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Capítulo 10
Flexão de Cascas Cilíndricas
10.1 Equações Gerais de Cascas Cilíndricas Flectidas
10.1.1 Equações de Equilíbrio
Considere-se num ponto de uma casca cilindrica cujo estado de tensão é definido
a partir dos esforços generalizados, representados na figura 10.1 e que são:
Esforços de membrana Nx ,NseNxθ
Esforços de flexão Mx ,MseMxs
Esforços de corte Tx eTs
onde M (^) x e M (^) s são momentos flectores por unidade comprimento, M (^) xs é um
momento torsor por unidade de comprimento e Tx eTs são esforços cortantes por
unidade de comprimento, sendo o eixo dos xx com a direcção do eixo de casca
cilíndrica e ds = adθonde a representa o raio de curvatura de casca cilíndrica.
Forças por unidade de comprimento Momentos por unidade de comprimento
Figura 10.1: Esforços generalizados.
Os sentidos indicados para os esforços na figura 10.1 correspondem aos sentidos
positivos adoptados para os esforços generalizados.
O raio de curvatura da superfície média, superfície cilíndrica é designado por a e é
considerado elevado quando comparado com a espessura t de casca.
O elemento ABCD de casca está limitado por duas secções rectas infinitamente
próximas definidas por x e x + dx e por duas geratrizes infinitamente próximas
definidas por s e s + ds.
O equilíbrio de forças traduz-se na equação vectorial
( ) (N i N j T k) p i p j p k 0 s
N i N j T k x
x xs x xs + s − s + 1 + 2 + 3 = ∂
∂ G^ G G G G G G G G
e a equação de equilíbrio de momentos traduz-se na equação vectorial:
( ) (M i M j) T i T j 0 s
M i M j x
xs x s − xs − s + x = ∂
∂ G^ G G G G G
Tendo em conta que:
s
i
x
k
x
j
x
i
∂
G G G
a
j
s
k e a
k
s
j
G G G G
T θ
N θ
A
B
D
Tx
M θ
Mx θ
Mx θ
Mx
k
j i
Nθx
N x
Nx θ
k
j
i
ds
a dθ
p 0 s
N
x
N
1
x xs
p 0 s
N
x
N
2
xs s
p 0 a
N
s
M
x s
M
x
M
3
s 2
s
2 xs
2
2
x
2
Estas equações são insuficientes para calcular os esforços de flexão e de
membrana.
10.1.2 Relações Deformações-Deslocamentos
Considere-se o elemento ABCD na vizinhança do ponto e sobre a superfície
média da casca, como se representa na figura 10.2, sendo A ( x,θ), B ( x+ dx,s),
C ( x,s+ ds) e D ( x+ dx,s+ds). Na configuração deformada os pontos ocupam a
posição A', B', C' e D' como se representa na figura 10.2. Designando por u, v, e w os
deslocamentos sofridos pelo ponto A é possível calcular os deslocamentos sofridos
pelos pontos B e C, ou seja:
O deslocamento do ponto A é
AA' ui v j wk
G G G
Figura 10.2: Configuração deformada do elemento ABCD.
B
D
C
k
j i
dθ
A
B'
C'
D'
A'
AC ad j
AB dxi
G
G
= θ
O deslocamento do ponto B é:
dx k x
w dx j w x
v dx i v x
u BB' u
G G G
O deslocamento do ponto C é:
( ) ( ) ds s
wk ds wk s
vj ds i vj s
u CC' u ∂
G
G
G G
Tendo em conta que
a
j
s
k e a
k
ds
d j
G G G G
obtém-se:
ds k a
v
s
w ds j w a
w
s
v ds i v s
u CC' u
G G G
Tendo em conta que AB dxi
G
= e AC dsj
G
= obtém-se:
dxk x
w dx j x
v dxi x
u A' B' 1
G G G
ds k a
u
s
w dsj a
w
s
v dsi 1 s
u A' C'
G G G
As componentes da deformação ε (^) x, εs e ε (^) xs do tensor da deformação na
ausência de mudanças de curvatura são:
x
u x ∂
ε = a
w
s
v
∂
ε (^) θ= e u
v
s
u (^2) xs ∂
ε = 10.
Se se considerarem as coordenadas x e θ em lugar de x e s, as componentes da
deformação são:
x
u x ∂
ε =
= w
v
a
θ
ε (^) θ e x
u v
a
(^2) x ∂
θ
ε (^) θ 10.
2
2
2
2
s x
w
s
w M D ν
x s
w M D 1
2
xs ∂ ∂
= −ν 10.
onde D representa o módulo de rigidez à flexão que é definido do seguinte modo:
2
3
Ee D −ν
As equações 10.16 e 10.17 conjuntamente com as equações 10.6, num total de
nove equações permitem o cálculo de ( N x ,NseNsx), (M x ,MseMsx) e
(u ,vew), sendo os esforços transversos calculados por uso das equações de equilíbrio
eliminadas para efeitos de obtenção das equações 10.6, as quais podem ser escritas em
termos dos deslocamentos, fazendo uso das equações 10.17 com a seguinte forma:
2
2
2
2
x s
w
x
w
x
T D
2
2
2
2
s s
w
x
w
s
T D 10.
Note-se que a teoria acabada de obter tem uma aproximação que resulta de se
eliminarem os termos Ts /aeMxs/a, no caso de não se considerar esta aproximação,
há que distinguir entre N (^) xs e N (^) sx e entre M (^) xs e M (^) sx, sendo o estado de tensão
definido considerando seis equações de equilíbrio.
10.1.4 Equações de equilíbrio em termos dos deslocamentos
Substituindo as equações 10.16 e 10.17 nas equações 10.6, obtém-se as equações
de equilíbrio em termos dos deslocamentos que são:
k
p
x
w
x s a
v
s
u
x
u (^1)
2
2
2
2
2
ν ∂
∂ ∂
+ν ∂
∂
−ν ∂
∂
k
p
a
w
x s s
u
x
v
s
v (^2)
2
2
2
2
2
+^ =
+ν ∂
∂
−ν ∂
∂
D w p 0 a
w
s
v
x
u
a
k + ∇∇ −^3 =
ν
O operador ∇ representa 2
2
2
2
x ∂s
e consequentemente
4
4
2 2
4
4
4 2
s
w
x s
w 2 x
w w w ∂
Por solução das equações 10.19 pode obter-se o campo de deslocamentos u, v e
w.
A solução geral das equações 10.19 pode escrever-se com a seguinte forma:
u = u 1 +u 2 v = v 1 +v 2 w =w 1 +w 2
onde u 1 , v 1 e w 1 representa uma solução geral do sistema homogéneo de equações
obtido do sistema 10.19 (p 1 = p 2 =p 3 = 0 )e u 2 , v 2 e w 2 representa uma solução
particular do sistema de equações 10.19 calculada de tal modo que u, v e w satisfaçam
as condições de fronteira.
As condições de fronteira mais frequentes que se encontram nas aplicações
práticas são:
1 - ao longo do bordo x = constante
♦ Bordo encastrado
u = 0, v = 0, w = 0 e 0 x
w
∂
♦ Bordo simplesmente apoiado
k
p
a
w
dx
d w
k
D
dx
du
a
3 4 2
4
ν b) 10.
Tendo em conta as relações esforços-deslocamentos, 10.16, conclui-se que
a
w
dx
du N (^) x k ν ou seja w k a
N
dx
du (^) x ν = − 10.
Substituindo este resultado na equação 10.22b obtém-se:
k
p
a
w
dx
d w
k
D
w k a
N
a
3 4 2
4 x
ν ν
ou seja
aD
N
D
p 4 w dx
d w 4 3 x 4
4 ν
com
( ) 2 2
2 4
e a
3 1 ν β
Note-se que a N (^) x pode ser obtido através da equação
p 0 dx
dN 1
x
x
0 x =^ −∫ 10.
sendo N (^) x independente da deformação da casca cilíndrica e constante em todo o
comprimento da casca. No caso de ser p 1 = 0 , como é o caso de um reservatório de
pressão, N (^) x é uma constante calculada através das condições de fronteira.
A solução geral da equação pode ser escrita com a forma:
w = wc +wp 10.
sendo w (^) c a solução complementar da equação em 2º membro e w (^) p uma solução
particular da equação.
A solução da equação
4 w 0 dx
d w 4 4
4
toma a forma
mx m m 1
w (^) c = (^) ∑ A e
sendo A (^) mconstantes arbitrárias.
Substituindo 10.29 em 10.28 obtém-se:
A (m 4 ) e 0
4 4 mx Σ (^) m + β = 10.
donde obtém a equação característica com a forma
m 4 0
4 4
- β = ou seja m = ± 2 β 4 − 1 10.
A solução complementar w (^) c, toma a forma:
( ) ( ) ( ) ( 1 i) x 4
1 i x 3
1 i x 2
1 i x w (^) c A 1 e A e A e A e
- β − β − + β − − β = + + + 10.
Tendo em conta que:
( ) ( )
i x ix ix ix e e 2
e e e sen x 2
cos x
β β β β β β
− − = + = − 10.
obtém-se a solução complementar com a forma:
w C e cos x C e sen x C e cos x C e sen x
x 4
x 3
x 2
x c 1 β^ β β β
β β − β −β = + + + 10.
