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Capítulo 1
Origens primitivas
“E Adão sentindo-se só pediu ao Senhor uma companheira. Pedido atendido, Adão gostou tanto do sabor da maçã que a cada ano Eva tinha um filho. Para cada filho nascido, Adão fazia um risco num pedaço de madeira, e assim tinha noção de quanto era sua ninhada. Mas foram tantos que o pau já não dava conta do recado. E Adão implorou ao Senhor e Este enviou o anjo matemático Ric. Adão não mais se preocupou em contar seus filhos: Ric dava conta do recado. Eva gostou tanto de Ric que passou a chamá-lo de Ric-Adão.Dessa forma, junto e misturado ao prazer, a matemática surgiu para os homens.” Paulo, 2,
Ao se fazer um relato cronológico do desenvolvimento da matemática, a questão de por onde começar se impõe. Deve-se iniciar com as primeiras deduções sistemáticas em geometria, tradicionalmente creditadas a Tales de Mileto, por volta de 600 a.C.? Ou deve recuar mais no tempo e iniciar com a obtenção de certas fórmulas de mensuração feitas pelas civilizações pré-helênicas da Mesopotâmia e do Egito? Ou se deve recuar ainda mais no tempo e iniciar com os primeiros esforços tateantes feitos pelo homem pré-histórico visando a sistematização das idéias de grandeza, forma e número? Ou se pode dizer que a matemática teve início em épocas pré-humanas com a manifestação de senso numérico e reconhecimento de modelos, embora muito limitadamente, por parte de alguns animais, pássaros e insetos? Ou mesmo antes disso, nas relações numéricas e espaciais das plantas? Ou até antes, nas nebulosas espiraladas, nas trajetórias de planetas e cometas e na cristalização de minerais em épocas pré-orgânicas? Ou será que a matemática, como acreditava Platão, sempre existiu, estando meramente a aguardar sua descoberta? Cada uma dessas origens possíveis comporta uma defesa.
Como usualmente se considera como a matemática mais antiga aquela resultante de sistemas sociais que requerem a sistematização de conceitos como contagem, cálculo e medida, é por aí que começaremos, focalizando de início o surgimento no homem primitivo do conceito de número e do processo de contar.
O conceito de número e o processo de contar desenvolveram-se tão antes dos primeiros registros históricos (há evidências arqueológicas de que o homem, já há uns 50.000 anos, era capaz de contar) que a maneira como ocorreram é largamente conjectural. É improvável que isso tenha sido a descoberta de um indivíduo ou de uma tribo; é mais provável que a percepção tenha sido gradual. Não é difícil, porém, imaginar como isso provavelmente se deu. É razoável admitir que a espécie humana, mesmo nas épocas mais primitivas, tinha algum senso numérico, pelo menos ao ponto de reconhecer mais e menos quando se acrescentavam ou retiravam alguns objetos de uma coleção pequena, pois há estudos que mostram que alguns animais são dotados desse senso. Com a evolução gradual da sociedade, tornaram-se inevitáveis contagens simples. Uma tribo tinha que saber quantos eram seus membros e quantos eram seus inimigos e tornava-se necessário a um homem saber se seu rebanho de carneiros estava diminuindo.
É provável que a maneira mais antiga de contar se baseasse em algum método de registro simples, empregando o princípio da correspondência biunívoca. Para uma contagem de carneiros, por exemplo, podia-se dobrar um dedo para cada animal. Podia-se também contar fazendo-se ranhuras no barro, num osso ou numa pedra, produzindo-se entalhes num pedaço de madeira ou fazendo-se nós numa corda. Então, talvez mais tarde desenvolveu-se um arranjo de sons vocais para registrar verbalmente o número de objetos de um grupo pequeno. E mais tarde ainda, com o aprimoramento da escrita, foram surgindo arranjos de símbolos para representar esses números. Esse desenvolvimento hipotético encontra respaldo em relatórios de antropólogos que estudaram povos primitivos em nossa época.
Osso Ishango, com mais de 8000 anos, mostrando números preservados por meio de entalhes no osso.
Nos mais remotos estágios do período de contagem vocal, usavam-se sons (palavras) diferentes para, por exemplo, dois carneiros e dois homens. (Considere, por exemplo, em português: parelha de cavalos, junta de bois, par de sapatos, casal de coelhos). A abstração da propriedade comum dois, representada por algum som considerado independentemente de qualquer associação concreta, provavelmente levou muito tempo para acontecer.
Quando se tornou necessário efetuar contagens mais extensas, o processo de contar teve de ser sistematizado. Isso foi feito dispondo-se os números em grupos básicos convenientes, sendo a ordem de grandeza desses grupos determinada em grande parte pelo processo de correspondência empregado. Esquematizado-se as idéias, o método consistia em escolher um certo número b como base e atribuir nomes aos números 1, 2, ..., b. Para os números maiores do que b os nomes eram essencialmente combinações dos nomes dos números já escolhidos.
Como os dedos do homem constituíam um dispositivo de correspondência conveniente, não é de estranhar que o 10 acabasse sendo escolhido freqüentemente o número b da base. Considerem- se, por exemplo, as palavras-números atuais na língua inglesa, formadas tomando-se 10 como base. Há os nomes especiais one (um), two (dois), ..., ten (dez) para os números 1, 2, ..., 10. Quando se chega a 11 a palavra usada é eleven , cujo significado é "um acima de dez". Analogamente, twelve (doze) significa "dois acima de dez", thirteen ("três e dez") para treze, até nineteen ("nove e dez") para dezenove. Chega-se então a twenty ("dois dez") e assim por diante.
Como seria de esperar, o sistema quinário, ou sistema de numeração de base 5, foi o primeiro a ser usado extensivamente. Até hoje algumas tribos da América do Sul contam com as mãos: "um, dois, três, quatro, mão, mão e um" e assim por diante. O sistema vigesimal (base 20) também foi amplamente usado, e remonta aos dias em que o homem andava descalço. Esse sistema foi usado pelos maias. O sistema hexagesimal (base 60) foi usado pelos babilônios, sendo ainda empregado na medida do tempo e de ângulos em minutos e segundos.
Além disso, há um grande número de perguntas não respondidas com relação à origem da matemática. Foi sugerido que a arte de contar surgiu em conexão com rituais religiosos primitivos e que o aspecto ordinal precedeu o conceito quantitativo. Em ritos cerimoniais representando mitos da criação era necessário chamar os participantes à cena segundo uma ordem específica, e talvez a contagem tenha sido inventada para resolver esse problema.
Afirmações sobre as origens da matemática, seja da aritmética seja da geometria, são necessariamente arriscadas, pois os primórdios do assunto são mais antigos que a arte de escrever. Para informações sobre a pré-história dependemos de interpretações baseadas nos poucos artefatos que restaram, de evidência fornecida pela moderna antropologia, e de extrapolação retroativa, conjectural, a partir dos documentos que sobreviveram. Heródoto e Aristóteles não quiseram se arriscar a propor origens mais antigas que a civilização egípcia, mas é claro que a geometria que tinham em mente tinha raízes mais antigas. Heródoto mantinha que a geometria se originava no Egito, pois acreditava que tinha surgido da necessidade prática de fazer novas medidas de terras após cada inundação anual no vale do rio. Aristóteles achava que a existência no Egito de uma classe sacerdotal com lazeres é que tinha conduzido ao estudo da geometria. O homem neolítico pode ter tido pouco lazer e pouca necessidade de medir terras, porém seus desenhos e figuras sugerem uma preocupação com relações espaciais que abriu caminho para a geometria. Seus potes, tecidos e cestas mostram exemplos de congruência e simetria, que em essência são partes da geometria elementar. Para o período pré-histórico não há documentos, portanto é impossível acompanhar a evolução da matemática desde um desenho específico até um teorema familiar. Mas idéias são como sementes resistentes, e às vezes a origem presumida de um conceito pode ser apenas a reaparição de uma ideia muito mais antiga que ficara esquecida.
Podemos fazer conjeturas sobre o que levou os homens da Idade da Pedra a contar, medir e desenhar. Que os começos da matemática são mais antigos que as mais antigas civilizações é claro. Ir além e identificar categoricamente uma origem determinada no espaço e no tempo, no entanto, é confundir conjectura com história. É melhor suspender o julgamento nessa questão e ir adiante, ao terreno mais firme da história da matemática encontrada em documentos escritos que chegaram até nós.
Outra cultura da antiguidade que exerceu um papel de destaque no desenvolvimento da matemática foi a babilônica. Os babilônios escreviam sobre a argila úmida com um estilete em forma triangular. Como o barro seca logo, os documentos tinham que ser breves e escritos de uma só vez. Devido à forma que o estilete gravava na argila, a escrita babilônica ficou conhecida como escrita cuneiforme.
Os babilônios foram os primeiros povos pré-gregos a utilizarem um sistema parcial semi posicional. Tais sistemas são baseados na noção de valor de lugar no qual o valor de um símbolo depende da posição que ele ocupa na representação numérica. A vantagem é que neste caso necessita-se de um pequeno número de símbolos para representar qualquer número. Eles usavam um sistema
sexagesimal sendo que tinha valor um e poderia ser usado nove vezes enquanto tinha valor dez e podia ser usado cinco vezes. Espaços apropriados entre grupos de símbolos correspondiam a potências descendentes de 60. Por exemplo, o número 1.60^3 + 28.60^2 + 52.60 + 20 = 319.940 era escrito como
