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Solução de sistemas de equações
- (^) Descreve métodos para a solução de sistemas de equações do tipo: Ax= b
Notação matricial
- (^) Uma matriz é um vetor retangular de números, na qual não apenas o valor do número é importante, mas também sua posição no vetor. O tamanho da matriz é descrito pelo número de linhas (n) e números de colunas (m). 11 12 1 21 22 2 1 2 ; 1,..., ; 1,,,. m m ij n n nm (^) n x m a a a a a a A a i n j m a a a (^) Cálculo Numérico
- (^) Duas matrizes A e B de mesmo tamanho podem ser somadas ou subtraídas para produzirem uma terceira matriz (c) de igual tamanho.
4 7 5 1 5 4 ; 4 2 12 2 6 3
x x
A B 5 12 1 2 4 15 A B C Cálculo Numérico ij ij ij C A B a b ^ ^ c
- (^) Observe que em geral AB≠BA. Alguns vezes nem sempre é possível efetuar um dos produtos.
- (^) Se A é multiplicada por um escalor “α’, temos:α’, temos:
- A = cij= aij
- (^) Uma matriz n x 1 é chamado vetor coluna e uma matriz l x m é conhecido por vetor linha.
- (^) O produto de uma matriz [A] n x m por um vetor coluna [B] m x 1 irá produzir um vetor [C] n x 1. (^) Multiplicação de vetores linha e coluna
- Seja um vetor [B]1 x m e [C]m x 1. O produto B∙C irá produzir um escalar α, sendo o produto conhecido como produto escalar. Cálculo Numérico
Cálculo Numérico 1 3 3 1 4 1 3 2 ; 1 3 x x B C 4 1 3 2 1 4 3 6 5 3 B C
- (^) O produto C∙B irá produzir uma matriz quadrada m x m, sendo conhecido como produto externo. 1 3 3 1 4 4 12 8 1 1 3 2 1 3 2 3 3 9 6 x x (^)
Cálculo Númerico (^) Matriz Transporta (At)
- (^) At^ é obtida quando as linhas de A são escritos como colunas vice-versa.
- (^) Para matrizes quadradas é possível definir o traço de A,
- (^) tr(A)= 3+2+2=
- (^) Observe que tr (A)= tr(At) = 3 1 4 3 0 1 0 2 3 ; 1 2 1 1 1 2 4 3 2 t A A (^) 1
n ii i
tr A tr A a
(^) Método de Eliminação
- (^) Este método é a base para um grande número de métodos diretos. Exemplo:
- (^) Método consiste em eliminar os elementos abaixo da diagonal em cada coluna (zerar os elementos abaixo da diagonal da 1ª coluna). 4X 1 - 2X 2 + X 3 = 15 3X 1ªL + 4X 2ªL= 2ªL → 0 - 10X 2 + 19X 3 = 77 -1X 1ªL + 4 3ªL= 3ªL → 0 - 2X 2 + 11X 3 = 37
4 2 15 3 4 8 3 13 x x x x x x x x x Cálculo Numérico
Cálculo Numérico
- (^) Operações afetam apenas a matriz dos coeficientes e lado direito, de forma que as operações são realizadas na matriz ampliada pelo lado direito.
- Obs.: Observe que existe a possibilidade de que apareça algum elemento nulo na diagonal durante o processo de triangularização. Neste caso, é necessário que sejam realizadas trocas de linhas ou colunas, ou ambos, para que o processo continue. Caso no final do processo reste algum zero na diagonal, o sistema não possui solução única! 4 2 1 15 / 3 1 4 8 1 1 3 13 A B (^)
(^) Operações realizadas
- Multiplicação de uma linha da matriz ampliada por uma constante.
- Soma de um múltiplo de uma linha para o múltiplo de qualquer outra linha.
- Permutar a ordem de qualquer dessas linhas (ordem do conjunto é arbitrária). OBS.: Uma vez que o erro de truncamento está relacionado com a magnitude dos valores quando os mesmos são expressos na representação do computador algumas das operações pode ter efeito na “α’, temos:precisão de solução”. (^) Métodos de Gauss e Gauss-Jordam
- (^) Em grandes sistemas de equações, as multiplicações podem resultar em números muito grandes e isto poderia causar problemas de “α’, temos:overflow”.
