29. Each side of the trough exerts a normal force on the crate. The first diagram shows the view looking
in toward a cross section. The net force is along the dashed line. Since each of the normal forces
makes an angle of 45◦with the dashed line, the magnitude of the resultant normal force is given by
Nr=2Ncos 45◦=√2N. The second diagram is the free-body diagram for the crate (from a “side”
view, similar to that shown in the first picture in Fig. 6-36). The force of gravity has magnitude mg,
where mis the mass of the crate, and the magnitude of the force of friction is denoted by f.Wetake
the +xdirection to be down the incline and +yto be in the direction of
Nr. Then the xcomponent
of Newton’s second law is mg sin θ−f=ma and the ycomponent is Nr−mg cos θ=0. Sincethe
crate is moving, each side of the trough exerts a force of kinetic friction, so the total frictional force
has magnitude f=2µkN=2µkNr/√2=√2µkNr. Combining this expression with Nr=mg cos θ
and substituting into the xcomponent equation, we obtain mg sin θ−√2mg cos θ=ma. Therefore
a=g(sin θ−√2µkcos θ).
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