A solução particular da equação 10.25 pode ser considerada com a forma:
a
N
p Ee
a w
x 3
2
p
ν
Uma vez conhecido o deslocamento w, os esforços são facilmente calculados.
Os momentos flectores e os esforços transversos unitários são facilmente
calculados a partir de w, por uso das equações
2
2
x dx
dw M = −D e 3
3 x x dx
dw D dx
dM T = =− 10.
ou seja
M 2 D e [C 4 cos x C 3 sen x]
2 x x β^ β β
β = + −
−
T 2 D e [ ( C 4 C 3 ) cos x (C 3 C 4 )sen x]
3 x x β^ β β
β = − + + −
−
Substituindo as condições 10.38 nas equações 10.40 obtém-se:
para x = 0
4 o
2 2 D β C =M ou seja 2 D
M
C
2
o 4 β
( 3 4 ) o
3 − 2 D β C +C =T ou seja 2 D
T
2 D
M
C
3
o 2
o 3 β β
Substituindo as constantes 10.41 na equação 10.37 obtém-se:
( ) ( ) cos x
2 D
T
e sen x cos x 2 D
M
w x 3
x o 2
o β β
β β β
β = − −
−
Substituindo as constantes 10.41 nas expressões 10.40 obtém-se os momentos e
esforços transversos com a forma seguinte:
( ) e sen x
T
M M e cos x sen x
x o x x o β β
β β
−β −β = + +
T 2 M e sen x T e [cos x sen x]
x o
x x β^ o β β β
β β = − + −
− −
Na extremidade x = 0, o deslocamento é máximo e tem o valor
2 D
T
2 D
M
w 0 3
o 2
o
β β
e a inclinação é:
2 D
T
D
M
dx
dw 0 2
o o
x 0 β β
θ (^) = +
=
As expressões 10.43 permitem a obtenção das tensões resultantes da aplicação de
momentos e esforços transversos no extremo de uma casca cilíndrica longa.
10.2.2Casca Cilíndrica Curta Sujeita a Distribuição Axissimétrica de Momentos e
Esforços Transversos nos Extremos
Considere-se uma casca cilíndrica de dimensão finita sujeita a distribuição de
momentos e esforços transversos nos extremos como se representa na figura 10.4, na
ausência de esforços axiais, N (^) x = 0 e na ausência de pressão interior, p 3 = 0. A
solicitação pode considerar-se simétrica em relação ao plano médio como se representa
na figura. Nestas condições a solução geral da equação 10.25 tem a forma:
w e ( C cos x C sen x) e ( C 3 cos x C 4 sen x)
x 1 2
x β β β β
β β = + + +
−
Figura 10.4: Casca cilíndrica curta sujeita a distribuição de esforços transversos e
momentos nos extremos.
Esta solução pode ser escrita com a forma:
( ) ( )
w C e cos x C e sen x C e C e sen ( L x)
L x 4
L x 3
x 2
x = 1 + + + −
− − − − − − β β β
β β β β
ou
w C A^ (^ x)^ C B(^ x)^ C A[ (^ L x)] C B[ (^ L x)]
= 1 β + 2 β + 3 β − + 4 β − 10.
To
a
o x
To
Mo
Mo
To
To
Mo
Mo
L
( L) [ 1 A( L)] [ 1 D( L)] B( L) [ 1 C( L)] 2 e ( senh L sen L)
L β β β β β β β
β ∆ = + − + − = +
−
O deslocamento, w (^) oe a inclinação θ (^) opara x = 0 são facilmente obtidas, sendo
2 D
T
L
2 D
M
w 0 L 3
o 2 H
o M β
δ β β
δ β
2 D
T
L
D
M
L
dx
dw 0 2
o H
o M
o
β
θ β β
θ = =θ β + 10.
onde
senh L sen L
senh L sen L M L^ H L β β
β β δ β θ β
senh L sen L
cosh L cos L H L β β
β β δ β
senh L sen L
cosh L cos L M L β β
β β θ β
10.2.3 Casca Cilíndrica Submetida a Carregamentos Antissimétricos nos Extremos
Considere-se a casca cilíndrica finita, representada na figura 10.5, sujeita a
carregamentos uniformes de esforços transversos e momentos flectores antissimétricos
em relação ao plano médio.
Figura 10.5: Carga antissimétrica. Casca cilíndrica.
To
To
To
To
a
o
Mo
Mo
Mo
Mo
L
O deslocamento radial, w tem a forma geral:
w = C 1 A (β x) +C 2 B( βx) +C 3 A[β ( L−x)] +C 4 B[β ( L−x)] 10.
Como o carregamento é antissimétrico
C 1 = −C 3 e C 2 =−C 4
As condições de fronteira são:
para x = 0 M (^) x = Mo e Tx =To
para x = L M (^) x = −Mo e Tx = −To 10.
Substituindo uma destas condições nas equações 10.49 obtém-se as constantes
[ ( )] [ ( )]
= − =− 1 A L
2 D
T
1 C L
2 D
M
L
C C
3
o 2
o
1
1 3 β β
β β β
[ ( )] ( )
= − = B L
2 D
T
1 D L
2 D
M
L
C C
3
o 2
o
1
2 4 β β
β β β
onde as funções A (β L ), B (β L), C (β L )e D (β L)são as funções definidas no caso
anterior e
( L) [ 1 A( L)] [ 1 D( L)] B( L) [ 1 C( L)] 2 e [senh L sen L]
L 1 β^ β β β β β β
β ∆ = − + − + = −
−
O deslocamento e a inclinação para x = 0 são:
2 D
T
L
2 D
M
w 0 L 3
' o 2 H
' o m β
δ β β
δ β
2 D
T
L
D
M
L
dx
dw 0 2
' o H
' o m
o
β
θ β β
θ = =θ β + 10.
onde
senh L sen L
senh L sen L L L
' H
' m β β
β β δ β θ β −
Figura 10.6: Casca cilíndrica sujeita a esforços num dos extremos.
Resolvendo o sistema de equações 10.62, obtém-se:
C 1 = [α 4 T 1 −α 2 M 1 ] [/α 1 α 4 −α 2 α 3 ]
C 2 = [α 1 T 1 −α 3 M 1 ] [/α 2 α 3 −α 1 α 4 ]
C 3 = ( A− 2 B) C 1 +( 2 A+B) C 2
C 4 = BC 1 −AC 2 10.
onde A = A(β L), B = B(β L), α 1 =− 2 B, [ ]
2 2 α 2 = − 1 + 2 AB+A +B ,
A 3 B A 2 AB
2 2 α 3 = − − + ,
2 2 α 4 =A + 2 AB+B −A , T T / 2 D
3 1 =^ o β e
M M / 2 D
2 1 = o β
O deslocamento e a inclinação para x = 0 e para x = L são:
o =^ − 1 T 1 cosh 2 L cos 2 L 2
senh 2 L sen 2 L M cosh 2 L cos 2 L 2
cosh 2 L cos 2 L w β β
β β
β β
β β
2 D
T
cosh 2 L cos 2 L 2
cosh 2 L cos 2 L
D
M
cosh 2 L cos 2 L 2
senh 2 L sen 2 L
dx
dw 2
o o o
β β β
β β
β β β
β β
T o
To
a
Mo
Mo
L
x
L =^ − − 1 T 1
cosh 2 L cos 2 L 2
2 senh Lcos L cosh Lsen L M cosh 2 L cos 2 L 2
4 senh L sen L w β β
β β β β
β β
β β
2 D
T
cosh 2 L cos 2 L 2
4 senh Lsen l
D
M
cosh 2 L cos 2 L 2
2 senh Lcos L cosh Lsen L
dx
dw 3
L o o
β β β
β β
β β β
β β β β
O mesmo resultado seria obtido se a solução tivesse sido obtida considerando os
resultados dos casos 10.2.2 e 10.2.3, usando o princípio da sobreposição de efeitos.
O efeito de bordo manifesta-se até uma certa distância tornando-se irrelevante a
partir de determinado valor de x. As soluções têm todas as mesmas características, uma
constante a multiplicar por um factor que exibe um andamento exponencial tendente
para zero do tipo oscilatório. O deslocamento, a inclinação, o momento flector e o
esforço transverso diminuem com
x e
− β , uma vez que [ 3 ( 1 )]^ ea
2 1 /^4 β = − ν , x ea
é um parâmetro que caracteriza o comportamento da casca. Por exemplo, x ea= 4
ocorre quando βx = 5. 12 , para o qual é e 0. 005976
x
− β que é uma quantidade
insignificante. Pode portanto afirmar-se que para distâncias L (^) B > 4 ea, os efeitos de
bordo são irrelevantes. A quantidade L (^) B = 4 ae é conhecida por comprimento de
atenuação dos efeitos de bordo ou comprimento do amortecimento.
10.2.5 Casca Cilíndrica Longa Sujeita a um Anel de Carga
Considere-se a casca cilíndrica representada na figura 10.7 sujeita a uma carga
uniformemente distribuída de intensidade H como se representa.
Figura 10.7: Casca cilíndrica sujeita a um anel de carga.
TE
To
P
P
To
TE
P
a
x
z
