Pré-visualização parcial do texto
Baixe calculo1 thomas-4 e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Ambiental, somente na Docsity!
Aplicações das derivadas RESUMO Neste capítulo, estudaremos algumas das mais importantes aplicações das derivadas. Aprenderemos como usá-las para calcular valores extremos de funções, determinar e analisar o formato de gráficos, calcular limites de frações cujos numeradores e denominadores tendem a zero ou à infinito e determinar numericamente em que ponto uma função é iguala zero. Também examinaremos o processo de recuperação de uma função a partir de sua derivada. A chave para muitos desses procedimentos é o teorema do valor médio, cujos corolários fornecem o caminho para o cálculo integral, assunto do Capítulo 5. [41] Extremos de funções y=senz FIGURA 41 Extremos absolutos para as funções seno e cosseno no intervalo [-7/2, n/2]. Esses valores podem depender do domínio de uma função. Esta seção mostra como localizar e identificar valores extremos de uma função contínua a partir de sua derivada. Uma vez que tenhamos conseguido fazer isso, poderemos resolver uma série de problemas de otimização, nos quais encontramos a maneira ótima (a melhor maneira) de fazer algo em dada situação. Definição. Máximo absoluto, mínimo absoluto Seja fuma função de domínio D. Então f tem um valor máximo abso- luto em D em um ponto c se fo)sÃco) para qualquer x em D. e um valor mínimo absoluto em D no ponto c se Jfo)zfco para qualquer x em D. Máximos e mínimos absolutos são chamados extremos absolutos, tam- bém denominados de extremos globais, para diferenciar dos extremos locais, definidos a seguir. Por exemplo, no intervalo fechado [-n/2, n/2), a função fix) = cos x assu- me o valor máximo 1 (uma vez) é o valor mínimo O (duas vezes). No mesma intervalo, a função g(x) = sen x assume o valor máximo 1 e o valor mínimo 1 (Figura 4.1), Funções definidas pela mesma regra podem ter extremos diferentes, de- pendendo do domínio. 266 Cálculo EXEMPLO 1 Explorando extremos absolutos Os extremos absolutos das funções a seguir podem ser vistos na Figura 4.2. s x y=a Y Da (-x,0) ' Los 1 x 2 2 (a) Apenas mínimo absoluto (b) Mínimo e máximo absolutos y y 3=" d=(0,.2) Los 1 x f 2 1 2 (e) Apenas máximo absoluto (d) Ausência de máximo ou mínimo absoluto FIGURA 4.2 Os gráficos do Exemplo 1. Função Domínio D Extremos absolutos em D (0) y=é (ces) Ausência de máximo absoluto. a Pax ' Mínimo absoluto O quando x = 0. Máximo absoluto 4 quando x = 2. (b) p=* [0,2] Mínimo absoluto O quando x = 0. 2 Máximo absoluto 4 quando x = 2. (9) = (02) Ausência de mínimo absoluto. (d) y=% (0,2) Ausência de extremos absolutos. Companion Website Biografia histórica Segundo q teorema a seguir, uma função que seja contínua em qualquer Daniel Bernoulli ponto de um intervalo fechado [a, b] apresenta um mínimo e um máximo Ed (1700-1582) absoluto nesse intervalo. Ao representar graficamente uma função, devemos sempre procurar esses valores. 268 Cálculo Máximo absoluto O maior valor def Máximo locat Também é um máximo local, ão há na vizinhança valor de f maior que este. Mínimo local Não há na vizinhança ! valor de f menor que este. imo absoluto L O menor valor de f. ! : Mínimo local * Também éwn i ; Não há na vizinhança + mínimo local, | valor de fmenor que este. h 1 ' x a c e db FIGURA 4.5 Como classificar os máximos e mínimos Definição Máximo local, minimo local Uma função f tem um valor máximo local em um ponto interior c de seu domínio se fo<Ão para qualquer x em um intervalo aberto que contenha c. Uma função ftem um valor mínimo local em um ponto interior c de seu domínio se fojzÃo para qualquer x em um intervalo aberto que contenha c. Podemos ampliar essa definição de extremos locais para extremidades de intervalos definindo que f possui um valor máximo local ou mínimo locai j em uma extremidade c se a desigualdade apropriada é válida para qualquer x y em um intervalo semi-aberto que contenha c. Na Tigura 4.5, a função f tem máximos locais em c, d e mínimos locais em a, e, b. Extremos locais também são chamados extremos relativos. Um máximo absoluto também é um máximo local. Sendo o maior valor de todos, é também o maior valor em sua vizinhança imediata. Assim, uma lista contendo todos os máximos locais incluirá automaticamente o máximo abso- luto, se houver, De modo análogo, uma lista contendo todos os mínimos locais incluirá automaticamente o mínimo absoluto, se houver. Determinando extremos O teorema a seguir explica por que normalmente precisamos investigar apenas alguns valores para determinar o extremo de uma função. Teorema2 Primeiro teorema da derivada para valores de extre- mos locais Se f possui um valor máximo ou minimo local em um ponto c interior de seu domínio e se f é definida em c, então fiJ=0 Ser a ) Coeficientes angulares das secantes > O Coeficientes angulares (nunca negativos) das secantes < O : (nunea positivos) 1 ' ' x c x FIGURA 4.6 Uma curva com um máximo local. O coeficiente angular em c é simultaneamente o limite de números não positivos e não negativos e, portanto, é zero. Capítulo4 Aplicações dasderivadas 269 PROVA Para demonstrar que f'(c) é zero em um extremo local, primeiro temos de provar que /(c) não pode ser positiva e depois que f(c) não pode ser negativa, O único número que não é nem pesitivo nem negativo é zero, que então é o valor que f(c) deve apresentar. Para começar, suponha que f tenha um valor máximo local quando x = c (Figura 4.6), de modo que fx) - fc) s 0, para qualquer x próximo de c. Como c é um ponto interior do domínio de f, f(c) é definida pelo limite bilateral SO) — He) mm 18 Te) hi so Ae Isso significa que ambos os limites, à direita e à esquerda, existirão quando x=ce serão iguais a f(c). Quando examinamos esses limites separadamente, temos que x) — fle INI ft = lim —s Pois dv — e) = 0) e foi ne De maneira semelhante, fo) — He) rt = tim ço Pois de - e) st efe s te mv o Juntas, as equações (1) e (2) implicam que f(c) = 0. Tsso prova o teorema para valores máximos locais. Para prová-lo para va- lores minimos locais, usamos apenas x) > ftc), o que inverte as desigualdades nas equações (1) e (2). O Teorema 2 diz que a primeira derivada de uma finção é sempre zero em um ponto interior onde a função tenha um valor extremo local e a derivada seja definida. Assim, os únicos locais onde uma função f pode ter valores ex- tremos (locais ou globais) são 1. pontos interiores onde f' = 0, 2. pontos interiores onde f' não existe, 3. extremidades do domínio de f A definição a seguir nos ajudará a resumir essas informações. Definição Ponto crítico Um ponto interior do domínio de uma função f onde f' é zero ou indefinida é um ponto crítico de f. Assim, os únicos pontos do domínio em que uma função pode assumir valores extremos são os pontos críticos e as extremidades. Tome cuidado para não interpretar erroneamente o Teorema 2, pois sua recíproca não é verdadeira. Uma função derivável pode ter um ponto crítico em x = c sem apresentar um valor extremo local nesse ponto. Por exemplo, a função f(x) = xº apresenta um ponto crítico na crigem e valor zero nesse ponto, mas é positiva à à esquerda. lireita da origem e negari Logo, cla não pode ter um valor extremo local na origem. Em vez disso, tem nela um ponto de inflexão. Essa ideia será definida e discutida adia E na Seção 4,4, <1<3 Máximo absoluto; também um máximo local Máximo local 1 2/3 Mínimo absoluto; também um mínimo local FIGURA 4.8 Os valores extremos de flo) = 2º no intervalo [-2, 3] ocorrem quando x=0 e x=3 (Exemplo 4). af tb) FIGURA 49 Pontos críticos sem valores extremos. (a) y'= 3x2 € O quando x = 0, mas y = x não possui extremo nesse ponto. (b) y'= (1/3) x > não é definida quando x = 0, mas y = xº* não possui extremo nesse ponto. Capítulo 4 Aplicações das derivadas 2n A partir dessa lista, podermos ver que o máximo absoluto dessa função é 10e = 2,72, que ocorre no ponto crítico interior x = e. O minimo absoluto é 0 e ocorre na extremidade direita, quando x = EXEMPLO 4 Encontrando os extremos absolutos em um intervalo fechado Determine os valores máximo e minimo absolutos de fx) = x? no intervalo [-2, 3). SOLUÇÃO Calculamosa função nos pontos críticos e nas extremi- dades e, dentre os valores obtidos, tomamos o maior e o menor. à primeira derivada A a 2 2 f = 13 = 2. 3Wr não tem zero, mas é indefinida no ponto interior x = 0. Os valores de f nesse ponto crítico e nas extremidades são Valor no ponto crítico: H0)=0 Valores nas extremidades: H-2) = (28 = vã Ho) = (333 = Vô A partir dessa lista, podemos ver que o máximo absoluto dessa função é 9 = 2,08, que ocorre na extremidade direita x = 3. O minimo absoluto é 0 e ocorre no ponto interior x = O (Figura 4.8). Embora os extremos de uma função possam ocorrer apenas em pontos críticos e extremidades, nem todo ponto crítico ou extremidade indica a pre- sença de um valor extremo. A Figura 4.9 ilustra isso para pontos interiores. Encerramos esta seção com um exemplo que ilustra como os conceitos que acabamos de estudar podem ser usados para resolver um problema de otimização do mundo real. EXEMPLOS Bombeando petróleo de uma perfuração para uma re- finaria Uma perfuração a 12 mi da costa será conectada a uma refinaria costeira, 20 mi abaixo da linha da perfuração. Os dutos subaquáticos custam $ 500.000 por milha e os terrestres, $ 300.000 por milha. Qual é a combinação dos dois tipos de dutos que vai fornecer a conexão menos dispendiosa? SOLUÇÃO Tentaremos algumas possibilidades para sentir o problema. (a) A menor quantidade de dutos subaquáticos e] Perfuração 272 Cálculo Os dutos subaquáticos são mais dispendiosos, portanto devem ser usa- dos o mínimo possível. Podemos estender a tubulação rumo à costa (12 mi) e usar dutos terrestres para as 20 mi até a refinaria. Custos em dólares = 12(500.000) + 20(300,000) = 12.000,000 (b) Apenas dutos subaquáticos (caminho mais curto) A estucação NAS + 400 a, Nu Refinaria 20 Utilizando apenas dutos subaquáticos para ligar a perfuração à refinaria. «/54a (500.000) = 13.661.900 Custo em dólares Essa operação é menos dispendiosa que a operação (a). (c) Algo intermediário Perturação mi “E Refinaria — 2005 —— mi Agora, introduzimos como variáveis o comprimento x da tubulação su- baquática e o comprimento y da tubulação terrestre. O ângulo reto oposto à perfuração é a chave para expressarmos a relação entre x e y. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos $=1P+(0-9? x= 144 +(A »* (3) Sôa raiz positiva tem significado nesse modelo. O custo da tubulação em dólares é c = 500.000x + 300.000y Para expressarmos c em função de uma única variável, podemos substi- tuir x usando a Equação (3): cly) = 500.000N 144 1 ( = 300.000y Nosso objetivo agora é determinar o valor minimo de c(y) no intervalo 1. De acordo com a regra da cadeia, à primeira derivada de «Q) Cálculo 274 Nos exercícios 7-10, determine os valores extremos e onde eles quorrem. 8. Y 2 x -2 0 2 10. y Nos exercícios 11-13, associe a tabela com O gráfico cor- dente. sespon” q >> ER x fts a o b o e -s 14. 5 XoaÊ GO) a não existe b não existe c 17 remos absolutos em intervalos hados e finitos Nos exercícios 15-34, determine os valores mínimo e máxi- jistos pera cada função no intervals dado, Em seguida, esboce o gráfico da função, identifique os pontos no gráfico onde os valores extremos ocorrem e inclua suas coordenadas, 15. 26. (6) = 188, 27. g(x) = cosec x, 28. g(x) = se0x, — 2. f)=2-|, -I=i= 3. H)=[r-5] 45157 31. gm) = xe”, 2. )=n(g+, 08x<3 -l Regra do produto para logaritmos, et = gl Faça a exponenciação. =7132 eni=u = enem A prova da Lei 4 é análoga. As leis 2 e 3 derivam da Lei 1 (exercícios 67 e 68). EXEMPLO 6 Aplicando as leis dos expoentes (a) et? = esco? = 287; ieil E UR ; (b) e = a Lei? 2x (9 GS = em Leis (8) (7 = = (8 Leiá Determinando a velocidade e a posição a partir da aceleração Eis como determinar a velocidade v(t) e a posição s(t) de um corpo em queda livre a partir do repouso, softendo uma aceleração de 9,8 m/s”. Sabemos que v(t) é uma função cuja derivada é 9,8. Sabemos também que a derivada de g(t) = 9,8t é 9,8. De acordo com o Corolário 2, ul) =9,8t+C para alguma constante C. Como o corpo cai partindo do repouso, v(0) = 0. Logo: 284 Cálculo 98(0)+C=0 e C=0 A função velocidade será v(t) = 9,8t. E quanto à função posição s(1)? Sabemos que s(?) é uma função cuja derivada é 9,8t, Sabemos também que a derivada de ff) = 4,9? é 9,81. De acordo com o Corolário 2, sD)=49P+C para alguma constante C. Se a altura inicial é s(0) = h, positiva para baixo a partir da posição de repouso, então 4M0P+C=h e C-h A função posição será s(t) = 49? + h. A possibilidade de encontrar funções a partir de suas taxas de variação é uma das ferramentas de cálculo mais poderosas. Conforme veremos, ela está na base dos desdobramentos matemáticos do Capítulo 5, Exercícios 4.2 Determinando c no teorema do valor ézero quando x = 0ex= 1 e derivável em (0, 1), mas sua médio derivada em (0, 1) nunca é zero, Explique por quê. O teo- rema de Rolle não diz que a derivada deveria ser zero em Determine o valor ou os valores de c que satisfazem a algum lugar em (0, 1? Justifique sua resposta. equação 10. Para que valores de a, m e b a função Ho fo “ra =f(c) 3. x=0 fo)j=4-*+3Ixta, O8 raiz em (a, b). Generalize esse resultado. 9. à função 13. Demonstre que, se f” > 0) ao longo de todo um intervalo fa, bl, então f tem no máximo uma raiz em [ú, b). E se, x=1 na on vez disso, 
