente Newton foi o primeiro a aplicar o cálculo à física ao passo que Leibniz desenvolveu a notação utilizada até os dias de hoje. O argumento histórico para conferir aos dois a invenção do cálculo é que ambos chegaram de maneiras distintas ao teorema fundamental do cálculo.

Quando Newton e Leibniz publicaram seus resultados, houve uma grande controvérsia de qual matemático (e portanto que país: Inglaterra ou Alemanha) merecia o crédito. Newton derivou seus resultados primeiro, mas Leibniz publicou primeiro. Newton argumentou que Leibniz roubou idéias de seus escritos não publicados, que Newton à época compartilhara com alguns poucos membros da Sociedade Real. Esta controvérsia dividiu os matemáticos ingleses dos matemáticos alemães por muitos anos. Um exame cuidadoso dos escritos de Leibniz e Newton mostra que ambos chegaram a seus resultados independentemente, com Leibniz iniciando com integração e Newton com diferenciação. Nos dias de hoje tem-se que Newton e Leibniz descobriram o cálculo independentemente. Leibniz, porém, foi quem deu o nome cálculo à nova disciplina, Newton a chamara de “A ciência dos fluxos”.

Desde o tempo de Leibniz e Newton, muitos matemáticos contribuíram para o contínuo desenvolvimento do cálculo. No século XIX, o cálculo foi abordado de uma forma muito mais rigorosa por matemáticos como Cauchy, Riemann e Weierstrass. Foi também durante este período que idéias do cálculo foram generalizadas ao espaço euclidiano e ao plano complexo. Lebesgue mais tarde generalizou a noção de integral.

Princípios

Limites e Infinitesimais Ver anexo 1

O cálculo é comumente utilizado pela manipulação de quantidades muito pequenas. Historicamente, o primeiro método de utilizá-lo era pelas infinitesimais. Estes objetos podem ser tratados como números que são, de alguma forma, "infinitamente pequenos". Na linha numérica, isso seria locais onde não é zero, mas possui "zero" de distância de zero. Nenhum número diferente de zero é um infinitesimal, porque sua distância de zero é positiva. Qualquer múltiplo de um infinitesimal continua sendo um infinitesimal. Em outras palavras, infinitesimais não satisfazem a propriedade Archimediana. Deste ponto de vista, o cálculo é uma coleção de técnicas para manipular infinitesimais. Tal pensamento foi ignorado no século XIX porque era muito difícil ter a noção precisa de uma infinitesimal. Entretanto, o conceito foi reutilizado no século XX com a introdução da análise não padronizada, a qual propiciou fundamentos sólidos para a manipulação de infinitesimais

No século XIX, as infinitesimais foram substituídas pelos limites. Limites descrevem o valor de uma função em um certo ponto em termos dos valores de pontos próximos. Eles capturam o comportamento numérico em baixa escala, como nas infinitesimais, mas utilizando números ordinários. Deste ponto de vista, calculo é uma coleção de técnicas para a manipulação de certos limites. As infinitesimais foram substituídas por

.

Isto da o valor exato para a variação da linha reta. Se a função não é uma linha reta, então a variação em y é dividida pela variação em x , e nós precisamos do cálculo para encontrar o valor exato em cada ponto da função. (Note que y e f ( x ) são duas notações diferentes para a mesma coisa: a saída da função. Uma linha entre dois pontos em uma curva é chamado de reta secante. A variação da reta secante pode ser expressada como:

onde as coordenadas do primeiro ponto é (x, f(x)) e h é a distância horizontal entre os dois pontos.

Para determinar o deslocamento da curva, nós usamos os limites :

Em um caso particular, nós encontramos o deslocamento da função quadrática no ponto em que a entrada é 3 e a saída é 9 (Ex.: f ( x ) = x^2 , então f (3) = 9).

O deslocamento da função quadrática no ponto (3, 9) é 6, isto é, ele cresce seis vezes mais rapido e está indo para a direita.

Integrais Ver anexo 3

O Cálculo Integral é o estudo das definições, propriedades, e aplicações de dois conceitos relacionados, as integrais indefinidas e as integrais definidas. O processo de

encontrar o valor de uma integral é chamado calculo integral estuda dois operadores lineares relacionados.

A integral indefinida é a integral indefinida de f quando minúsculas para uma função e sua integral indefinida é comum em cálculo.)

A integral definida insere uma função e extrai um número, o qual fornece a área entre o gráfico da função e o eixo do x. A definiç soma das áreas dos retângulos, chamada Soma de Riemann.

Um exemplo motivacional é a distância (

Se a velocidade ( V ) é constante, somente multiplicação é necessária, mas velocidade varia, então precisamos de um método mais poderoso para encontrar a distância. Um método é a aproximação da distância viajada pela divisão do tempo em muito mais intervalos de tempo, e então multiplicando o tempo em cada intervalo por uma das velocidades naquele intervalo, e então fazer uma Soma de Riemann das distâncias aproximadas viajadas em cada intervalo. A idéia básica é que se somente um pequeno tempo passar, então a velocidade vai permanecer praticamente a mesma. Entretanto, uma Soma de Riemann somente da uma aproximação da distância viajada. Nós precisamos pegar o limite de todas as Somas de Riemann para encontrar a distância viajada exata.

Se f(x) no diagrama da esquerda representa a velocidade variando de acordo com o tempo, a distância viajada entre os tempos representados por escura s.

Para aproximar a área, um método intuitiv um número de segmentos iguais, a distância de cada segmento representado pelo símbolo ?x. Para cada segmento menor, nós podemos escolher um valor da função Chame o valor h. Então a área do retângulo com a base

encontrar o valor de uma integral é chamado integração. Em linguagem técnica, o calculo integral estuda dois operadores lineares relacionados.

é a antiderivada , o processo inverso da derivada. F é uma quando f é uma derivada de F. (O uso de letras maiúsculas e minúsculas para uma função e sua integral indefinida é comum em cálculo.)

insere uma função e extrai um número, o qual fornece a área entre o gráfico da função e o eixo do x. A definição técnica da integral definida é o limite da soma das áreas dos retângulos, chamada Soma de Riemann.

Um exemplo motivacional é a distância ( D ) viajada em um determinado tempo (

) é constante, somente multiplicação é necessária, mas velocidade varia, então precisamos de um método mais poderoso para encontrar a distância. Um método é a aproximação da distância viajada pela divisão do tempo em muito mais intervalos de tempo, e então multiplicando o tempo em cada intervalo por as velocidades naquele intervalo, e então fazer uma Soma de Riemann das distâncias aproximadas viajadas em cada intervalo. A idéia básica é que se somente um pequeno tempo passar, então a velocidade vai permanecer praticamente a mesma. de Riemann somente da uma aproximação da distância viajada. Nós precisamos pegar o limite de todas as Somas de Riemann para encontrar a distância

no diagrama da esquerda representa a velocidade variando de acordo com o tempo, a distância viajada entre os tempos representados por a e b é a área da região

Para aproximar a área, um método intuitivo seria dividir em distâncias entre um número de segmentos iguais, a distância de cada segmento representado pelo

. Para cada segmento menor, nós podemos escolher um valor da função . Então a área do retângulo com a base ?x e altura

Integração pode ser explicada como a medida da área entre uma curva, definida por entre dois pontos (aqui

. Em linguagem técnica, o

, o processo inverso da derivada. F é uma é uma derivada de F. (O uso de letras maiúsculas e minúsculas para uma função e sua integral indefinida é comum em cálculo.)

insere uma função e extrai um número, o qual fornece a área entre ão técnica da integral definida é o limite da

) viajada em um determinado tempo ( t ).

) é constante, somente multiplicação é necessária, mas se a velocidade varia, então precisamos de um método mais poderoso para encontrar a distância. Um método é a aproximação da distância viajada pela divisão do tempo em muito mais intervalos de tempo, e então multiplicando o tempo em cada intervalo por as velocidades naquele intervalo, e então fazer uma Soma de Riemann das distâncias aproximadas viajadas em cada intervalo. A idéia básica é que se somente um pequeno tempo passar, então a velocidade vai permanecer praticamente a mesma. de Riemann somente da uma aproximação da distância viajada. Nós precisamos pegar o limite de todas as Somas de Riemann para encontrar a distância

no diagrama da esquerda representa a velocidade variando de acordo com o é a área da região

o seria dividir em distâncias entre a e b em um número de segmentos iguais, a distância de cada segmento representado pelo

. Para cada segmento menor, nós podemos escolher um valor da função f ( x ). e altura h dá a distância

Integração pode ser explicada como a medida da área entre uma curva, definida por f ( x ), entre dois pontos (aqui a e b ).

E, seu Corolário pode ser transcrito da seguinte forma:

Considere f uma função contínua de valores reais definida em um intervalo fechado [ b ]. Se F é uma função tal que

para todo

então

e

Essa descoberta, realizada por trabalho anterior de Isaac Barrow resultados analíticos que se seguiram após seus tra Teorema fundamental do cálculo provê um método algébrico de computar muitas integrais definidas—sem executar processos limite fórmula para antiderivadas.

Aplicações

O cálculo é usado em todos os ramos das estatística, engenharia, economia possa ser modelado matematicamente

A Física faz uso intensivo do cálculo. Todos os conceitos na interrelacionados pelo cálculo. A momento de inércia dos objetos, assim como a energia total de um objeto dentro de um sistema fechado podem ser encontrados usando o cálculo. Nos sub eletricidade e magnetismo campos eletromagnéticos. Um exemplo mais histórico do uso do cálculo na física é a segunda lei de Newton que usa a expressão "taxa de variação" que se refere à derivada: A taxa de variação do momento de um corpo é igual à força resultante que age sobre o corpo e na mesma direção.

E, seu Corolário pode ser transcrito da seguinte forma:

uma função contínua de valores reais definida em um intervalo fechado [ é uma função tal que

para todo x em [ a , b ]

.

Essa descoberta, realizada por Newton e Leibniz, que basearam-se nos resultados de um Isaac Barrow, exerceu um papel chave na massiva proliferação de resultados analíticos que se seguiram após seus trabalhos ficarem conhecidos. O Teorema fundamental do cálculo provê um método algébrico de computar muitas sem executar processos limite—simplesmente por encontrar fórmula para antiderivadas.

O cálculo é usado em todos os ramos das ciências físicas, na ciência da computação economia, medicina e em outras áreas sempre que um problema modelado matematicamente e uma solução ótima é desejada.

faz uso intensivo do cálculo. Todos os conceitos na mecânica clássica interrelacionados pelo cálculo. A massa de um objeto de densidade dos objetos, assim como a energia total de um objeto dentro de um sistema fechado podem ser encontrados usando o cálculo. Nos sub magnetismo, o cálculo pode ser usado para encontrar o campos eletromagnéticos. Um exemplo mais histórico do uso do cálculo na física é a que usa a expressão "taxa de variação" que se refere à derivada: do momento de um corpo é igual à força resultante que age sobre o corpo e na mesma direção. Até a expressão comum da segunda lei de Newton como

A espiral logarítmica da concha do Nautilus é uma imagem clássica usada para representar o crescimento e a mudança relacionados ao cálculo

uma função contínua de valores reais definida em um intervalo fechado [ a ,

se nos resultados de um , exerceu um papel chave na massiva proliferação de balhos ficarem conhecidos. O Teorema fundamental do cálculo provê um método algébrico de computar muitas simplesmente por encontrar

ciência da computação, e em outras áreas sempre que um problema

mecânica clássica são densidade conhecida, o dos objetos, assim como a energia total de um objeto dentro de um sistema fechado podem ser encontrados usando o cálculo. Nos sub-campos da , o cálculo pode ser usado para encontrar o fluxo total de campos eletromagnéticos. Um exemplo mais histórico do uso do cálculo na física é a que usa a expressão "taxa de variação" que se refere à derivada: do momento de um corpo é igual à força resultante que age sobre o Até a expressão comum da segunda lei de Newton como

concha é uma imagem clássica usada para representar o

Força = Massa × Aceleração envolve o cálculo diferencial porque a aceleração pode ser expressada como a derivada da velocidade. A teoria do eletromagnetismo de Maxwell e a teoria da relatividade geral de Einstein também são expressas na linguagem do cálculo diferencial. A química também usa o cálculo para determinar as variações na velocidade das reações e no decaimento radioativo.

O cálculo pode ser usado em conjunto com outras disciplinas matemáticas. Por exemplo, ele pode ser usado com a álgebra linear para encontrar a reta que melhor representa um conjunto de pontos em um domínio.

Na esfera da medicina, o cálculo pode ser usado para encontrar o ângulo ótimo na ramificação dos vasos sanguíneos para maximizar a circulação.

Na geometria analítica, o estudo dos gráficos de funções, o cálculo é usado para encontrar pontos máximos e mínimos, a inclinação, concavidade e pontos de inflexão.

Na economia o cálculo permite a determinação do lucro máximo fornecendo uma fórmula para calcular facilmente tanto o custo marginal quanto a renda marginal.

O cálculo pode ser usado para encontrar soluções aproximadas de equações, em métodos como o método de Newton, iteração de ponto fixo e aproximação linear. Por exemplo, naves espaciais usam uma variação do método de Euler para aproximar trajetórias curvas em ambientes de gravidade zero.

Ver também

Listas

• Lista de tópicos básicos em cálculo
• Tabela de derivadas
• Tábua de integrais
• Lista de tópicos em cálculo
• Publicações sobre cálculo

Tópicos relacionados

• Régua de cálculos
• Série
• Cálculo polinomial
• Geometria diferencial
• Cálculo com múltiplas variáveis
• Análise non-standard
• Pré-cálculo (Educação matemática)
• Integral-produto
• Cálculo estocástico

Referências bibliográficas

Cálculo Básico

• Medeiros, Valeria Zuma (2005). Thomsom Pioneira, 1ª edição. Pré-Cálculo ISBN 8522104506
• Coelho, Flavio Ulhoa (2005). Saraiva, 1ª edição. Curso Básico de Cálculo ISBN 8502051202

ANEXO 1

Limite

(http://pt.wikipedia.org/wiki/Limite)

Em matemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma sequência de números reais, à medida que o índice (da sequência) vai crescendo, i.e. tende para infinito. Os limites são usados no cálculo diferencial e em outros ramos da análise matemática para definir derivadas e a continuidade de funções.

Limite de uma sequência Ver anexo 1.

Seja uma sequência de números reais. A expressão:

significa que, quanto maior o valor i, mais próximo de L serão os termos da sequência. Neste caso, dizemos que o limite da sequência é L.

A forma usual de escrever isso, em termos matemáticos, deve ser interpretada como um desafio. O desafiante propõe quão perto de L os termos da sequência devem chegar, e o desafiado deve mostrar que, a partir de um certo valor de i, os termos realmente estão perto de L.

Ou seja, qualquer que seja o intervalo em torno de L (dado, pelo desafiante, por

exemplo, pelo intervalo aberto , o desafiado deve

exibir um número natural N tal que.

Formalmente, o que foi dito acima se expressa assim:

Índice

• 1 Limite de uma sequência
• 2 Limite de uma função o 2.1 Definição formal
• 3 Aproximação intuitiva
• 4 Limites em funções de duas ou mais variáveis

Limite de uma função

Suponhamos que f ( x ) é uma função real e que

significa que f ( x ) se aproxima tanto de suficientemente próximo de medida que x se aproxima de

mesmo quando Vejamos dois exemplos que ajudam a ilustrar estes dois pontos importantíssimos.

Consideremos definido em 2 e é igual ao seu limite: 0.4, vejamos:

f(1.9) f(1.99) f(1.999) f(2)

0.4121 0.4012 0.4001 0.

À medida que x aproxima-se de 2,

igualdade , diz-se que f é contínua em Vejamos uma função onde tal não acontece

O limite de g ( x ) à medida que

e consequentemente

Consideremos agora o caso onde

Apesar de f ( x ) não estar definida em existe e é igual a 2:

f(0.9) f(0.99) f(0.999) f(1.0)

1.95 1.99 1.999 não está definido

função

) é uma função real e que c é um número real. A expressão:

) se aproxima tanto de L quanto quisermos, quando se toma suficientemente próximo de c. Quando tal acontece dizemos que "o limite de se aproxima de c , é L ". Note-se que esta afirmação pode ser verdadeira , ou quando a função f ( x ) nem sequer está definida em Vejamos dois exemplos que ajudam a ilustrar estes dois pontos importantíssimos.

à medida que x se aproxima de 2. Neste caso, definido em 2 e é igual ao seu limite: 0.4, vejamos:

f(2.001) f(2.01) f(2.1)

0.4 0.3998 0.3988 0.

se de 2, f ( x ) aproxima-se de 0.4 e consequentemente temos a

. Sempre que se verifique a igualdade em x = c. A igualdade não é válida para todas as funções. Vejamos uma função onde tal não acontece

) à medida que x se aproxima de 2 é 0.4 (tal como em

e consequentemente g não é contínua em x = 2.

Consideremos agora o caso onde f ( x ) não está definida em x = c.

) não estar definida em x = 1 , o limite de f ( x ), quando x se aproxima de 1,

f(1.001) f(1.01) f(1.1)

não está definido 2.001 2.010 2.

é um número real. A expressão:

quanto quisermos, quando se toma x

. Quando tal acontece dizemos que "o limite de f ( x ), à se que esta afirmação pode ser verdadeira ) nem sequer está definida em c. Vejamos dois exemplos que ajudam a ilustrar estes dois pontos importantíssimos.

aproxima de 2. Neste caso, f ( x ) está

se de 0.4 e consequentemente temos a

ra todas as funções.

se aproxima de 2 é 0.4 (tal como em f ( x )), mas

se aproxima de 1,

Quando falamos do processo limite, falamos de uma incógnita que "tende" a ser um determinado número, ou seja, no limite, esta incógnita nunca vai ser o número, mas vai se aproximar muito, de tal maneira que não se consiga estabelecer uma distância que vai separar o número da incógnita. Em poucas palavras, um limite é um número para o qual y = f(x) difere arbitrariamente muito pouco quando o valor de x difere de x 0 arbitrariamente muito pouco também.

Por exemplo, imaginemos a função: f ( x ) = 2 x + 1 e imaginando f : R - > R (Definida nos reais). Sabemos, lógico, que esta função nos dá o gráfico de uma reta, que não passa pela origem, pois se substituirmos: f (0) = 2.0 + 1 que nos dá: f (0) = 0 + 1 = 1, ou seja, no ponto onde x=0 (origem), o y (f(x)) é diferente de zero. Mas usando valores que se aproximem de 1, por exemplo:

Se x=0,98 então: y=f(x)=2, Se x=0,998 então: y=f(x)=2, Se x=0,9998 então: y=f(x)=2, Se x=0,99999 então: y=f(x)=2,

Ou seja, à medida que x "tende" a ser 1, o y "tende" a ser 3. Então no processo limite, quando tende a ser um número, esta variável aproxima-se tanto do número, de tal forma que podemos escrever como no seguinte exemplo:

Exemplo 1.1 : Sendo uma função f definida por: f ( x ) = 2 x + 1 nos Reais, calcular o limite da função f quando x - > 1. Temos então, neste caso, a função descrita no enunciado e queremos saber o limite desta função quando o "x" tende a ser 1: Ou seja, para a resolução fazemos:

Então, no limite é como se pudéssemos substituir o valor de x para resolvermos o problema. Na verdade, não estamos substituindo o valor, porque para o cálculo não importa o que acontece no ponto x, mas sim o que acontece em torno deste ponto. Por isso, quando falamos que um número "tende" a ser n, por exemplo, o número nunca vai ser n, mas se aproxima muito do número n. Enfim, como foi dito anteriormente, a definição de limite é tão e somente intuitiva. Vai de analisar a função que está ocorrendo apenas. Agora, o exercício do Exemplo 1.1 mostra que x se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja:

Porém, temos também uma outra forma de se aproximar do número 3, na função f ( x ) descrita nos exemplo acima, por exemplo: Se x=2, y=f(x)=5 ; Se x=1,8 então: y=f(x)=4,6 ; Se x=1,2 temos que: y=f(x)=3,4 ; Se x=1,111 então: y=f(x)=3, Podemos perceber então, que x está tendendo a 1 pela direita agora, e não mais pela esquerda como foi mostrado no exemplo anterior. Então para resolvermos problemas que envolvem cálculo, devemos saber como a função que está em jogo se comporta.

Limites em funções de duas ou mais variáveis

A noção de limite, conquanto seja a mesma para todos os tipos de funções numéricas, nem sempre é fácil de se calcular. Muitas vezes é mesmo difícil de se limite exista ou não.

Esse é o caso de funções de duas ou mais variáveis. Uma função do tipo:

pode ter evidentemente um limite, mas aqui há uma diferença fundamental.

Sobre a reta real, só existe verdadeiramente um para a direita (no sentido de maiores números reais) ou para a esquerda (no sentido de menores números reais).

Com uma função de duas variáveis (só para ficar no caso mais simples) tem graus de liberdade. Consequentemente, pode o que na verdade influencia no valor do limite.

Ora, para que exista um valor de limite, é necessário que ele independa do caminho tomado para que o(s) valor(es) da(s) variável(eis) independentes sejam alcançados é verdade no caso unidimensional, quando os dois contrário, o limite não existe.

De forma semelhante, quando se tem uma função bidimensional como:

o limite pode ser testado através de vários caminhos.

Suponha que se queira verificar o seguinte limite L desta funçao:

Pode-se aproximar-se do valor (0,0) através das seguintes possibilidades:

• o limite se fazendo através da abcissa, da direita para a esquerda, ou seja,

Limites em funções de duas ou mais variáveis

A noção de limite, conquanto seja a mesma para todos os tipos de funções numéricas, nem sempre é fácil de se calcular. Muitas vezes é mesmo difícil de se

Esse é o caso de funções de duas ou mais variáveis. Uma função do tipo:

pode ter evidentemente um limite, mas aqui há uma diferença fundamental.

Sobre a reta real, só existe verdadeiramente um grau de liberdade , ou seja, só se pode ir para a direita (no sentido de maiores números reais) ou para a esquerda (no sentido de

Com uma função de duas variáveis (só para ficar no caso mais simples) tem graus de liberdade. Consequentemente, pode-se ter infinitos caminhos entre dois pontos, o que na verdade influencia no valor do limite.

Ora, para que exista um valor de limite, é necessário que ele independa do caminho tomado para que o(s) valor(es) da(s) variável(eis) independentes sejam alcançados é verdade no caso unidimensional, quando os dois limites laterais coincidem. Em caso contrário, o limite não existe.

