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Integração Numérica 159 1 — FÓRMULAS DE NEWTON-COTES As fórmulas de Newton-Cotes são aplicadas na integração de funções conhecidas em pontos equidistantes. Estas fórmulas são de dois tipos: fechadas ou abertas. As fórmulas fechadas usam também os valores da função a ser integrada nos extremos do intervalo de integração; as fórmulas abertas não usam esses valores, Neste texto estudaremos apenas as fórmulas fechadas. a) Fórmula dos trapézios A integral de uma função f no intervalo [a, b] pode ser apro- ximada pela área de um trapézio, conforme a Fig. 1.1. roo f(b) o) a b x Fig 11 Assim, teremos: b ] Fo)dx = (Ela) + F(b)) ea (11) A O valor fornecido por (1.1) é uma aproximação do valor exato da integral. Assim, existe um erro, dado pela diferença: E= IN EG) dx — (E) + Eb) ea (42) a 160 Noções de Cálculo Numérico Vamos calcular este erro. Para isto é importante notar que a área (E) + Eb) 50 é a integral exata, no intervalo [a, b], da teta que passa pelos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)). Esta reta é o poli- nômio interpolador da função f em relação aos pontos a e b. Sabemos do capítulo anterior que, para cada x E [a, b] temos: fO) =ffaJ+ (x-a)f[a,b] + R(x) onde po Rana É cietab] Logo, b b bd ) rogo = [ Cal + Ga) abas + f R(y)dx a a a Como f (Ela] + (x a) fla b))dx = (Eta) + FOohçd a) a temos de (1.2) que b Lf? m E=) RO)dx=5 | Goakx-bDE EO (3) a “Ja À proposição seguinte fornece o valor deste erro. Proposição 1.4 O erro cometido ao calcular a integral da função f no intervalo [a, b] pela fórmula dos trapézios é dado por: 3 —h3 o E-Dro- fe) celab] (1.4) Prova: De (1.3) temos que: 1[*º ” E=5] (eoata-b fio) a Vamos fazer a mudança de variável x (0) =a +ahondeh=b-a, a E j0, 1], de modo a tornar a integral independente dos particulares valores de a e b. Assim, dx = hda e existe Eq E [0, 1] correspondente acxela,b]. 162 Noções de Cálculo Numérico Neste caso, parax= |, f(x)=leparax=9,f(x)=7. Portanto, ? = E-1) ) V6x25 = (f(1) + f(9)) “o=3 1 O erro cometido será, no máximo, 384, pois 8 3 IEi max =" max |-9(6x—5)% | = 12 xels,9) 3 eli) t ) = 128, À = 9=384 Para reduzir o erro cometido podemos subdividir o intervalo fa, b] em n subintervalos de mesmo comprimento h = dra e consi- derar, como aproximação da integral, a soma das áreas dos trapézios obtidos a partir de cada um dos n subintervalos. Uma ilustração dessa situação é mostrada na Fig. 1.2 tl ++ ++ a x as mb x Fig. 1.2 ft) ondexm =x th,i=0,1,...,n—-Lxo=aexn=b. Integração Numérica 163 Sabemos que: IN fx) dx fº fo)dx = f dx + [Urca + a Xo Xo x (1.6) *n +. "|, fG)dx Xn-1 Em cada subintervalo [x;. 1, xi = 1,2,...,n, temos: xi h FO) dx =5 (E Qu.a) + f(x) + E; 0.7 Xi-1 onde Rê cu E=-fte) sela] (1.8) Substituindo (1.7) em (1.6), vem: b h EC) dx = 5 (f(x) + 284) + 2800) +... + a €.9) n +28 Gn) + FG) + DE ia Portanto, b h FO)dx = (169) +286) +... 4280) + a (1.10) + EO) que é a fórmula dos trapézios repetida para n subintervalos. Proposição 1.2 O erro cometido ao calcular a integral da função f no intervalo [a, b] pela fórmula dos trapézios repetida para n subinter- valos é dado por 3 Er = onhº - é quo = DÊ peço, cela b) Gui) 12nº Prova: De (1.8) temos que Integração Numérica 165 Utilizando a fórmula (1.9), temos Sm f 6x5 dx =ÍU+53+722+80+0+1114122+ 1 +131+7) =1 (56) =378 Vamos delimitar o erro cometido nesta uproximação. Como max [f"(M| = 9 xel1.9] de (1.12), temos: a Eri(x), que passa pelos pontos igualmente espaçados (a, f (a)), (m, f(m)) e (b, f(b)), conforme a fig. 1.3. Assim, como vimos no capítulo anterior, tomando h = — temos: f(x) = polx) + R$(6x) vx E [a,b] (1.13) onde pl) = +(e—a) dito +) ae (14) 