- (^) O método de Gauss consiste em eliminar o primeiro coeficiente da i-th linha, subtraindo-se a i-ésima equação da primeira multiplicada por ai1/ a 11.
- (^) Com o intuito de se evitar zeros na diagonal, pode ser necessário a troca de linhas e/ ou colunas, com o intuito de deixar o maior elemento, em cada passo, na diagonal. Esse processo é chamado de pivotamento. Os elementos na diagonal da matriz são chamados de pivôs. Cálculo Numérico
Cálculo Numérico 2 3 4 2 1 15 0, 0 2,5 4, 75 19, 25 2, 0 0 1,80 5, 40 R R (^) Sistema triangular superior.
- (^) Se durante cada estágio do processo de eliminação a relação de coeficientes tivesse sido armazenado no lugar dos zeros, teríamos obtido o seguinte sistema. 4 2 1 15 0, 75 2,5 4, 75 19, 25 0, 25 0, 2 1,8 5, 4
Cálculo Numérico 4 2 1 1 0 0 4 2 1 3 1 4 0,75 1 0 0 2,5 4, 75 1 1 3 0, 25 0, 2 1 0 0 1, A ^ (^) L U
- (^) Usualmente L * U= A’, onde A’ é a matriz A permutada devido a troca de linhas. Se D= BC → det(D)= det (B) det (C); logo, det (A)= det (LU)= det (L) det (U)= det (U) = 4(-2)(1,8)= -
- (^) Em geral, quando existem permutação de linhas durante a decomposição, det (A)= (-1)m^ × u 11 ×u 22 ×...×unn; m – número de permutações.
Cálculo Numérico temp= b[j] b [j]= b [pivot [j] ] b [pivot (j) ]= temp Final laco Se Para i= j+1,..., n (Armazena os multiplicadores) a [i, j]= a[i, j] / a[j, j] Final de i Para i= j + 1,..., n (Zera os elementos abaixo da diagonal principal) Para k= j+1,...,n a [i, k]= a[i, k] – a [i, j] * a [j, k] Final de K b [i]= b [i] – a [i, j] * b [j] Final de i Se J
Cálculo Numérico Retrosubstituição x[n]= b[n]/ a [n, n] Para j= n-1, 1 x[ j ]= b[ j ] Para k= n,..., j+ x[ j ]= x[ j ] – x[ k ] * a[j, k] Final de K x[ j ]= x[ j ]/ a[j, j] Final de J J
Cálculo Numérico 6 1 6 5 6 0 3,6667 4 4,3333 11 0 0 6,6182 5,6364 9, 0 0 2,1818 3,3636 5, 6 1 6 5 6 0 3,6667 4 4,3333 11 0 0 0,8182 5,6364 9, 0 0 0 1,5600 3, ^ (^) ^ (^)
- (^) Cálculos foram efetuados para 5 casas decimais e então arredondados. → x 4 = -1,9999; x 3 = 0,33325; x 2 = 1,0000; x 1 = -0, Exato: → x 4 = -2; x 3 = 1/3; x 2 = 1; x 4 = -1/
- (^) Existem muitas variantes do esquema de eliminação de Gauss. Uma dessas variantes é o método de Gauss-Jordan. Neste método os elementos acima da diagonal são zerados ao mesmo tempo que os elementos abaixo da diagonal, e os elementos da diagonal são feitos unitários. No processo final, a matriz dos coeficientes transforma-se na matriz identidade e o vetor coluna transforma-se no “α’, temos:vetor solução.”
- Inconveniente: Número de operações superior ao método de eliminação de Gauss. Ex. 2.16: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2,51 1, 48 4,53 0, 05 1, 48 0,93 1,30 1, 03 2, 68 3, 04 1, 48 0, x x x x x x x x x Cálculo Numérico
