Cálculo numérico, Notas de estudo de Matemática

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APLICATIVOS

Com o objetivo de eliminar cálculos repetitivos e/ou trabalhosos alguns conteúdos apresentarão aplicativos. No índice os aplicativos estão indicados por aplic.nº - xls, onde xls é o link para as páginas onde estão os aplicativos. Ao clicar nos links "xls" serão abertas planilhas de programas que provavelmente estão instalados em seu computador. Estas planilhas podem ser exibidas no EXCEL ( do Microsoft Office), no STARCALC (do Staroffice), BROFFICE CALC (do BrOffice ou OpenOffice), entre outros. Em cada aplicativo são apresentadas informações de como utilizá-los. Recomendamos ao aluno que estude o conteúdo e aprenda a resolver os problemas também sem o uso dos referidos aplicativos, pois, em concursos ou outras disciplinas que você cursará, não será permitido o uso do mesmo. Além disso, para cursos ligados à computação, o aluno deve procurar observar como são criados os aplicativos. A lógica usada nos aplicativos pode servir como exemplo de linguagem de computação para uso em outras linguagens.

Chamamos a atenção do usuário para que observe as informações sobre quais células podem ser modificadas. Em geral elas são apresentadas com valores em vermelho. Nos aplicativos as células que não podem ser modificadas estão travadas. Entretanto, em alguns programas como o Starcalc, o travamento da célula não é mantido. No Excel e BrOffical Calc o travamento das células é mantido. Caso você modifique células que contém cálculos (fórmulas) feche o aplicativo sem salvá- lo e abra-o novamente.

6.2 – REGRA DO PONTO MÉDIO 58 6.3 - REGRAS DO PONTO À ESQUERDA E DO PONTO À DIREITA 59 6.4 - REGRA DO TRAPÉZIO 60 6.5 - REGRA DE SIMPSOM 61 6.6 - ERROS NAS REGRAS DO TRAPÉZIO E DE SIMPSON 62 6.7 – A REGRA DO TRAPÉZIO PARA VALORES TABELADOS 63 6.8 – A REGRA DE SIMPSON PARA VALORES TABELADOS 64 EXERCÍCIOS 64

CAPÍTULO 01 – ERROS

1.1 – INTRODUÇÃO

Em conteúdos anteriores você aprendeu a resolver algumas equações, determinar uma integral definida entre tantos outros cálculos. Estes cálculos envolviam fórmulas que permitiam resolver o problema algebricamente. Entretanto, nem toda equação, nem toda integral definida, etc, poderá ser resolvida mediante as regras conhecidas. Para resolver estes e outros problemas você deverá lançar mão de processos numéricos, que por meio de aproximações levam à solução do mesmo.

1.2 – ERROS Em toda medida, bem como em operações, o erro é um elemento sempre presente. Tomamos por exemplo a realização da medida do comprimento da barra abaixo:

Para tal podemos usar uma régua centimetrada, isto é, uma régua cuja menor divisão é o centímetro. Posicionando a régua adequadamente teremos:

Observe que o comprimento da barra é maior que 34 cm e menor que 35 cm. É convencionado adotar para tal situação uma leitura como 34,7 cm onde o dígito 7 é um valor impreciso. Tal dígito é chamado de algarismo duvidoso. Regra 1 – Ao usar um aparelho de medida devemos indicar na leitura até décimos da menor divisão da escala, salvo quando indicado pelo fabricante. Se a régua fosse milimetrada teríamos:

A medida da barra agora é maior que 34,6 cm e menor que 34,7 cm. A medida da barra deve ser então representada por 34,68 cm. Neste caso, o dígito 6 é correto enquanto que o dígito 8 é aproximado. Se as medidas já apresentam erros, evidentemente, ao operar com elas os erros irão se propagar tornando os resultados cada vez mais distantes da realidade.

Uma classe de erro que se deve levar em conta está ao utilizar dispositivos que efetuam cálculos como computadores, calculadoras, régua de cálculo, etc. Todos estes dispositivos limitam a quantidade de algarismos nos resultados e, isto implicará em erros que devem ser conhecidos de modo a ser ter alguma precisão do resultado. Nos computadores e calculadoras os dados de entrada são expressos na base dez e nestes dispositivos convertidos para a base binária com a qual se efetuam os cálculos. Estes são novamente convertidos para a base dez para transmissão ao usuário. As conversões são outras fontes de erros.

1.3 – SISTEMA DE BASES NUMÉRICAS

Definição 1. Seja uma base numérica B. Um número na base B é representado na forma

(b (^) nbn-1 bn-2 ...b 2 b 1 b 0 )B , sendo 0 < b (^) j < (B – 1), j = 1, 2, 3 ... n. Os termos bj são denominados dígitos usuais para a base B. Exemplo 1: B = 10 (base decimal) dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. (465228) 10 indica um número expresso na base 10. Exemplo 2: B = 2 (base binária) dígitos 0 e 1. (11001) 2 indica um número expresso na base 2.

Definição 2. O número (bn bn-1 bn-2...b 2 b 1 b 0 ) (^) B pode ser escrito na forma polinomial b (^) n .Bn^ + b (^) n-1.Bn-1^ + b (^) n-2.Bn-2^ + ... + b 2 B^2 + b 1 B 1 + b 0 B 0.

Exemplo 3: (210022) 3 = 2.3^5 + 1.3 4 + 0.3 3 + 0.3 2 + 2.3 1 + 2.3^0 Exemplo 4: (2297) 10 = 2.10^3 + 2.10^2 + 9.10^1 + 7.10^0 Nota 1. Como a base 10 é a base canônica (corrente) não há necessidade de indicá-la. Assim, 4376 é um número escrito na base 10.

1.4 – CONVERSÃO DE NºS INTEIROS NAS BASES DECIMAL E BINÁRIA.

Daremos importância a estas duas bases, pois a base decimal é a base usada para que o usuário se comunique com máquinas de calcular e computadores e a base binária é a base usada pelas máquinas nas operações. O processo de conversão de bases utiliza repetidas operações. Assim, podemos utilizar um aplicativo que realiza tais repetições evitando assim um excesso de trabalho. É possível criar aplicativos usando diferentes linguagens como o Pascal, Java, etc. Usaremos, devido a facilidade e o provável conhecimento da grande maioria dos usuários os aplicativos que trabalham com planilhas como o Excel (Microsoft Office da Microsoft), o StarCalc (StarOffice da Sun Microsystems) e o BROfice. O StarOffice, até a versão 5.2 e o BROfice podem ser obtidos gratuitamente na Internet.

a) Conversão de número inteiro da base 2 para a base 10. Seja, por exemplo: (1100101) 2 um número escrito na base 2. Escrevendo sua forma polinomial temos: (1101101) 2 = 1.2 6 + 1.2 5 + 0.2^4 + 1.2^3 + 1.2 2 + 0.2 1 + 1.2 0. Efetuadas as operações indicadas resulta: 1.64 + 1.32 + 0.16 + 1.8 + 1.4 + 0.2 + 1.1 = = 64 + 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 109 (na base 10).

Usando o Excel ou o StarCalc (1) Nas células C3 digite o número 1. (2) Na célula C4 digite = C32 para multiplicar o conteúdo da célula C3 por 2. A seguir pressione ENTER. No lugar de digitar C3 você pode clicar na mesma que ela será exibida no lugar devido. Na célula C4 será exibido o valor 2. (3) Clique na célula C4 para selecioná-la. No canto inferior direito será exibido um pequeno quadrado preto. (4) Posicione o ponteiro do mouse sobre esse quadrado. Mantendo o botão direito do mouse pressionado arraste-o pelas células abaixo da célula C4. Este procedimento irá copiar a fórmula para as demais células. Na coluna serão exibidas as potências de 2. (5) Na célula D3, D4, D5, ... digite os algarismos que constituem o número a ser convertido sendo que em D3 deve-se escrever o primeiro algarismo da direita. (6) Na célula E3 digite = C3D3 e pressione ENTER. (7) Clique na célula E3 e repita o procedimento para copiar a fórmula para as células da coluna E. (8) Clique na célula abaixo da última célula preenchida da coluna E. Vamos chamá-la de E (^) m. (9) Na barra de ferramentas abaixo da barra de menu clique no sinal Σ para obter a soma dos valores da coluna E. (10) Pressione ENTER. Na célula Em será exibido o número obtido ao transformar para a base 10.

Para o número (1100101) 2 o resultado será:

Para converter outros números basta digitá-los (um de cada vez, é claro!) na coluna D, substituindo os valores exibidos.

Experimente converter os números abaixo para a base 10. a) 0,1111101 b) 0, c) 0,10101 d) 0,

1.9 – ERROS ABSOLUTO E RELATIVO

Conforme já comentado anteriormente, o erro está sempre presente em cálculos devido à limitação das máquinas. É necessário se ter uma estimativa desse erro de modo a se ter alguma confiança nos cálculos ou nas medidas. Definição 5 : Seja X o valor exato de uma medida e X’ um valor aproximado. Chamamos de ERRO ABSOLUTO referente à medida X (EAX) à diferença entre o valor exato e o valor aproximado. Isto é: EAX = X – X’.

Em geral, apenas o valor aproximado X’ é conhecido. Neste caso utiliza-se uma estimativa para o módulo do erro absoluto tendo por base um limite superior. Tomando por exemplo √ 2 ∈ [1,411, 1,412], qualquer valor de √2 dentro desse intervalo teremos: |EAX| = |√2 – X| < 0,01, onde 0,01 é a amplitude do intervalo [1,411, 1,412].

Definição 6. define-se o erro relativo de uma grandeza X, à razão entre o erro absoluto e o valor aproximado usado para essa grandeza.

Escrevemos: ER (^) x = EAx/X’. Definição 7. Uma medida Y tem maior precisão que outra medida X se o valor absoluto do erro relativo da medida Y for menor que o erro relativo da medida X.

1.10 – ERROS DE TRUNCAMENTO EM UM SISTEMA DE ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE

Num sistema de Aritmética de Ponto Flutuante, a máquina estabelece o número de dígitos da mantissa. Conforme já foi definido, o truncamento se dá com a eliminação dos dígitos que ultrapassam a quantidade de dígitos usada pela máquina. Seja então um número x = 0.2342345 x 10 3 que deve ser truncado no quarto algarismo

após a vírgula. Deste modo x’ = 0.2342 x 10 3 , e em conseqüência EAx = 0.0000345 x 10^3 = 0.345 x 10 -1^ < 10-^. Seja então o número x = 0.b 1 b 2 b 3 b 4 ...b (^) k...b (^) n. 10m^. Ao truncá-lo no dígito de ordem k, teremos: x' = 0.b 1 b 2 b 3 b 4 ...b (^) k. 10m^. O erro será então EAx = 0.000...0b (^) k.....bn. 10m = 0.b (^) k+1...b (^) n. 10 -k.10 m^ = 0.b (^) k+1...b (^) n. 10 m-k^ < 10 m-k. Se x é um número negativo, devemos considerar o seu valor absoluto e nesse caso usar o valor absoluto do erro absoluto. De acordo com o exposto podemos estabelecer a seguinte regra:

"ao truncar a medida X = 0.b 1 b 2 b 3 b 4 ...b (^) k...b (^) n. 10 m^ para k dígitos na mantissa, o valor absoluto do erro absoluto será menor que 10 m-k.

O valor absoluto do erro relativo, já definido anteriormente é |ER (^) X| = |parte truncada|/|x’|. Como a parte truncada é menor que 10 m-k^ e x’ = 0.a 1 a 2 a 3 ... x 10m^ > 0,1 x 10 m^ = 10m - 1 , teremos |ER (^) X | < 10 m-k /10m-1^ = 10-k+1^. Assim,

" ao truncar a medida X = 0.b 1 b 2 b 3 b 4 ...b (^) k ...bn. 10 m^ para k dígitos na mantissa, o

valor absoluto do erro absoluto será menor que 10 -k+.

EXERCÍCIOS

1. Calcule os valores absolutos dos erros absoluto e relativo devido ao truncamento num sistema de ponto flutuante que opera com 5 dígitos (mantissa). A) 0.231567 x 10 4 B) 0,916354211 x 10 8.
2. Faça uma estimativa (limite) dos valores absolutos dos erros absoluto e relativo devido ao truncamento em um sistema de ponto flutuante que opera com 3 dígitos, para: A) 0,61254 x 10 2 B) 0,214672 x 10 -^.

1.11 – ERROS DE ARREDONDAMENTO EM UM SISTEMA DE ARITMÉTICA DE PONTO

FLUTUANTE

Num sistema de Aritmética de Ponto Flutuante onde o número de dígitos é p, se o dígito de ordem p + 1 for superior ou igual a 5, o dígito de ordem p é acrescido de 1 unidade. Se o dígito de ordem p + 1 foi inferior a 5, o dígito de ordem p é mantido. Tomando, por exemplo, para os números X = 0.2345 8 7 x 10^6 e Y = 0.2345 2 1 x 10^6 , num sistema que opera com 4 dígitos, teremos X’ = 0.234 6 x 10 6 e Y’ = 0.234 5 x 10 6. Note que em X’ o dígito 5 foi substituído por 6 pois 8 > 5 e em Y’ foi mantido o dígito 5 pois 2 < 5. Para X, o valor absoluto do erro absoluto foi de |EA (^) X | = |X – X’| = |0.2345 8 7 x 10^6 - (0.2345 + 0.0001)x10 6 | = = |(0.2345 + 0.000087).10 6 - (0.2345 + 0.0001)x10 6 | = |(0.000087 – 0.0001).10 6 | = = |(0,87 – 1).10 6-4| = |-0,13.10 2 |. Desejando apenas um limite superior para o erro, |-0,13.10 2 | < (1/2).10 2. Observação 1 : indicando a parte a ser arredondada sob a forma de ponto flutuante, teríamos 0.000087 x 10 6 = 0.87.10 6-4^ , onde 6 é o expoente da base em X (ou X’) e 4 é o expoente da base na parte a ser arredondada. Observação 2 : se a parte a ser arredondada fosse 5 x 10 6 , o erro seria igual a (1/2)x10 2. O valor absoluto do erro relativo é de: |ERX| = |X – X’|/|X’| = |-0,13.10 2 |/|0.234 6 x 10 6 | = 0.5541.10 -^. Desejando apenas um limite superior para o erro, |X – X’| < (1/2)x10 2 e |X’| > 0.1x10 6 ⇒ |ERX| < (1/2)x10 2 / 0.1x10^6 = (1/2).10 2-6+1^ = (1/2).10-^. Para Y, |EAY| = |0.2345 2 1 x 10 6 - 0.234 5 x 10 6 | = |0.000021.106| = 0.21.10 6 .10 -5^ = 0.21.10 1. Como o primeiro dígito após o dígito a ser exibido é menor que 5, podemos garantir que |EAY| < (1/2).10 1. |ERY| = |0.21.10 1 |/|0.234 5 x 10 6 | = 0.8955 x 10 -5^ , Para estimar o limite superior temos: |EAY| < (1/2).10 1 e X > 0.1 x 10 6 ⇒ |ERY| < (1/2).10^1 /0.1x10 6 < (1/2).10 -^. Pelos exemplos acima, e comparando com o exposto para os valores absolutos dos erros absoluto e relativo no processo de truncamento, vemos que no processo de arredondamento, as previsões para estes erros serão menores que a metade das previsões feitas para o processo do truncamento. Do exposto acima, através dos exemplos, pode-se concluir: "ao arredondar o número X = 0.b 1 b 2 b 3 ...x10m, para pk dígitos na mantissa o valor absoluto do erro absoluto é menor que (1/2).10 m-k^ e o valor absoluto do erro absoluto é menor que (1/2).10 -k+1."

1.12 – ERROS NAS OPERAÇÕES ARITMÉTICAS DE PONTO FLUTUANTE

Qual seria o resultado da operação (0.835. 10 3 x 0.689. 10 2 ) x 0.787. 10^5 num sistema de aritmética de ponto flutuante de três dígitos? O valor exato dessa operação seria: 0,452772905. 10 10. A máquina efetuará cada operação e, para cada resultado, ela registra na memória o valor truncado ou arredondado, de acordo com o processo programado na mesma. Usando o processo do truncamento, a primeira multiplicação teria como valor exato 0,. 105, que seria truncado para 0.5753. 10 5 e que seria registrado na memória. Este valor seria multiplicado por 0.787.10 5 , resultando exatamente 0,4527611 x 10 10 , e registrado na memória o valor 0.4527. 10 10. Na primeira operação já subsiste um erro que será levado para a segunda operação onde novo erro será cometido. Note a diferença entre o resultado exato e o resultado sem truncamento após a segunda operação. Assim, é fundamental que se conheça a limitação da máquina para que se tenha confiança no resultado final da operação. Imagine que os valores iniciais sejam as arestas de um paralelepípedo e que a operação represente o volume do mesmo. Até que ponto é confiável o resultado?

1.13 – ESTIMATIVA DE ERROS NAS OPERAÇÕES ARITMÉTICAS DE PONTO FLUTUANTE

Sejam X e Y os valores absolutos exatos de dois números e X’ e Y’ os valores absolutos arredondados ou truncados num sistema aritmético de ponto flutuante. De acordo com a definição de erro absoluto (EA), X = X’ + EAX e Y = Y’ + EAY.

2. Converta os seguintes números binários para a forma decimal. a) 11100101 b) 101011110 c) 0.100111 d) 0.
3. Sejam X = 234.167 x 10 4 , Y = 0.23155 x 10 -5^ , Z = 0.231495 x 10 12. Considerando um sistema aritmético de ponto flutuante de 4 dígitos, a) escreva os números nesse sistema considerando que a máquina adota o processo de truncamento. b) escreva os números nesse sistema considerando que a máquina adota o processo de arredondamento. c) Calcule os erros absolutos e relativos quando os números são guardados na memória da máquina que usa o processo de truncamento. d) Calcule os erros absolutos e relativos quando os números são guardados na memória da máquina que usa o processo de arredondamento.
4. Uma máquina cujo sistema de representação de números é definida por: Base = 10, t = 3 (número de dígitos da mantissa), [-6, 6] intervalo de variação do expoente da base. a) Qual é o maior número representado nessa máquina? b) Qual é o menor número positivo representado nessa máquina? c) Qual é o maior número negativo representado nessa máquina? d) Qual é o maior número negativo representado nessa máquina?

c) Se X = 6452 e Y = 33, que resultado a máquina fornecerá para X + Y? e para X.Y?

5. Calcule os erros absoluto e relativo ocorrido quando uma máquina que utiliza um sistema aritmético de ponto flutuante de 4 dígitos ao registrar o número X = 0.654987 x 10 5 , se a) o processo usado for o de truncamento; b) o processo usado for o de arredondamento.
6. Calcule o erro nas operações abaixo em uma máquina que utiliza o processo de truncamento num sistema aritmético de ponto flutuante com 4 dígitos, considerando X = 0.65498 x 10 4 e Y

= 0.12345 x 10 4. (usando os cálculos e usando as fórmulas) a) X + Y b) X. Y

7. Resolva o item anterior considerando um sistema que utiliza o processo de arredondamento. (usando os cálculos e usando as fórmulas)
8. Faça uma previsão dos módulos do erro relativo e do erro absoluto considerando uma máquina que utiliza o processo de truncamento num sistema aritmético de ponto flutuante com 4 dígitos, ao registrar os números X = 0.65498 x 10 4 e Y = 0.12345 x 10 8.

CAPÍTULO 2 – ZEROS DE FUNÇÕES REAIS

2.1 – INTRODUÇÃO

Consideremos inicialmente o problema: “determinar um número que somado ao seu quadrado é igual a 12”. A solução desse problema envolve uma equação do tipo x + x 2 = 12, cuja resolução leva à determinação de tal número. Equações como a acima são de fácil solução pois, após um árduo trabalho, matemáticos já descobriram uma fórmula para resolve-la. Entretanto, equações como x 6 + 2x – 1 = 0, não é possível resolver (ainda não foi descoberta uma fórmula) por meio de fórmula. Neste capítulo estudaremos processos que permitem resolver equações de qualquer tipo a partir de aproximações.

2.2 – RAÍZES OU ZEROS DE UMA FUNÇÃO REAL

Seja f(x) = 0 uma função com coeficientes reais, domínio R ou parte de R e contradomínio R ou parte de R. Tais funções são denominadas funções reais. Exemplo 1: f(x) = 6√x + ln x 2 é uma função real; f(x) = 3iz 2 + 4z + 2i com i = √-1 não é função real.

Definição 1 – Dizemos que r é raiz ou zero da equação f(x) = 0 se f(r) = 0.

Exemplo 2: Seja a função f(x) = x 2 – 3x + 2. 2 é raiz ou zero de f(x) pois f(2) = 2 2 – 3.2 + 2 = 0.

5 não é raiz ou zero de f(x) pois f(5) = 5 2 – 3.5 + 2 = 12 ≠ 0.

Na análise gráfica de f(x), o zero ou raiz de f(x) equivale à abscissa r do ponto onde o gráfico de f(x) corta ou tangencia o eixo horizontal.

No gráfico ao lado r 1 , r 2 e r 3 são raízes ou zeros de f(x).

2.3 – DETERMINAÇÃO DE RAÍZES REAIS

A determinação de raízes reais por meio de transformações algébricas ou fórmulas é assunto já estudado. Iremos estudar métodos que permitem determinar, por aproximações, as raízes reais de uma equação. Todo procedimento para a determinação das raízes é constituído de duas fases: 1ª fase : - localização ou isolamento das raízes. Nesta fase procura-se obter um intervalo que contenha a raiz. Usa-se um intervalo para cada raiz.

2ª fase: - Refinamento. Nesta fase escolhida uma aproximação inicial no intervalo estabelecido na fase 1, melhorar a aproximação por processo iterativo (usando a aproximação anterior) até que se obtenha uma raiz dentro da aproximação ou precisão prefixada.

2.4 – ISOLAMENTO DAS RAÍZES

Uma propriedade que pode ser usada para a localização de intervalos que contém a raiz consiste em: “se f(x) é uma função contínua no intervalo [a, b] e f(a).f(b) < 0 então existe pelo menos um valor r entre a e b que é zero de f(x)”.

A propriedade acima afirma que f(a).f(b) < 0 existirá obrigatoriamente uma raiz no intervalo [a, b]. É evidente que se f(a).f(b) = 0, pelo menos um dos fatores f(a) e f(b) será uma raiz de f(x).

Entretanto, se f(a).f(b) > 0 não é garantida a não existência de raízes no intervalo [a, b].

Usando as informações acima e observando o gráfico temos: (1) Intervalo [a 1 , b 1 ], f(a 1 ) < 0 e f(b 1 )

0 ⇒ f(a 1 ).f(b 1 ) < 0 ⇒ existe pelo menos uma raiz no intervalo [a 1 , b 1 ]. No intervalo r 1 é a única raiz no intervalo [a 1 , b 1 ]. (2) Intervalo [a 2 , b 2 ], f(a 2 ) = 0 e f(b 2 ) < 0 ⇒ f(a 2 ).f(b 2 ) = 0. Neste caso a (^2) ou b 2 é raiz. Como pode ser notado a 2 é raiz de f(x). (3) Intervalo [a 3 , b 3 ], f(a 1 ) < 0 e f(b 1 ) < 0 ⇒ f(a 1 ).f(b 1 ) > 0. Apesar do produto ser positivo existem duas raízes no intervalo, r 2 e r 3. (4) Intervalo [b 2 , a 3 ], f(b 2 ) < 0 e f(a 3 ) < 0 ⇒ f(a 3 ).f(b 3 ) > 0 e no intervalo não existem raízes de f(x).

A derivada da função é muito útil para reconhecer se no intervalo [a, b], tal que f(a).f(b) < 0, existe mais de uma raiz. Se no intervalo a função é crescente temos f’(x) > 0 e se a função for decrescente f’(x) < 0. Se o sinal da derivada não modificar no intervalo, então nesse intervalo existe uma e somente uma raiz ou zero.

Para obter intervalos onde se localizam as raízes podemos:

(1) construir uma tabela com valores atribuídos a x e calcular os valores correspondentes de f(x). Exemplos: f(x) = x 3 – 8x + 6 Calculando f(x) para alguns valores de x temos:

Analisando o gráfico observa-se que as curvas se interceptam nos intervalos [-1, 0] e [6, 7]. Existindo, portanto, uma raiz em cada um dos intervalos.

2.5 – REFINAMENTO

Existem vários métodos de refinamento de raízes onde se torna possível determinar um valor aproximado para a ou as raízes de uma equação. Em todos eles instruções são executadas passo a passo tendo como base o resultado anterior (processos iterativos). O processo deve ser continuado até que se atinja um resultado próximo ao esperado ou cujo erro seja inferior a um valor conhecido. Seja uma função f(x) com uma raiz r no intervalo [a, b]. Uma raiz r’ é dita aproximada com a precisão ε, se (1) |r’ – r| < ε, ou (2) r’ ∈ [a, b] e b – a < ε. No primeiro caso, a raiz exata deve ser conhecida, o que geralmente não acontece. Para o segundo caso, r´ pode ser qualquer valor pertencente ao intervalo. Nos itens a seguir veremos três processos para o refinamento das raízes.

2.6 - MÉTODO DA BISSECÇÃO PARA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES

O princípio fundamental do método da bissecção consiste em localizar a raiz em um intervalo [x 1 , x 2 ], onde a função é estritamente crescente ou estritamente decrescente, e considerar a raiz aproximada como o ponto médio desse intervalo, ou seja, a raiz será (x 1 + x 2 )/2. Para que a raiz pertença a tal intervalo, nas condições citadas, devemos ter f(x 1 ). f(x 2 ) < 0. Nesta consideração o erro cometido será menor ou igual à metade da amplitude do intervalo [x 1 , x 2 ].

Isto é: erro = ε < |x 2 - x 1 |. Veja figura abaixo.

€€€Para tornar o erro menor, pode-se dividir o intervalo em dois intervalos de amplitude igual à metade da amplitude do intervalo anterior. Para isso, tomemos x 3 = (x 1 + x 2 )/2. A raiz estará no intervalo [x 1 , (x 1 +x 2 )/2] se f(x 1 ).f((x 1 +x 2 )/2) < 0, caso contrário ela estará no intervalo [(x 1 +x 2 )/2, x 2 ]. Veja figura a seguir. €€ €€€€€€€€€€€€

A repetição do processo fará com que, a cada iteração o ponto médio do intervalo se aproxime cada vez mais da raiz. Assim, o processo deverá ser continuado até que se obtenha uma aproximação com erro inferior ao solicitado.

Como o processo é iterativo (repetições de cálculos) podemos usar o Excel ou StarCalc para facilitar os cálculo. Você pode também criar um aplicativo no Pascal ou outra linguagem para resolver equações por este processo.

Vejamos isto na prática.

Seja, por exemplo, resolver a equação: f(x) = 5x 2 + ln |2x – 3| - 3 com erro menor ou igual a 0,001.

1 - Inicialmente, por processo gráfico, localizemos as raízes. Vamos usar o aplicativo Construtor Gráfico, que se encontra neste site, menu EDUCATIVO. Aberta a janela do aplicativo

Vamos resolver a equação 5x 2 + ln|2x - 3| - 3 = 0. Digite no campo f: 5x^2 + ln|2x – 3| -3 e a seguir marca-se a opção PLOT. Isto fornecerá o gráfico abaixo.

Observando o gráfico, nota-se que existem duas raízes: uma no intervalo [-1, 0] e outra no intervalo [0, 1].

Vamos obter uma aproximação para a raiz pertencente ao intervalo [0, 1].

2 - Abra o Excel ou no StarCalc e siga as instruções abaixo:

2.1 – Identificando as colunas: – usaremos as células indicadas na figura abaixo como referência

2.2 – Especificando os conteúdos das células: C10 – digite o limite inferior do intervalo (no caso, 0) D10 – ponto médio do intervalo. Digite = (C10 + E10)/2 e pressione ENTER. Lembre-se que para exibir as referências às células você pode clicar na célula. E10 – digite o limite superior do intervalo (no caso, 1) F10 – valor de f(x 1 ). Digite, = 5C10^2 + ln(ABS(2C10 – 3)) – 3** e pressione ENTER. A função ABS calculará o valor absoluto de 3x – 2. G10 e H10 – Copie a fórmula da célula F10. I10 – Digite: =SE(J10>=K10;"continua";D10). Esta coluna indicará até onde deve ser dado continuidade ao processo. O primeiro número após o texto "continua" será a raiz com erro menor ou igual à precisão solicitada, que no caso é 0,001. J10 - Digite: =ABS(ABS(C10)-ABS(D10)). Nesta coluna você irá obter a amplitude do intervalo. Como estamos usando o ponto médio do intervalo o erro máximo cometido será a metade da amplitude do intervalo [x (^) i , xi+1]. K10 - Digite o valor da precisão indicada no enunciado. No caso, digite 0,001. C11 – Digite: =SE(F10G10<0;C10;D10). D11 – Digite: Copie a fórmula da célula D10. E11 – Digite: =SE(F10G10<0;D10;E10). As fórmulas da células C11 e E11, fará com que sejam escolhidos os limites inferior e superior do novo intervalo. F11 , G11 , H11 : Copie as fórmulas das células F10, G10, H10, I10 para as células F11, G11, H11, I11. J11 - Digite: = J10/ K11 - digite: = K10. Copie as fórmulas das células C11 a k11 para as células inferiores. Selecione todas as células e arraste para as células inferiores.

3. CONCLUINDO:

Veja como ficam os valores calculados ao usar o EXCEL

Na célula 19 temos a raiz aproximada da equação com erro inferior a 0,001.

Note que: “o número de algarismos após a vírgula deve se igual ao número de algarismos após a vírgula exibido na previsão do erro (0,001). “

Desta forma, a raiz da equação resolvida é 0,713 se usado o processo de truncamento ou 0,714 se usado o processo de arredondamento. O mesmo algoritmo pode ser usado para obter a aproximação da raiz no intervalo [-1, 0]. Neste caso basta substituir os valores 0 e 1 das células C10 e E10 por –1 e 0, respectivamente. Se você deseja manter a tabela usada para o cálculo da primeira raiz, para obter a segunda raiz, selecione todas as células. Pressione CTRL + C para copiar o conteúdo selecionado para a área de transferência. Clique na célula C26 (ou outra abaixo na mesma coluna) e pressione CTRL + V para colar o conteúdo nas células a partir de C26.

Ao resolver outras equações, basta substituir os limites do intervalo inicial exibidos nas células

Célula H10 – digite a fórmula = H9. Você copiará o valor do erro para a próxima célula. A vantagem de se copiar o valor da célula H9 é que bastará substituir o valor do erro desejado na célula H9 que o mesmo será exibido nas demais células da coluna H. Selecione as células E9, F9 e G9 e copie as fórmulas para as células E10, F10 e G10, respectivamente. Selecione agora as células D10, E10, F10, G10 e H10 e copie as formulas para as células para as linhas 11 a 17. Concluindo: o primeiro valor exibido na coluna G, após o último “continua” é a raiz aproximada com erro inferior a ε. Veja como ficou o algoritmo.

IMPORTANTE: na raiz deve-se considerar a mesma quantidade de algarismos após a vírgula que os apresentados no limite ε do erro aceitável. Você pode usar o processo de arredondamento ou de truncamento. Concluindo: uma das raízes da equação f(x) = x 2 – 2,15x – 9,37 com erro inferior a 0,001 é 4,319, resultado este obtido na célula G12. Vamos calcular agora a outra raiz (x 1 ). Selecione as células de C8 a H17. Copie as células (use Ctrl + C) e, clicando na célula C20 cole o conteúdo copiado (use Ctrl + V). Substitua o conteúdo da célula D9 por um valor próximo da outra raiz x 1. Substitua, por exemplo, o número 3 exibido na célula D9 por 0. Você verá que na célula G23 será exibido o valor dessa outra raiz, ou seja x 1 = -2,169.

ATENÇÃO: você pode usar este mesmo algoritmo para calcular as raízes que qualquer equação. Basta substituir os conteúdos das células D9, E9, F9, G9 e H9.

2.8 - MÉTODO DA SECANTE

Este processo para determinação de aproximações das raízes de uma equação é semelhante ao método de Newton-Raphson. Nele, a equação da tangente é substituída pela equação da secante que corta a curva da função em dois pontos cujas abscissas definem um intervalo onde está contida a raiz.

Tomemos, por exemplo, o gráfico abaixo:

No gráfico, r é a raiz de f(x). Tomemos os pontos de abscissas x = x 0 e x = x 1 e tracemos a

secante S 1. A equação da secante que passa pelos pontos (x 0 , f(x 0 )) e (x 1 , f(x 1 )) é

Podemos considerar como primeira aproximação para a raiz de f(x) o valor x 2 que corresponde à abscissa do ponto onde a secante corta o eixo horizontal. Para este ponto x = x 2 e y = 0. Substituindo os valores na equação da secante, resulta:

Por x 2 e x 1 tracemos a secante S 2. A interseção da secante com o eixo horizontal, cuja abscissa

é x = x 3 , é a segunda aproximação para a raiz de f(x). Conforme deduzido acima,

Continuando o processo, a aproximação de ordem n será: O processo deve continuar até que |x (^) n + 1 – xn| < ε. Vamos usar o Excel ou StarCalc para criar um algoritmo que permite determinar tais raízes.

Tomemos por exemplo a equação ln x – e -3x^ = 0 com erro inferior a 0,0001. Passo 1 – Usando o construtor gráfico do site MEU MUNDO, construa o gráfico da função lnx – e-3x^. No construtor gráfico digite ln x – e^(-3*x) e localize a ou as raízes de modo a poder tomar dois pontos para determinação da equação da secante. Um cuidado a ser tomado na escolha dos pontos para se obter a primeira secante. Seja, por exemplo, uma equação cujas raízes são r 1 e r 2 , tais que r 1 < r 2. Na determinação da raiz r 2 , ao escolher as abscissas x 0 e x 1 para o traçado da secante, deve-se fazê-lo de modo que a secante

intercepte o eixo horizontal em um ponto x 2 tal que x 2 > r 1. Para determinação de r 1 , a escolha de x 0 e x 1 deve ser tal que a secante corte o eixo horizontal em um ponto de abscissa x 2 tal que x 2 < r 2. Este procedimento evita a divergência do processo.

Passo 2 – Identificação das colunas. Identifique as colunas conforme indicado na figura abaixo.

Passo 3 – Preenchimento das células. 3.1 - Células C7 e D7 preencha-as com quaisquer valores para x no intervalo de definição da função. Digamos 2 e 4, respectivamente. 3.2 - Célula E7 – digite =D7-G7(D7-C7)/(G7-F7). Você estará calculando a aproximação x (^) n+ para a raiz. 3.3 - Célula F7 – digite =LN(ABS(C7)) - EXP(-3C7). Você estará calculando o valor de f(x), onde x é o conteúdo da célula C7. 3.4 - Célula G7 e H7. Copie para estas células a fórmula da célula F7. 3.5 - Célula I7 – digite =SE(ABS(E7-D7)>=J7;"continua";E7). Na coluna I, você estará selecionando a aproximação para a raiz com a previsão de erro. A raiz será o primeiro número após a indicação continua. 3.6 - Célula J7 – digite o valor da estimativa para o erro. 3.7 - Célula C8 – digite =D7 para copiar o valor x (^) n. 3.8 - Célula D8 – digite =E7 para copiar o valor de x (^) n + 1. Selecione as células F7, G7, H7, I7 e copie as fórmulas para as células F8, G8, H8, I8. 3.9 - Célula J8 – digite =J7 para copiar o valor do erro. 3.10 - Selecione as células C8 até J8. Copie as fórmulas paras as células abaixo até a linha 24.

Veja como ficou a tabela:

A raiz da equação é então 1,0445 com erro inferior a 0,0001. Note que o número de dígitos após a vírgula deverá ser igual ao número de dígitos após a vírgula apresentados no erro.

EXERCÍCIOS

1. Localize os menores intervalos [a, b], a e b inteiros, onde estão localizadas as raízes das equações: a) e 2x^ – x 2 = 0 b) x 4 - 3x + 1 = 0 c) 5.ln(x^2 - 1) + √x = 0. d) 5- x.ln(x + 3) = 0. e) 4 2x^ - x 2 = 0 f) 3.sen (4x - 1) + 2x = 0.
2. Resolva as equações acima usando cada um dos três métodos, com precisão de 0,001. Para cada equação, qual método utiliza menor número de interações?
3. A solução da equação x 5 – 20 = 0 é x = 20 1/5. Calcule então a raiz quinta de 20, com precisão de 0,001.
4. A solução da equação sen x - 1 = 0 no intervalo [0, π] é x = π/2. Calcule o valor de π com 6 casas decimais.

5 - Resolva as equações abaixo, com erro inferior a 0,0001, utilizando os processos I) bissecção II) Newton-Raphson (quando a derivada for simples de ser obtida). III) secante. Para cada uma dê o número de iterações e informe qual foi o método mais rápido. (1) 0,658x 5 – 8,68x^4 + 41,63x^3 – 88,09x 2 + 79,35x –23,33 = 0. (2) e x^ – x^2 + 3x – 2 = 0. (3) (x – 2) 2 – ln|x| = 0 (4) x 2 – 2xe-x^ + e -2x^ = 0. (5) cos (x + √2) + x.(x + 2√2)/2 = 0 (6) x 3 – 3x 2 .(2 -x) + 3x.(4 -x) + 8-x^ = 0 (7) e 6x^ + 3.(ln2).e 2x^ – (ln 8).e4x^ – (ln 2) 3 = 0.

6 – Determine os intervalos que contenham as raízes das equações, com amplitude 0,5. a) x.cosx – 2x 2 + 3x – 1 = 0.

O sistema triangular é de fácil solução, pois basta calcular o valor da variável x (^) n na última equação e, em seguida, substituir o valor encontrado na penúltima equação. Segue-se o processo usando os valores encontrados anteriormente para a equação anterior até chegar à primeira equação e aí obter o valor de x 1. Isto é: Da última equação obtém-se: x (^) n = bn /ann.

Da penúltima equação a (^) n-1,n-1x (^) n-1 + a (^) n-1,nx (^) n = bn e usando o valor de xn, teremos x (^) n – 1 = [b (^) n-1 - a (^) n-1,n-1x (^) n-1]/a (^) n-1,n-1. Sucessivamente se obtém x (^) n – 2 , ....x 2 , x 1 , onde x 1 = [b 1 – (a 11 x 1 + a 12 x 2 + a (^) 1,n-1x (^) n-1 + a1n x (^) n )]/ a 11.

Pode-se resolver o sistema manualmente, porém, como a solução admite uma seqüência lógica, podemos usar aplicativos para resolvê-lo. Vamos usar o Excel ou o StarCalc para isso. Veja a seqüência abaixo: Aberto um dos programas acima: (1) Construa uma tabela com os coeficientes das variáveis e os termos independentes conforme indicado na figura a seguir:

(2) Na célula J10 digite: =H10/G10 para calcular o valor da variável x 1. Lembre-se que para exibir o valor da célula basta clicar na mesma. (3) Na célula J11 digite: =(K10-J10M9)/I10 para calcular o valor da variável x 2. (4) Na célula J12 digite: =(K11 - M9J11-M10I11)/H11. (5) Na célula J13 digite: =(K12-M9J12-M10I12-M11H12)/G12. (6) Na célula J14 digite: =(K13-M9J13-M10I13-M11H13-M12G13)/D14. (7) Na célula J15 digite: =(K14-M9J14-M10I14-M11H14-M12G14-M13*F14)/E14 para calcular o valor da variável x 6. Os valores das raízes serão exibidas nas colunas J11, J12, J13, J14, J15. Você pode estender o procedimento para um valor maior de variáveis e usar o algoritmo para resolver qualquer sistema triangular, substituindo apenas os coeficientes das variáveis e os termos independentes. Se você criou um dispositivo para resolver um sistema com n equações, o mesmo pode ser usado para um número menor de equações. Neste caso, considere os coeficientes das variáveis não existentes por zero.

3.3 – MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS (MÉTODO DIRETO)

Quando o sistema não se apresenta na forma triangular utiliza-se o método de eliminação de Gauss para torná-lo triangular. Podem ser aplicadas as transformações, denominadas transformações lineares: (1) trocar as posições das equações: (2) multiplicar uma equação por um número real, não nulo. (3) somar uma equação com outra multiplicada por um número real.

Usaremos os símbolo A (n)^ e a (^) ij(n)^ para indicar a matriz A e o elemento a (^) ij após aplicada a n- ésima transformação. A matriz original e o elemento original serão indicados, respectivamente, por A (0)^ e a (^) ij(0)^.

Seja A(0)|b(0) a matriz ampliada do sistema. Isto é a matriz formada pelos coeficientes das variáveis à qual se acrescentam os termos independentes. Consideremos a (^) ij(0)^ ≠ 0. Caso não o seja, troca-se a ordem das equações de modo a tornar a (^) ij(0) ≠ 0 Esse elemento é denominado pivô. Aconselha-se também escolher como pivô um elemento não próximo de zero pois isto pode levar a erros de aproximação. Para eliminar a variável x 1 nas equações i = 2, 3, 4 ... n, da equação i subtrai-se a equação 1

multiplicada por m (^) i1 = a (^) i1(0)^ /a 11 (0)^. Zerando os elementos a (^) i1, com i = 2, 3, 4, ...n, numa segunda fase, toma-se como pivô o elemento ai2 (1) ≠ 0. Caso o mesmo seja nulo ou próximo de zero, troca a posição das linhas 2, 3, 4, ... n.

Repete-se o procedimento, zerando os elementos a (^) i2, i = 3, 4, 5, ... n. O processo é continuado até atingir a linha n.

Exemplo: Seja, resolver o sistema: 3x + y – z = 12 x + y + 3z = 15 2x - y + 5z = 19.

Pivô: a 11 (0)^ = 3. Multiplicadores m 21 = 1/3 m 31 = 2/ L2 – m 21 .L1 à L2 (esta notação é usada para sustituir a linha 2 pelo resultado L2 - m 21 .L1) L3 – m 31 .L1 à L

Pivô a 22 (1)^ = 4/3. Multiplicado m 32 = (-5/3)/(2/3) = -5/2. L3 – m 32 .L2 à L

Assim: (42/3)z = 77/4 ⇔ z = 11/ y = [11 – (10/3).(11/4)]/(2/3) ⇔ y = 11/ x = [12 –1.(11/4) – (-1).(11/4)]/3 ⇔ x = 4. Resposta: (4, 11/4, 11/4).

Como deve ter sido notado, a escolha dos multiplicadores torna o processo dependente do sistema a ser resolvido. Para que a escolha não seja dependente do sistema a ser resolvido, podemos usar o seguinte procedimento: 1º passo - multiplica-se cada equação pelo produto de todos coeficientes da primeira variável dividido pelo coeficiente dessa mesma variável exibido na respectiva equação. 2º passo - substitui cada equação pela diferença dessa equação e a primeira equação. Deste modo, apenas o coeficiente da primeira variável na primeira equação será diferente de zero.

3º passo - repete-se o primeiro passo para as equações à partir da segunda equação e igualando os coeficientes da segunda variável. 4 passo - repete-se o segundo passo para as equações a partir da segunda equação. Em conseqüência, todos os coeficientes da segunda variável serão nulos, exceto na primeira e segunda equação. Repete-se então o processo até que o sistema se torne um sistema triangular.

Pode-se criar um algoritmo no Excel ou no StarCalc, para n variáveis. Entretanto, o algoritmo somente poderá ser usado para sistemas com um número de variáveis menor ou igual a n. Veja abaixo como criar o dispositivo para sistemas de até 8 equações.

Digite os valores dos coeficientes e termos independentes nas células A1 e seguintes, conforme figura abaixo. (1) Em A10 digite =A (2) Em A11 digite =SE(($A$2)=0;A2;A2 - A1$A$2/$A$1). Esta fórmula irá zerar o coeficiente da primeira variável na segunda equação. Se este coeficiente já for igual a zero, os coeficientes da equação serão mantidos. (3) Copie conteúdo da célula A11 para as células A12 até A17. O conteúdo da célula A12 deverá ser =SE(($A$3)=0;A3;A3 - A1$A$3/$A$1). Entretanto, ao copiar a fórmula, em A12 será exibido =SE(($A$2)=0;A3;A3 - A2*$A$2/$A$1). Observe as diferenças entre a fórmula ao ser copiada e a que deveria ser exibida. Diferenças como esta serão apresentadas em todas as demais células da coluna A. Faça então as modificações necessárias, em cada célula da coluna A, usando para isso a barra de ferramentas no campo onde é exibida a fórmula. (4) Depois de feitas as modificações nas células A12 a A17, copie as fórmulas das células A a A17 para as células B10 a J17. Temos então os coeficientes da primeira variável iguais a zero com exceção do coeficiente dessa variável na primeira equação.