Cálculo Numérico: Determinação de Raízes e Algoritmos, Notas de estudo de Engenharia Mecânica

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ

CAMPUS TUCURUÍ

FACULDADE DE ENG. MECÂNICA

Determinação das raízes

Prof. Jadus

Equipe:

2

 Ailton André

 Artur Monteiro

 Joanyson Pereira

 Jurandir Marcos

 Flavio Cassiano Jr.

 Marcos Vinício

 Thefeson Vilhena

Análise de g x = 2

g x = 𝑘𝑎 𝑥 Se a > 1; temos um gráfico: 4

g x = 𝑘𝑎 𝑥  𝑔 0 = 𝑘𝑎 0 = 𝑘 → 0 , 𝑘 𝐷𝑓 = {x ∈ ℝ } 𝐼𝑚𝑓 = { y ∈ ℝ / y > 0} 𝐼𝑚𝑓 ∈ 𝐼 𝑒 𝐼𝐼 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 Análise de g x = 2

5

h x = bx  h 0 = 𝑏 ∗ (0) = 0 → 0 , 0  ℎ 1 = 𝑏 ∗ (1) = 𝑏 → 1 , 𝑏 D𝑓 = 𝑥 ∈ 𝑅 I𝑚𝑓 = 𝑦 ∈ 𝑅 Para b > 0 temos: y > 0 ↔ 𝑥 > 0 𝑦 < 0 ↔ 𝑥 < 0 𝑰𝒎𝒇 ∈ 𝑰 𝒐𝒖 𝑰𝑰𝑰 𝒒𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆 Análise de h x = 3𝑥 7

Comparando g(𝑥) e ℎ(𝑥) percebemos que 𝜉 ∈ I quadrante. 8 Análise de g x e h(x)

Algoritmo do gráfico 10  clc  clear  t = [0:0.1:6];  x = t;  y = 2.^x;  plot (x,y,'color', 'blue')  hold on  t2 = [0:0.1:6];  x2 = t2;  y2 = 3*x2;  plot (x2,y2,'color', 'red')  title ' funções 2^x e 3x '

Algoritmo do método da bisseção f x = 2 𝑥 − 3𝑥 Valor mínimo = 0 Valor máximo = 1 Tol (tolerância) = 0. Onde: n = número de interações a = valor mínimo b = valor máximo c = ( a + b )/ 2 MPE = teste de tolerância 11

13  while ( MEP > tol )  c= (a + b)/2;  disp ([n,a,c,b,MEP]);  if ( f(a)*f(b)<0 );  b=c;  else a = c;  end  MEP = (b - a)/2;  n = n + 1;  end  fprintf('raiz encontrada com uma tolerancia de %f:\n\t%f\n', tol, c) Algoritmo do método da bisseção

14 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟑 − 𝟕𝒙 + 𝟓 + 𝟏 − 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔 𝟒 (𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙 + 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝟐 𝒙 − 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙) 𝟐 (𝟏 − 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝒙 + 𝒔𝒆𝒏 𝟒 )  Identidades trigonométricas: (𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑔 2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 2 𝑥) 2 = 𝑡𝑔 4 𝑥 1 − 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 1 − 2𝑠𝑒𝑛 2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 4𝑥 = 𝑡𝑔 4 𝑥 f x = 𝑥 3 − 7𝑥 + 6 Análise de f x

Algoritmo de Newton Rhampson f x = 𝑥 3 − 7𝑥 + 6 x0 = 1,45; Tol. = 0. 16 Interações X0 tolerância 0 1.4500000 100. 1 -0.1404332 1132. 2 0.8652473 116. 3 0.9895707 12. 4 0.9999202 1. 5 1.0000000 0.

17  % método de Newton - pronto  clc;  clear all;  syms x;  f=input('Inserir a função:');  x0=input('Inserir o valor inicial:');  tol=input('Inserir a tolerancia:');  i=1;  fx(i)=x0;  f1=subs(f,x,fx(i));  z=diff(f);  d=subs(z,x,fx(i));  ea(1)=100;  fprintf ('\tinteração\t\tchute\t\ttolerancia\n') Algoritmo de Newton Rhampson

19 OBRIGADO!!