Baixe Capítulo 3 - Limites e outras Notas de aula em PDF para Cálculo, somente na Docsity!
Não é muito raro algumas pessoas argumentarem que quando uma criança que realiza
malcriações é porque os pais não lhe impuseram limites em sua criação. Deste modo, é
plausível dizer que uma noção coloquial de limite é a de uma espécie de barreira, a qual não
se deveria transpor. Em verdade nos parece conveniente que nem alcancemos esta barreira,
sob pena de sofrermos certas punições, ou de nossos pais ou da sociedade.
A ideia matemática de limite não está muito longe dessa conceituação de barreira
inatingível, mas sua compreensão carrega algumas sutilezas que nos cabe explorar neste
curso. Para isso vou contar sobre um episódio que alguns afirmam ter se passado na Grécia
Antiga, conhecido como um dos Paradoxos de Zenão.
Zenão de Eleia foi um filósofo sofista que viveu no século V antes de Cristo. É
considerado o fundador da ideia de limite por ter formulado alguns paradoxos com os quais
pretendia contestar as concepções da Escola Pitagórica, segundo as quais, por exemplo, o
tempo era uma soma de instantes e o movimento uma soma de deslocamentos.
Sem dúvidas o Paradoxo de Aquiles e da tartaruga é o mais conhecido. Nesta
elaboração de Zenão, Aquiles, um grande guerreiro de Tróia, corre para apanhar uma
tartaruga, mas nunca chegará a alcança-la porque, quando atingir o ponto em que a tartaruga
estava ela já terá se deslocado, devendo Aquiles se deslocar até um novo ponto, mas ao
atingir este ponto a tartaruga já não está mais lá, pois ela continua se deslocando, e Aquiles
se desloca mais uma vez, entretanto a tartaruga mais uma vez se desloca. Essa situação se
repete indefinidamente sem que Aquiles nunca venha capturar a Tartaruga.
Limites
Parece-nos lógico que Aquiles alcançaria a tartaruga, mas Zenão pretendia
demonstrar as consequências paradoxais de encarar o tempo e o espaço como constituídos
por uma sucessão infinita de pontos e instantes individuais consecutivos.
Para melhor entendermos, observemos a situação hipotetizada com mais detalhes:
Caso a tartaruga comece a corrida com alguma vantagem sobre Aquiles, quando este
alcançar a posição inicial P0 , a tartaruga já terá se movido para a posição P1. Quando
Aquiles chegar a P1 , a tartaruga já estará em P2 , e assim sucessivamente. Ao que parece
Aquiles nunca conseguirá alcançar a tartaruga. Contudo, se supusermos que Aquiles corre
dez vezes mais rápido que a tartaruga e que demora 1 segundo para chegar em P0 , precisaria
de uma décima parte deste tempo para cegar em P1 , uma centésima parte deste tempo para
chegar em P2 , e assim sucessivamente. Mas
Pelo exposto temos que em 1 segundo e 1/9 Aquiles conseguirá alcançar a tartaruga.
A intuição fracassa ao julgar que uma soma de termos infinitos positivos há de dar
necessariamente infinita.
É justamente na passagem da soma de frações decimais para o somatório que reside
a ideia fundamental da convergência ao valor limite 1/9.
Em nosso exemplo, determinamos que o limite de f ( x ) é igual a 7 quando x se
aproxima de 2 porque a função se aproximou de 7 quando atribuímos valores para x
próximos de 2.
Como sempre na matemática, existe uma representação abreviada para representar
essa situação:
lim
𝑥→ 2
Leia-se: “O limite de f ( x ) quando x tende a 2 é igual a 7”.
Disso concluímos que Limite é o ponto máximo ao qual uma função tende com um
dado valor de x , não importando se ela o alcança ou não.
Agora vamos ampliar essa ideia de aproximação ou tendência para a definição de um
limite a partir de um problema um pouco mais complexo. Seja a função:
2
Consideremos o problema da determinação do lim
𝑥→ 2
𝑓(𝑥). Nesse caso percebemos que
o comportamento de f ( x ) não é tão claro quando x → 2. Isto porque se x assumir o valor 2 o
denominador se anula, isto é, surge uma divisão por zero e não temos um boa ideia do que
ocorre quando algo é dividido por zero. Consideramos a situação uma indeterminação ou
impossibilidade. Entretanto, já estudamos casos em que assumimos valores próximos ao
valor determinado para x. Isso pode nos dar uma ideia do comportamento da função próximo
a este ponto. Neste caso, podemos montar uma tabela com valores se aproximando de 2
inferiormente ou pela esquerda, como a que segue:
x 1 1,25 1,50 1,75 1,90 1,99 1,
2
Analogamente, podemos montar uma tabela com valores se aproximando de 2
superiormente ou pela direita, como o que segue:
x 3 2,75 2,5 2,25 2,10 2,01 2,
2
As tabelas nos levam a crer que quando x → 2 , f ( x ) tende a 8. Isto é:
lim
𝑥→ 2
2
Apesar de serem fortes as evidências será que existem maneiras de definirmos com
maior precisão este resultado? Certamente que sim. Uma forma de fazer isso é nos valendo
de álgebra elementar, como a que exemplificamos a seguir:
Exemplo: Determinar lim
𝑥→ 2
3 𝑥
2
− 4 𝑥− 4
𝑥− 2
Solução: Sabendo que 𝑓(𝑥) =
3 𝑥
2
− 4 𝑥− 4
𝑥− 2
possui por domínio todos os reais exceto x = 2,
pois o valor 2 anula o denominador, procedemos do seguinte modo:
2
Assim, quando x → 2 fica fácil ver que f( x ) → 8, ou seja:
lim
𝑥→ 2
2
= lim
𝑥→ 2
Podemos aprender por esse exemplo que na determinação de f ( x ), quando x tende
para a , não nos interessa como f está definido em a (nem mesmo se f está realmente definido).
O que nos interessa é como f está definido para valores de x na vizinhança de a.
Atividades
- Determine os limites abaixo:
𝑎) lim
𝑥→ 2
2
𝑒) lim
𝑥→ 1
3
2
𝑖) lim
𝑥→ 5
2
𝑏) lim
𝑥→ 2
2
𝑓) lim
𝑥→− 2
2
𝑗) lim
𝑥→ 4
2
𝑐) lim
𝑥→ 3
2
𝑔) lim
𝑥→ 3
2
𝑘) lim
𝑥→ 1
𝑑) lim
𝑡→ 2
2
ℎ) lim
𝑥→ 3
2
𝑙) lim
𝑥→ 4
