Aula 9
Métodos de Jacobi e
Gauss-Seidel.
MS211 - Cálculo Numérico
Marcos Eduardo Valle
Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Universidade Estadual de Campinas
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calculo numerico ime, Notas de aula de Métodos Matemáticos
metodos numerico aula contendo range kutta
Tipologia: Notas de aula
2023
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Aula 9
Métodos de Jacobi e
Gauss-Seidel.
MS211 - Cálculo Numérico
Marcos Eduardo Valle
Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Universidade Estadual de Campinas
Introdução
Uma matriz A é dita esparsa se possui uma quantidade
relativamente pequena de elementos não-nulos.
Matrizes esparsas aparecem em muitas áreas como teoria dos
grafos e resolução numérica de equações diferenciais.
Exemplos incluem:
I (^) O Google trabalha com matrizes gigantescas contendo
informações dos links das páginas na internet. Essas
matrizes geralmente são esparsas e algumas delas
possuem aproximadamente 10 elementos não-nulos por
linha ou coluna. A multiplicação dessas matrizes por um
vetor requer aproximadamente 10n operações aritméticas,
em que n denota a dimensão do vetor.
I (^) A cúpula geodésica.
A cúpula geodésica aparece também na molécula de carbono
e na bola de futebol.
("C60a"uploaded by Bryn C at en.wikipedia.
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:C60a.png#/media/File:C60a.png)
Esta cúpula corresponde à uma forma de carbono pura com 60
átomos.
Os pontos na cúpula geodésica estão distribuídos de modo que
a distância de um ponto com seus três vizinhos é a mesma.
A matriz de adjacência B ∈ R
60 × 60 , mostrada abaixo, é
simétrica e possui 3 elementos não-nulos por linha ou coluna,
totalizando 180 relevantes.
0 10 20 30 40 50 60
0
10
20
30
40
50
60
nz = 180
O produto Bx requer 5 × 60 operações aritméticas.
Um sistema linear Ax = b , em que A ∈ R
n×n é uma matriz
não-singular esparsa, pode ser resolvido usando um método
iterativo que efetua apenas o produto matriz-vetor Ax.
Tais métodos iterativos preservam a estrutura esparsa da
matriz e, portanto, efetuam menos operações e consomem
menos espaço na memória.
Existem muitos métodos eficientes na literatura que vão além
da ementa desse curso.
Na aula de hoje, veremos o método de Jacobi e Gauss-Seidel.
Motivação para o Método de Jacobi
Considere um sistema linear Ax = b , em que A é uma matriz
não-singular (supostamente esparsa) com a ii
= 0 , ∀i = 1 ,... , n.
Podemos escrever o sistema da seguinte forma:
a 11 x 1
- a 12 x 2 +... + a 1 n x n = b 1
a 21 x 1
- a 22 x 2 +... + a 2 n x n = b 2
a n 1 x 1
- a n 2 x 2 +... + annxn = bn,
ou ainda
x 1 = (b 1 − a 12 x 2 +... + a 1 n x n ) /a 11
x 2 = (b 2 − a 21 x 1 +... + a 2 n x n ) /a 22
xn =
bn − an 1 x 1 +... + an,n− 1 xn− 1
/ann.
Forma Matricial do Método de Jacobi
Podemos escrever o método de Jacobi na forma matricial:
x
(k+ 1 ) = D
− 1 ( b − Mx
(k) ) k = 0 , 1 ,... ,
em que
D = diag (a 11 , a 22 ,... , a nn
a 11
a 22
a nn
é a matriz diagonal com os elementos a ii e
M = A − D =
0 a 12
... a 1 n
a 21 0... a 2 n
an 1 an 2... 0
Critério de Parada
Definição 1 (Norma Infinito)
A norma-∞ de um vetor y = [y 1 , y 2 ,... , yn]
T ∈ R
n é o maior
valor absoluto de suas componentes, ou seja,
‖ y ‖∞ = max
i= 1 :n
|y i
Além do número máximo de iterações, adotamos a seguinte
inequação (erro relativo) como critério de parada do método de
Jacobi:
‖ x
(k+ 1 ) − x
(k) ‖∞
‖ x
(k+ 1 ) ‖∞
≤ τ,
em que τ > 0 é uma certa tolerância.
Exemplo 2
Use o método de Jacobi, com aproximação inicial x 0
= [ 0 , 0 ]
T e
τ = 10
− 4 como critério de parada, para determinar a solução
do sistema linear
2 x 1
- x 2
3 x 1
- 4 x 2
Na primeira iteração, encontramos
x
( 1 )
1
1
2
( 1 − x
( 0 )
2
1
2
x
( 1 )
2
1
4
(− 1 − x
( 0 )
1
1
4
com
‖ x
( 1 ) − x
( 0 ) ‖ ∞
‖ x
( 1 ) ‖∞
Exemplo 2
Use o método de Jacobi, com aproximação inicial x 0
= [ 0 , 0 ]
T e
τ = 10
− 4 como critério de parada, para determinar a solução
do sistema linear
2 x 1
- x 2
3 x 1
- 4 x 2
Na segunda iteração, encontramos
x
( 2 )
1
1
2
( 1 − x
( 1 )
2
1
2
1
4
5
8
x
( 2 )
2
1
4
(− 1 − x
( 1 )
1
1
4
1
2
5
8
com
‖ x
( 2 ) − x
( 1 ) ‖ ∞
‖ x
( 2 ) ‖∞
Exemplo 2
Use o método de Jacobi, com aproximação inicial x 0
= [ 0 , 0 ]
T e
τ = 10
− 4 como critério de parada, para determinar a solução
do sistema linear
2 x 1
- x 2
3 x 1
- 4 x 2
Na iteração 19, encontramos
x
( 19 )
1
1
2
( 1 − x
( 18 )
2
x
( 19 )
2
1
4
(− 1 − x
( 18 )
1
com
‖ x
( 19 ) − x
( 18 ) ‖ ∞
‖ x
( 19 ) ‖∞
= 7. 3 × 10
− 5 .
Resumindo, encontramos sequência de pontos vermelhos
-2.
-1.
-0.
0
1
0 0.5 1 1.5 2
em que as linhas azul e verde correspondem as duas
equações.
Método de Gauss-Seidel
Dada uma aproximação inicial x
( 0 ) para a solução do sistema
Ax = b , o método de Gauss-Seidel define { x
(k) } k≥ 0 através da
seguinte relação de recorrência:
x
(k+ 1 )
1
b 1 − a 12 x
(k)
2
+... + a 1 n x
(k)
n
/a 11
x
(k+ 1 )
2
b 2 − a 21 x
(k+ 1 )
1
+... + a 2 n x
(k)
n
/a 22
x
(k+ 1 )
n
bn − an 1 x
(k+ 1 )
1
+... + an,n− 1 x
(k+ 1 )
n− 1
/ann,
para k = 0 , 1 ,.. ..
Tal como no método de Jacobi, o erro relativo
‖ x
(k+ 1 ) − x
(k) ‖ ∞
‖ x
(k+ 1 ) ‖ ∞
≤ τ,
é usado como critério de parada com tolerância τ > 0.
Forma Matricial do Método de Gauss-Seidel
Podemos escrever o método de Gauss-Seidel na forma
matricial:
x
(k+ 1 ) = L
− 1 ( b − Ux
(k) ) k = 0 , 1 ,... ,
em que
L =
a 11
a 21 a 22
a n 1 a n 2
... a nn
é uma matriz triangular inferior e
U = A − L =
0 a 12
... a 1 n
0 0... a 2 n
é triangular superior.