Função Exponencial e Logaritmo, Resumos de Cálculo para Engenheiros

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Matemática Aplicada à

Economia – LES 201

Aulas 19 e 20

Funções exponenciais e logarítmicas

Luiz Fernando Satolo

Funções Exponenciais e Logaritmicas

Chiang, cap. 10

Funções exponenciais e logarítmicas

 várias aplicações em economia : variável de

escolha é o tempo

• Cálculo de juros aplicações financeiras ou

empréstimos bancários

• Taxas Crescimento
  • População
  • Aprendizagem
  • Inflação

Funções exponenciais

Uma função que tem base fixa e expoente variável é chamada de função exponencial y = ax Para a > 0 e a ≠ 1

Domínio da função: Conjunto dos números reais R

Por que a > 0?

A função exponencial é a inversa da logaritma: o logaritmando > 0

y  a^2  a

1

Comportamento da Função Exponencial

1 o^ caso: f(x) = ax^ , com a > 1

Ex: y = 2x x y -3 1/ -2 1/ -1 1/ 0 1 1 2 2 4 3 8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

lima 0

x

x 

 

 

lim a

x

x

Comportamento da Função Exponencial

2 o^ caso: f(x) = ax^ , com 0 < a < 1 Ex:

x y -3 8 -2 4 -1 2 0 1 1 ½ 2 ¼ 3 1/

y ) x 2

 (^1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-4 -2 0 2 4

 

lim a

x

x lima 0

x

x 

 

Comportamento da Função Exponencial

2 o^ caso: f(x) = ax^ , com 0 < a < 1

Note que:

• Intersecção com o eixo y: sempre ponto (0,1)
• Não há intersecção com o eixo x (Não existe x / f(x) = 0)
  • (y é assintótica ao eixo x)
• Quando x cresce, y decresce infinitamente
• Quando x decresce, y cresce infinitamente
• Domínio = R
• Imagem = R+

A curvatura da função

• O valor do parâmetro a determina a curvatura da função

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

a = 10

a = 5

a = 2

a > 1

A curvatura da função

• O valor do parâmetro a determina a curvatura da função

0 < a < 1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

a = 0,

a = 0,

a = 0,

Forma mais geral da função exponencial

y = b.akx^ + c Curva assintótica à reta y = c

a) a > 0, b > 0, k > 0, c > 0

c

(0 , b + c)

Aplicações funções exponenciais em economia Juros simples e Juros compostos

JUROS SIMPLES

• É o juros calculado somente sobre o montante inicialmente investido
• Se uma quantia P (principal) é emprestada (ou investida) a juros simples, a uma taxa de r% ao ano, a quantia S = S(t) devida (ou acumulada) após t anos será de:

períodos

número

juros

taxa

Principal

ouPoupança

Dívida

S  P (1 r. t

Juros compostos

Juros compostos: quando o juros obtido após o primeiro período é INCORPORADO ao principal, e daí para frente esta soma é continuamente reinvestida à mesma taxa de juros nos períodos subsequentes

• Se uma quantia P (principal) é emprestada (ou investida) a juros compostos, a uma taxa de r % ao ano, e os juros são capitalizados anualmente, a quantia S = S(t) devida (ou acumulada) após t anos será de:

Juros compostos

Após 1º. ano: S(1) = P + rP = P(1+r)

Após 2º. ano: S(2) = P(1 + r) + P(1+r)r=[P(1+r)][(1+r)]

S(2) =P(1+r)^2

Após 3º. ano: S(3) = P(1+r)^2 + (P(1+r)^2 )r =

= P(1+r)^2 _ = P(1+r)_^3

.....

Após t anos: S(t) = P(1+r)t

Base e

• Funções exponenciais de base e (e = 2,7182818 ...) são muito usadas em economia
• Função exponencial natural tem derivada conveniente:

d

dt

e

t

= e

t

y = Ae

rt

dy

dt

= Ae

rt

r = yr

y

A base e

Considere a função:

m m =

e = lim f(m) = lim ( 1 + 1)

m

m m  m=  m   m m=

m 10 100 1000 10000 100000 1000000

m^ 2,59374^ 2,70481^ 2,71692^ 2,71815^ 2,71827^ 2, m (^1 1)     

 

m

m

f m  

  

  

1 ( ) 1