De forma semelhante, quando se tem uma função bidimensional como:

o limite pode ser testado através de vários caminhos.

que se queira verificar o seguinte limite L desta funçao:

se do valor (0,0) através das seguintes possibilidades:

o limite se fazendo através da abcissa, da direita para a esquerda, ou seja,

Limites em funções de duas ou mais variáveis

A noção de limite, conquanto seja a mesma para todos os tipos de funções numéricas, nem sempre é fácil de se calcular. Muitas vezes é mesmo difícil de se afirmar que o

Esse é o caso de funções de duas ou mais variáveis. Uma função do tipo:

pode ter evidentemente um limite, mas aqui há uma diferença fundamental.

eja, só se pode ir para a direita (no sentido de maiores números reais) ou para a esquerda (no sentido de

Com uma função de duas variáveis (só para ficar no caso mais simples) tem-se dois caminhos entre dois pontos,

Ora, para que exista um valor de limite, é necessário que ele independa do caminho tomado para que o(s) valor(es) da(s) variável(eis) independentes sejam alcançados. Isso coincidem. Em caso

se do valor (0,0) através das seguintes possibilidades:

o limite se fazendo através da abcissa, da direita para a esquerda, ou seja,

Página

ANEXO 1.

Limite de uma seqüência

(http://pt.wikipedia.org/wiki/Limite_de_uma_sequ%C3%AAncia)

O limite de uma seqüência é um dos conceitos mais antigos de análise matemática. A mesma dá uma definição rigorosa à idéia de uma seqüência que converge até um ponto chamado limite.

De forma intuitiva, supondo que tem-se uma seqüência de pontos (por exemplo, um conjunto infinito de pontos numerados utilizando os números naturais) em algum tipo de objeto matemático (por exemplo, os números reais ou um espaço vetorial) que admite o conceito de vizinhança (no sentido de "todos os pontos dentro de uma certa distância de um dado ponto fixo"). Um ponto L é o limite da seqüência se para toda a vizinhança que se defina, todos os pontos da seqüência (com a possível exceção de um número finito de pontos) estão próximos a L. Isto pode ser interpretado como se houvesse um conjunto de esferas de tamanhos decrescentes até zero, todas centradas em L , e para qualquer destas esferas, só existiria um número finito de números fora dela.

Definição formal

• Para uma seqüência de pontos em um espaço métrico M com função de distância d

(como por exemplo, uma seqüência de números racionais, números reais, números complexos, pontos em um espaço normado, etc.): Se diz-se que L é o limite da seqüência e escreve-se

i.e.:se e somente se para todo (hodap) número real , existe um número natural N tal que para cada , satisfaz-se que

• Uma generalização desta relação, para uma seqüência de pontos em um espaço topológico T :

Índice

• 1 Definição formal o 1.1 Comentários
• 2 Exemplos
• 3 Ligações externas

Se diz-se que L é um limite desta seqüência e escreve-se

se e somente se para toda a vizinhança S de L existe um número natural N tal que para todo

Se uma seqüência tem limite, diz-se que a seqüência é convergente , e que a seqüência converge ao limite. Caso contrário, a seqüência é divergente.

Comentários

A definição significa que eventualmente todos os elementos da seqüência aproximam-se tanto como queiramos ao valor limite. (A condição que impõe que os elementos encontrem-se arbitrariamente próximos aos elementos subseqüentes não , implica em geral, que a seqüência tenha um limite. Veja sucessão de Cauchy).

É possível também que uma seqüência em um espaço topológico geral, possa ter vários limites diferentes, mas uma seqüência convergente possui um único limite se T é um espaço de Hausdorff, por exemplo, a reta real (estendida), o plano complexo, seus subconjuntos ( R , Q , Z ...) e produtos cartesianos ( R n...).

Exemplos

• A seqüência 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... de números reais converge ao limite 0.
• A seqüência 1, -1, 1, -1, 1, ... é divergente.
• A seqüência 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converge ao limite 1. Este é um exemplo de uma série infinita.
• Se a é um número real com valor absoluto | a | < 1, então a seqüência an^ possui limite
  1. Se 0 < a ≤ 1, então a seqüência a 1/ n^ possui limite 1.
• Também: