Calculo numerico, Notas de estudo de Engenharia Mecânica

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Universidade Federal do Pará

Instituto de Tecnologia

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica - PPGEM

Métodos Numéricos

Prof. Dr. Jerson R. P. Vaz

Belém-PA Brasil

1. Introdução

O estudo de métodos numéricos constitui-se como um grande passo para o entendimento de novas ferramentas matemáticas passíveis de serem aplicadas na solução de problemas de engenharia, que eventualmente podem parecer insolúveis devido a complexidade analítica envolvida. O uso dessas ferramentas foi acelerado com o surgimento de equipamentos eletrônicos sofisticados como os PCs, que incentivou o crescimento de métodos numéricos cada vez mais robustos, tornando o estudo dos métodos numéricos, uma disciplina imprescindível em qualquer curso científico. Neste curso é desenvolvido um estudo sobre os métodos numéricos mais comumente utilizados, onde alguns conceitos importantíssimos para a compreensão e o entendimento de técnicas numéricas serão abordados, objetivando suas aplicações na engenharia. Desta forma, os seguintes conceitos serão estudados:

• Erro de arredondamento, truncamento, acurácia e precisão;
• Análise de condicionamento e aproximação de funções e derivadas através da série de Taylor;
• Métodos para o cálculo de raízes de equações não lineares;
• Sistemas de equações lineares;
• Ajuste de curvas;
• Integração numérica;
• Soluções numéricas para equações diferenciais ordinárias e parciais.

Objetivo geral Proporcionar ao aluno conhecimentos para utilizar métodos numéricos como ferramenta na solução de problemas de engenharia.

Conteúdo Introdução; Erros e incertezas; Solução numérica de sistemas de equações lineares e não-lineares; Interpolação e aproximação de funções; Diferenciação e integração numérica; Prática de cálculo numérico computacional.

da máquina. Considera-se para se ter uma precisão de n dígitos, o dígito n+1 , caso este seja menor ou igual a 5, corta-se na posição do dígito n ; caso contrário, aplica-se o arredondamento para cima. Por exemplo, deseja-se, novamente, o número 1,2356123456 com apenas três casas decimais. Então cortamos o número na posição que se encontra o dígito 5, e somamos uma unidade a este mesmo dígito, pois o dígito 6 é maior que quatro, resultando em 1,236. A Tab. 1 mostra uma comparação entre os erros de arredondamento por corte e simétrico em relação a um valor exato. Além de indicar um problema que é comum nos processos iterativos – propagação dos erros.

Tab. 1: Erro de arredondamento – propagação.

2.3.2. Acurácia e precisão

A qualidade de um resultado é dita exatidão (“acurácia”). A exatidão tem a responsabilidade de informar se um resultado emitido por uma máquina digital é bom ou ruim. Já a precisão, em termos práticos, corresponde ao número de dígitos significativos do sistema de representação de uma máquina digital. Esta distinção entre dois conceitos, que na linguagem coloquial são sinônimos, é fundamental para a matemática computacional. É surpreendente ver quanta confusão isso causa, mesmo para pessoas que deviam conhecê-los. Um computador pode ter uma grande precisão, mas produzir resultados com exatidão muito ruins. Essa confusão entre esses conceitos é revelada claramente pelos fabricantes de computadores e aqueles usuários que pensam que uma maior precisão é um passaporte automático para altas exatidões nos resultados. Desta maneira é oferecido pelos fabricantes precisão simples, alta precisão e algumas vezes precisão estendida, fazendo com que um usuário não satisfeito com a exatidão dos resultados obtidos em precisão simples, os recalcule com

maior precisão. Isso nem sempre vai garantir uma melhor exatidão. Como exemplo basta considerar a expressão:

1040  500  10 40  610  10 45  400  10 45  1510 ,

que terá como resposta zero em muitas máquinas disponíveis hoje em dia. O usuário não sabe em geral quantos dígitos são necessários para garantir a resposta correta e o problema de se conseguir uma aritmética computacional com exatidão ótima, só foi conseguido a partir dos trabalhos do Prof. U. Kulish e sua equipe na Universidade de Karlsruhe (Alemanha) a partir de 1979.

2.3.3. Erro de truncamento

São erros provenientes da utilização de processos que deveriam ser infinitos ou muito grandes para a determinação de um valor e que, por razões práticas, são truncados. Estes processos infinitos são muito utilizados na avaliação de funções matemáticas, tais como, exponenciação, logaritmos, funções trigonométricas e várias outras que uma máquina pode ter. No presente curso, estudaremos o erro de truncamento associado à aplicação da série de Taylor, dada por:

         (^) 

2 (^0) 1! '^0 2! '' (^0)! 0 0! 0

n (^) n n n n f x f x h^ f x h^ f x h^ f x h f x n n

onde

x  x 0  h , em que x  Df e h  x.

O erro cometido com o truncamento da série no termo de ordem n é dado por:

   

   

(^11) 1!

n n n e x h f n onde x (^) 0    h.

Entãocos 0 , 01  1 0 ,^0120 , 99995

2    e o erro de truncamento

  (^)   1   

1 1!

   (^)  n n fn n e x h       ^ sen  ^  e x x sen x 2 1! 6

21 3 2   



para x  0 , 01 , fica

e   sen   6 sen   

3 2 6.^0 ,^16.^10

0 , 01 ^0 ,^01   , em que 0  0 , 01

como sen   1 e f   x x x e 2   x

2 cos  1  2  , então:

cos  0 , 01   0 , 99995  0 , 16. 10 ^6

Esta expressão indica que pelo menos os 5 primeiros algarismos significativos são iguais aos algarismos do valor real de cos 0 , 01 .

3. Aproximação de Funções

3.1. Série de Taylor e sua aplicação na aproximação de funções e derivadas

O desenvolvimento em série de Taylor constitui uma ferramenta bastante eficaz para o cálculo de aproximação de funções e derivadas, pois, toda função analítica pode ser representada por uma série de potências em x - x 0 , cuja representação, neste caso, é a própria série de Taylor.

2 (^0) 1! '^0 2! '' (^0)! 0

h h h^ n n f x  f x  f x  f x   (^) n f x 

Cuja forma em notação sigma é

  ^ ^   ^ ^   ^ ^  ^  

2 0!^0 1!^ '^0 2!^ ''^0!^0

k^ k^ k o o o o o k k

f x f^ x^ x^ x^ f x x^ x^ f x x^ x^ f x x^ x f x k k

 

 ^   ^  ^    

 ^ 

onde x  x 0  h , em que x  Df.

O erro cometido com o truncamento da série no termo de ordem n é dado por:

   ^ ^ ^  

(^1 ) 1!

k (^) k k e x h f k

 (^)    onde x 0    h.

3.2.Série de Taylor na aproximação de funções

Neste item, vamos aplicar a série de Taylor para aproximar a solução de algumas funções. Em seguida, faremos uma breve análise dos resultados quando comparados com os valores da solução exata. Antes de aplicar a série de Taylor, é necessário conhecer o critério de convergência de D’Lembert, cuja aplicação é bastante comum nas séries de potências.

Aplicação A

Vamos executar o mesmo procedimento, feito na APLICAÇÃO 1, com a

função f   x ln  x para x 0  1.

Passo 1 Novamente, para aplicar a série de Taylor precisamos conhecer a função no ponto inicial x 0 e as suas derivadas neste mesmo ponto. Desta forma, temos:

f   x ln  x f  x 0  0

f '  x ^1 x f ' x 0  1

f ''  x   x^12 f '' x 0   1

f '''  x  x^23 f ''' x 0  2

f IV   x   x^64 f IV  x 0   6

f   n^   x  1  n ^^ n n 1 !

x

 ^   ^     1  

f n x  ^ n^  n 

Passo 2 Vamos agora, aplicar a série de Taylor para aproximar a função

f   x ln  x no ponto x 0.

2 (^0) 1! '^0 2! '' (^0)! 0

h h h^ n n f x f x f x f x f x n

Desta maneira, a série fica

(^2 3 4 ) 1 1 2 3 4

h h h n h^ n f h h n

que é a função f   x ln  x em série de Taylor avaliada em x 0 , ou seja:

(^2 3 4 ) ln 1 2 3 4 1 h h h (^) n h^ n  h  h         n 

Utilizando a equação acima para calcular o valor de ln 2 , basta fazer

h  1 , o que resulta em:

ln 1  1    1 12  13  14     1 ^ n^ ^11 n 

A tabela abaixo mostra os resultados de ln 2 para diversos números de termos

n , e os respectivos erros absolutos quando comparados com os resultados exatos

de ln 2 .

n^ Valor Aproximado^ Valor Exato^ Erro Absoluto 1 1 0.6931 0. 2 0.5 0.6931 0. 3 0.8333 0.6931 0. 4 0.5833 0.6931 0. 5 0.7833 0.6931 0. 6 0.6167 0.6931 0. 7 0.7595 0.6931 0. 8 0.6345 0.6931 0. 9 0.7476 0.6931 0. 10 0.6456 0.6931 0.     5000 0.6930 0.6931 1  10 ^4

Observe que quanto maior é o número de termos menor é o erro absoluto e conseqüentemente mais próximo está a solução aproximada da solução exata.

3.3.Série de Taylor na aproximação de derivadas A série de Taylor, também, é uma poderosa ferramenta para aproximar derivadas de qualquer ordem. Essa característica, forma a base para o entendimento de um método bastante eficiente e rápido conhecido como o método das diferenças finitas (DF) , que é largamente utilizado para solucionar inúmeros problemas físico-matemáticos, apesar de ser um método bastante antigo. Sua utilização em grande escala é justificada pelo alto grau de

3.3.2.Aproximação de derivadas de segunda ordem Neste item, para aproximar a derivada de segunda ordem, é necessário expandir a série de Taylor de duas maneiras diferentes. A primeira consiste em desenvolver a série executando passos positivos, ou seja, passos avançados  h. A segunda, desenvolver a série executando passos negativos, passos atrasados  h. Desta forma, os desenvolvimentos em série de Taylor, fica

2 3 (^0 0) 1! '^0 2! ''^0 3! ''' 0 f x  h  f x ^ h^ f x  h^ f x  h f x 

e

2 3 (^0 0) 1! '^0 2! ''^0 3! ''' 0 f x  h  f x ^ h^ f x  h^ f x  h f x 

Somando as duas parcelas e truncando no termo de segunda ordem, temos

2 0 0 2 0 2 2 '' 0 f x  h  f x  h  f x ^ h f x

Arrumando a expressão

        20 0 20 0

h

f x h f x f x h dx

d f x     

Na forma discreta

2 1 2 1

h

f f f dx

d f  i   i  i  , onde h  x (chamado de passo)

Essa expressão aproxima uma derivada de segunda ordem, e é um esquema de diferenças finitas de segunda ordem. Neste caso, para determinar a segunda derivada de uma função em um ponto, é necessário conhecer três pontos da função.

Aplicação A Determinar f '  2 , utilizando tanto a aproximação por série de Taylor quanto a solução exata, a partir de f   x ln  x com h  0. 1.

Passo 1

A solução exata é bastante simples de se calcular. Basta derivar uma vez

a função f   x ln  x e depois substituir o valor 2, ou seja, como   x f ' x ^1 ,

então   0. 5 2 f ' 2 ^1 .

Passo 2

Para a solução aproximada, precisamos determinar o valor da função em x 0 e em x 0  h. Desta forma, como x 0  2 e x 0  h  2  0. 1  2. 1 , fazemos:

f  x 0   ln x 0  ln  2  0. 693

f  x 0  h  ln x 0  h  ln 2  0. 1   0. 742

Aplicando a fórmula aproximada para a derivada de primeira ordem, temos: