Geometria de Vetores: Teoremas e Transformações, Notas de estudo de Informática

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Computação Gráfica I

CRAb – Grupo de Computação

Gráfica

Departamento de Computação

UFC

Objetivos

Estudar^ –

equipamentos, técnicas de programação econceitos matemáticos

Para^ –

representação, manipulação e projeção deobjetos bi- e tridimensionais

aplicar a problemas específicos

Objetos Geométricos e

Transformações

4.1 Escalares, Pontos e Vetores

4.1.1 A visão geométrica

Ponto •^

Não tem tamanho nem forma

Única propriedade é sua localização

Escalares •^

Tensores de ordem zero (array de umelemento)

Valor não muda com mudança de sistemacoordenadas

Obedecem conjunto de operações

Ex: massa de uma partícula

4.1 Escalares, Pontos e Vetores

4.1.1 A visão geométrica

Vetores

C=0Vetor nulo

A

B=-A

B

C A

Adição vetorial

-B

C A

Subtração vetorial

4.1 Escalares, Pontos e Vetores

4.1.1 A visão geométrica

Adição Ponto-Vetor (Translação do Ponto)

P

2

=P

1

+ V

V

P

1

P

2

4.1 Escalares, Pontos e Vetores

4.1.2 Geometria livre de coordenadas

4.1 Escalares, Pontos e Vetores

4.1.3 Visão matemática: Espaços

vetoriais e Espaços afins^ –

Escalares, Pontos e Vetores são elementosde conjuntos especiais

Escalares

Campos Escalares

Vetores

Espaços Vetoriais

Pontos + Vetores

Espaços Afins

Espaço Vetorial, X sobre o Campo escalar,S

X conjunto de vetores

{X; +}: Grupo Abeliano

–^

Obedece às seguintes propriedades

x e y

X

Se x + x = x

Æ

x = 0 (vetor nulo)

Se z

X e x + y = x + z

Æ

y = z

Se z

X e x + y = z + y

Æ

x = z

w

X

w + x = y

z^

X

x + z = y

x + y = y + x

X é um S-módulo, isto é

(α

β

)x =

α

x +

β

x

α

(x + y) =

α

x +

α

y

α

β

x) = (

α

β

)x

1x = x

4.1 Escalares, Pontos e Vetores

Propriedades deUm grupo

Espaço Euclidiano

Espaço vetorial com uma medida de tamanho oudistância

d(x,y) = Sqrt(x. y)

Espaço Afim

Extensão do espaço vetorial, incluindo o objetoPonto

Inclui as operações

–^

Adição vetor-ponto

-^

Subtração ponto-ponto

4.1 Escalares, Pontos e Vetores

4.1 Escalares, Pontos e Vetores

4.1.5 Tipos Abstratos de Dados

geométricos

Escalares: conjunto dos números reais •^

Operações de adição e multiplicação

Pontos: posições no espaço 3D

Vetores: segmentos de retas, direcionais

v = P - QP = v + Q

v

Q

P

u

v

u+v

4.1 Escalares, Pontos e Vetores

4.1.6 Linhas

Lugar geométricos dos pontos geradospor operações ponto-vetorP

= P

0

d (Forma paramétrica)

P

0

é um ponto arbitrário

d é um vetor arbitrário α

é um escalar

Se

α

for > 0 P(

α

) é o raio que emana de P

0

na

direção d

4.1 Escalares, Pontos e Vetores

4.1.8 Convexidade

Segmento de linha é um objeto convexo

Convex hull (Fecho convexo) dos pontosP

, i = 1, 2, …, ni^

é o conjunto de pontos P definido pela

soma afim dos n pontos

P =

1

P

1

2

P

2

n

P

n

1

2

n

i^

> 0, i = 1, 2, …, n

4.1 Escalares, Pontos e Vetores

4.1.9 Produtos escalares e vetoriais