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Capítulo 11
O Cálculo
"Não sei o que o mundo pode pensar de mim; mas eu mesmo me considero tão-somente um menino que, brincando na areia da praia, se diverte ao encontrar um seixo arredondado ou uma concha mais bonita que as comuns, enquanto o grande oceano da verdade jaz indecifrável ante meus olhos." Isaac Newton
11.1 Introdução
Já vimos que o século XVII foi extremamente produtivo para o desenvolvimento da matemática, graças, em grande parte, às novas e vastas áreas de pesquisa que nela se abriram. Indubitavelmente, porém, a realização matemática mais notável do período foi a invenção do cálculo, perto do final do século, por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz. Com essa invenção a matemática criativa passou a um plano superior e a história da matemática elementar essencialmente terminou. É curioso que o desenvolvimento histórico do cálculo seguiu a ordem contrária à daquela dos textos e cursos básicos atuais sobre o assunto: ou seja, primeiro surgiu o cálculo integral e só muito tempo depois o cálculo diferencial. A idéia de integração teve origem em processos somatórios ligados ao cálculo de certas áreas e certos volumes e comprimentos. A diferenciação, criada bem mais tarde, resultou de problemas sobre tangentes a curvas e de questões sobre máximos e mínimos. Mais tarde ainda, verificou-se que a integração e a diferenciação estão relacionadas entre si, sendo cada uma delas operação inversa da outra.
11.2 O Método dos indivisíveis de Cavalieri
Bonaventura Cavalieri nasceu em Milão em 1598, tornou-se jesuíta aos quinze anos de idade, foi aluno de Galileu e atuou como professor de matemática da Universidade de Bolonha de 1629 até 1647, ano de sua morte. Deixou uma obra vasta abrangendo matemática, óptica e astronomia. Em grande parte foi o responsável pela introdução, logo, dos logaritmos na Europa. Tudo isso fez dele um matemático muito influente. Mas a obra que mais o projetou, aliás sua grande contribuição à matemática, é o tratado Geometria indivisibilibus , publicado em sua versão original no ano de 1635. Nesse trabalho ele apresenta seu método dos indivisíveis , cujas raízes remontam a Demócrito (c. 410 a.C.) e Arquimedes (c. 287-212 a.C.) mas cuja motivação direta talvez se encontre nas tentativas de Kepler de achar certas áreas e certos volumes.
O tratado de Cavalieri é demasiado prolixo e pouco claro, sendo difícil até descobrir o que ele entendia por "indivisível". Tudo indica que um indivisível de uma porção plana dada é uma corda dessa porção e um indivisível de um sólido dado é uma secção desse sólido. Considera-se que uma porção plana seja formada de uma infinidade de cordas paralelas e que um sólido seja formado de uma infinidade de secções planas paralelas. Então, argumentava Cavalieri, fazendo-se deslizar cada um dos elementos do conjunto das cordas paralelas de uma porção plana dada ao longo de seu próprio eixo, de modo que as extremidades das cordas ainda descrevam um contorno contínuo, a área da nova porção plana é igual à da original, uma vez que ambas são formadas das mesmas cordas. Um procedimento análogo com os elementos do conjuntos das secções planas paralelas de um sólido dado fornecerá um outro sólido com o mesmo volume do original. (Este último resultado pode ser ilustrado claramente formando-se uma pilha vertical de cartas e depois deformando suas laterais transformado-as em superfícies curvas; o volume evidentemente não se altera com essa deformação.) Esses resultados, ligeiramente generalizados, fornecem os chamados princípios de Cavalieri :
- Se duas porções planas são tais que toda reta secante a elas e paralela a uma reta dada determina nas porções segmentos de reta cuja razão é constante, então a razão entre as áreas dessas porções é a mesma constante.
- Se dois sólidos são tais que todo plano secante a eles e paralelo a um plano dado determina nos sólidos secções cuja razão é constante, então a razão entre os volumes desses sólidos é a mesma constante.
Os princípios de Cavalieri representam ferramentas poderosas para o cálculo de áreas e volumes e, ademais, sua base intuitiva pode facilmente tornar-se rigorosa com o cálculo integral moderno. Com a aceitação desses princípios como evidentes, intuitivamente, podem-se resolver muitos problemas de mensuração que normalmente requereriam técnicas avançadas de cálculo.
Ilustremos o uso dos princípios de Cavalieri, primeiro no caso plano para determinar a área compreendida por uma elipse de semi-eixos a e b e depois no caso sólido para determinar o volume de uma esfera de raio r.
Considere a elipse e a circunferência 1 b
y a
x 2
2 2
2 , a > b e x 2 y^2 a^2 , referidas ao mesmo
sistema de coordenadas retangulares, como mostra a figura. Tirando y em função de x em cada uma
dessas equações obtém-se, respectivamente,^2 2 21 (a x) a
b y ,^2 2 21 y (a x ). Daí resulta que a
razão entre duas ordenadas correspondentes quaisquer da elipse e da circunferência é a b. Portanto a razão entre duas cordas
verticais correspondentes da elipse e da circunferência é a b. Pelo
princípio de Cavalieri conclui-se que área da elipse = a b (área do
círculo) = a b (a^2 ) = ab. Basicamente, foi esse o procedimento usado por Kepler para estabelecer a área da região limitada por uma elipse.
Determinemos agora a conhecida fórmula do volume de uma esfera de raio r Na figura temos, à esquerda, um hemisfério de raio r e, à direita, um cilindro circular de raio r e altura r, cilindro esse de que se removeu o cone cuja base é sua base superior e cujo vértice é o centro de sua base inferior. Os dois sólidos estão assentados sobre o mesmo plano. Seccionaremos agora ambos os sólidos com um plano paralelo ao plano da base de ambos e a uma distância h dele. Esse plano corta o hemisfério segundo um círculo e o outro sólido segundo uma coroa circular. É fácil mostrar, através
da geometria elementar, que ambas as secções têm a mesma área igual a (r 2 h^2 ). Segue-se
então do princípio de Cavalieri que os dois sólidos têm volumes iguais. Logo, o volume V da esfera é
dado por V = 2(volume do cilindro volume do cone) = 3
4 r 3
r 2 r
3 3 (^3)
A admissão e o uso consistente do segundo princípio de Cavalieri pode simplificar grandemente a dedução de muitas fórmulas de volumes incluídas nos tratamentos iniciais da geometria sólida. Esse procedimento foi adotado por muitos autores de textos de geometria e costuma ser defendido por razões pedagógicas. Ao deduzir a conhecida fórmula do volume do
tetraedro ( 3 V Bh ), por exemplo, a parte desagradável consiste em provar antes que dois tetraedros
de bases equivalentes e alturas relativas a essas bases iguais têm volumes iguais. A dificuldade inerente à questão manifestou-se em todas as abordagens da geometria sólida, desde os Elementos de Euclides. Com o segundo princípio de Cavalieri, porém, a dificuldade simplesmente desaparece.
A nebulosa concepção de indivisível de Cavalieri, como uma espécie de parte atômica de uma figura, suscitou muita discussão e críticas sérias de alguns estudiosos do assunto, em particular
1669 para se tornar o capelão de Carlos II, renunciou a essa cátedra. Para substituí-lo em Cambridge, sugeriu o nome de seu jovem colega Isaac Newton, cujos talentos extraordinários foi ele um dos primeiros a reconhecer e admirar. Barrow faleceu em Cambridge em 1677.
O trabalho matemático mais importante de Barrow é Lectiones opticae et geometricae , do ano em que ele renunciou à sua cátedra em Cambridge. O prefácio do tratado tece agradecimentos penhorados a Newton por parte do material do livro, provavelmente aquela que se ocupa da óptica. É nesse livro que se encontra uma abordagem muito próxima do processo moderno de diferenciação, mediante o uso do chamado triângulo diferencial, que ainda se encontra nos textos atuais de cálculo. Suponhamos que se pretenda obter a tangente à curva da Figura ao lado no ponto P. Seja Q um ponto da curva, vizinho de P. Então os triângulos PTM e PQR são praticamente semelhantes entre si e, argumentava Barrow, considerando o triângulo menor
indefinidamente pequeno, vale a relação
TM
MP
QR
RP
. Façamos
QR=e e RP = a. Então, se as coordenadas de P são x e y, as de Q são x ee y a. Substituindo esses valores na equação da curva e
desprezando os quadrados e potências superiores tanto de a como de b, encontramos a razão a/e.
Temos então OT = OM TM = OM MP
RP
QR
= x y
a
e , e a tangente está determinada. Como
ilustração, apliquemos o método à curva x 3 y^3 r^3. Neste caso (x e)^3 (ya)^3 r^3 ou
x 3 3 x^2 e 3 xe^2 e^3 y^3 3 y^2 a 3 ya^2 a^3 r^3. Desprezando os quadrados e as potências
superiores de e e a, obtém-se 3 x 2 e^ 3 y^2 a 0 , do que resulta 2
2
y
x e
a . A razão a/e é, obviamente,
nosso moderno dy/dx e o questionável procedimento de Barrow pode facilmente tornar-se rigoroso com o uso da teoria dos limites.
Apesar dos indícios tênues que apontam noutra direção, em geral considera-se que Barrow foi o primeiro a perceber, de maneira plena, que a diferenciação e a integração são operações inversas uma da outra. Essa importante descoberta é conhecida como teorema fundamental do cálculo e aparece enunciada e provada nas Lectiones de Barrow.
Nesta altura do desenvolvimento do cálculo diferencial e integral já se tinham feito muitas integrações; muitas cubaturas, quadraturas e retificações já haviam sido efetuadas; já aflorara um processo de diferenciação e muitas tangentes a curvas haviam sido construídas; a idéia de limite já fora concebida; e o teorema fundamental reconhecido. Faltava ainda a criação de um simbolismo geral com um conjunto sistemático de regras analíticas formais e também um redesenvolvimento, consistente e rigoroso, dos fundamentos da matéria. Foi á primeira dessas duas coisas, ou seja, à criação de um cálculo manipulável e proveitoso, que Newton e Leibniz, trabalhando independentemente, deram sua contribuição. Assim, embora Newton e Leibniz tenham tido muitos precursores, a criação do cálculo em geral é atribuída a eles. O redesenvolvimento dos conceitos fundamentais do cálculo em bases aceitáveis, rigorosamente falando, teria de esperar o período de aplicação vigorosa do assunto e seria levado a efeito pelo grande analista francês Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) e seus sucessores do século XIX.
11.4 Newton
Isaac Newton nasceu na aldeia de Woolsthorpe no dia de natal de 1642, ano da morte de Galileu. Seu pai tinha morrido antes que o doentio Isaac nascesse, e sua mão casou-se novamente quando ele tinha três anos. O menino foi educado pela avó e pelos planos iniciais da família deveria abraçar a mesma atividade do pai, um agricultor. O jovem, porém, revelou grande habilidade para projetar miniaturas mecânicas engenhosas e deleitava-se com suas experiências. Assim, construiu um moinho de brinquedo que triturava o trigo, transformando-o em farinha, usando como força motriz um rato e construiu também um relógio de madeira movido a água. Em vista disso sua permanência
na escola foi se prolongando. E aos dezoito anos de idade, ei-lo no Trinity College, Cambridge. Foi só nessa altura, devido a um livro de astrologia que lhe caiu nas mãos, que sua atenção se voltou para a matemática. Esse novo interesse levou-o a ler primeiro os Elementos de Euclides, que achou demasiado óbvio, e depois La géometrie de Descartes, que achou algo difícil. Leu também a Clavis de Oughtred, trabalhos de Kepler e Viéte e a Arithmetica infinitorum de Wallis. Não demorou para que ele passasse a criar sua própria matemática, primeiro descobrindo o teorema do binômio generalizado, depois inventando o método dos fluxos, como ele chamava o atual cálculo diferencial. Do final do verão de 1665 até o final do verão de 1667, salvo por um breve período de reabertura da metade de março à metade de junho de 1666, a Universidade de Cambridge esteve com suas portas praticamente fechadas, devido a uma violenta peste bubônica. Geralmente se relata que foi em 1665, durante o primeiro ano do fechamento da Universidade, quando se encontrava em sua cidade natal, que Newton desenvolveu o seu cálculo (até o ponto em que lhe era possível achar a tangente a uma curva num de seus pontos e o raio de curvatura respectivo), interessou-se por várias questões físicas, levou a efeito suas primeiras experiências em óptica e formulou os princípios básico de sua teoria da gravitação. Pesquisas recentes mostram, porém, que esse relato é um mito, posteriormente disseminado pelo próprio Newton para ajudá-lo a ganhar a primazia na questão da descoberta do cálculo e que essas descobertas não foram feitas antes de sua estada em Cambridge, em 1666, durante o breve período de reabertura da universidade.
Em 1667 Newton retornou a Cambridge e por dois anos ocupou-se com pesquisas no campo da óptica. Em 1669, com a renúncia de Barrow à cátedra lucasiana, assume esse lugar, dando início assim a seus dezoito anos de docência na universidade. Sua teoria das cores e certas deduções que fez a partir de suas experiências em óptica foram atacadas veementemente por alguns cientistas. Newton achou a discussão subsequente tão desagradável que jurou jamais publicar mais nada em ciência. Essa enorme aversão pela controvérsia, que parecia tocar as raias do patológico, teve importantes desdobramentos na história da matemática, uma vez que a grande maioria de suas criações só veio a ser publicada muitos anos depois das descobertas. Essa postergação constante levou mais tarde a uma polêmica de baixo nível com Leibniz, em torno da prioridade da criação do cálculo. E foi devido a essa polêmica que os matemáticos ingleses, tomando incondicionalmente o partido de Newton, voltaram as costas para o Continente, retardando o progresso matemático na Inglaterra por quase um século.
As atividades docentes universitárias de Newton no período de 1673 a 1683 se concentraram em álgebra e teoria das equações. Foi nesse período, em 1679, que ele verificou sua lei da gravitação, usando uma nova medida do raio da terra, em conjunção com o estudo do movimento da Lua. Estabeleceu também a compatibilidade de sua lei da gravitação com as leis do movimento planetário de Kepler, com base na hipótese de que o Sol e os planetas podem ser considerados pontos materiais. Mas Newton não comunicou a ninguém essas descobertas antes de 1684. Nesse ano, ao procurá-lo para discutir a lei da força que faz com que o movimente planetário seja elíptico, Halley acabou se inteirando delas. Essa conversa reacendeu o interesse de Newton pela mecânica celeste, levando-o a elaborar muitas das proposições que posteriormente seriam fundamentais para o primeiro livro dos Principia. Quando Halley, algum tempo mais tarde, viu o manuscrito de Newton, percebeu sua enorme importância e obteve a garantia do autor de enviar os resultados à Royal Society, o que Newton fez. Por volta da mesma época ele finalmente resolveu um problema que o vinha preocupando há alguns anos, a saber, que um corpo esférico cuja densidade em cada ponto depende só de sua distância ao centro da esfera atrai uma partícula externa a ela, como se toda a sua massa se concentrasse no centro. Newton agora trabalhava a sério em sua teoria e, num esforço intelectual gigantesco, escreveu o primeiro livro de seus Principia por volta do verão de 1685. Um ano mais, também o segundo estava pronto e o terceiro iniciado. Acusações ciumentas de Hoode, como os desgostos subsequentes, quase o fizeram abandonar o terceiro livro, do que foi dissuadido por Halley. O tratado completo, intitulado Philosophiae naturalis principia mathematica , foi publicado, a expensas de Halley, na metade de 1687, sendo sua repercussão na Europa imediata e impressionante.
Em 1689 Newton representou a universidade no parlamento. Em 1692 foi acometido de uma curiosa doença que durou dois anos e que implicava uma certa forma de distúrbio mental. A maior parte de sua vida daí para a frente foi dedicada à química, à alquimia e à teologia. Aliás, mesmo nos
Newton fez numerosas e notáveis aplicações deste seu método: Determinou máximos e mínimos, tangentes a curvas, curvaturas de curvas, pontos de inflexão e convexidade e concavidade de curvas; aplicou-o também a muitas quadraturas e retificações de curvas. Demonstrou habilidade extraordinária na integração de algumas equações diferenciais. Seu trabalho inclui também um método para aproximação dos valores das raízes reais de uma equação numérica, algébrica ou transcendente.
Obviamente, os Principia são a obra-prima de Newton. Nela se encontra a primeira sistematização completa da dinâmica e uma formulação completa dos principais fenômenos de movimento, terrestres e celestes. Mostrou-se o mais influente e admirado trabalho na história da ciência. É interessante que seus teoremas, embora alguns, talvez, tenham sido obtidos pelo método dos fluxos, são provados magistralmente pelos métodos da geometria grega clássica, com a ajuda, aqui e ali, de algumas noções simples de limites. Até o desenvolvimento da teoria da relatividade, toda a física e a astronomia se assentavam na hipótese, feita por Newton em seu trabalho, de um sistema de referência privilegiado.
Newton jamais foi abatido pelos muitos problemas-desafio que circulavam nos meios matemáticos de seu tempo. Um dos que resolveu, proposto por Leibniz, consiste em encontrar as trajetórias ortogonais de uma família de curvas.
Se no campo experimental Newton demonstrou uma habilidade pouco comum, como analista foi soberbo. Como matemático, figura entre os maiores que o mundo já produziu em todos os tempos. Sua acuidade para com os problemas físicos e a habilidade para abordá-los matematicamente provavelmente nunca foram superados. Sua grandeza foi reconhecida por juízes de elevado quilate científico, como Leibiniz, que nobremente lhe prestou um tributo dizendo: “Tomando a matemática desde o início do mundo até a época em que Newton viveu, o que ele fez foi, em grande escala, a metade melhor”. Contrastando com esses elogios há a avaliação modesta de Newton sobre seu próprio trabalho. Generoso para com seus predecessores, disse uma vez que, se tinha ido mais longe do que outros, é porque pudera alçar-se aos ombro de gigantes.
Há relatos segundo os quais Newton passava dezoito ou dezenove horas por dia escrevendo e que dão conta de sua notável capacidade de concentração.
11.5 Leibniz
Gottfried Wilhelm Leibiz, o grande gênio universal do século XVII e rival de Newton na invenção do cálculo, nasceu em Leipzig em 1646. Bastante criança aprendeu latim e grego por conta própria; e aos doze anos de idade já dominava todo o conhecimento corrente de matemática, filosofia, teologia e leis publicadas pelos textos da época. Por essa época, ainda menino, começou a desenvolver as primeiras idéias de sua characteristica generalis , concepção que envolvia uma matemática universal, algo que posteriormente iria irromper na lógica simbólica de George Boole (1815-1864) e, mais tarde, em 1910, nos Principia mathematica , grande obra de Whitehead e Russel. Quando, ostensivamente devido à sua pouca idade, foi-lhe negado o grau de doutor em leis na Universidade de Leipzig, ele se mudou para Nuremberg onde escreveu um ensaio brilhante sobre o ensino de leis pelo método histórico, dedicado ao eleitor de Mainz. Devido a isso foi indicado pelo eleitor para uma comissão incumbida de recodificar alguns estatutos. Daí para frente, pelo resto de sua vida, Leibniz esteve engajado no serviço diplomático, primeiro a serviço do eleitor de Mainz e depois, de 1676 até sua morte, a serviço da corte de Hanover.
Em 1672 quando cumpria uma missão diplomática em Paris, Leibniz conheceu Huygens, que na ocasião residia lá, e o jovem diplomata convenceu o cientista a dar-lhe aulas de matemática. No ano seguinte Leibniz foi enviado em missão política a Londres, onde travou relações de amizade com Oldenburg e outros e teve ocasião de exibir à Royal Society uma máquina de calcular que inventara. Antes de deixar Paris e assumir o rendoso posto de bibliotecário e conselheiro do eleitor de Hanover, Leibniz já havia descoberto o teorema fundamental do cálculo, desenvolvido grande parte de sua notação para o assunto e estabelecido muitas das fórmulas elementares de diferenciação.
Sua indicação para o serviço público de Hanover proporcionou-lhe tempo de lazer para se dedicar a seus estudos prediletos e, em conseqüência, escrever uma montanha de artigos sobre toda espécie de assunto. Foi um lingüista de escol, tendo ganho fama por sua erudição em sânscrito, e seus trabalhos de filosofia guindaram-no a uma posição de destaque nesse campo. Empreendeu vários grandes projetos que redundaram em nada, como o de reunir as Igrejas católicas e protestantes e, mais tarde, as duas seitas protestantes de seu tempo. Em 1682, ele e Otto Mencke fundaram uma revista chamada Acta eruditorum da qual se tornou o editor chefe. Muitos de seus artigos matemáticos, em grande parte escritos no período de 1682 a 1692, apareceram nessa revista. A Acta eruditorum alcançou grande circulação na Europa Continental. Em 1700 Leibniz criou a Academia de Ciências de Berlim e posteriormente se empenhou em criar academias semelhantes em Dresden, Viena e São Petersburgo.
As pesquisas de Leibniz em torno de sua characteristica generalis levaram-no a conceber planos de uma teoria da lógica matemática, estruturada em regras formais, que obviaram as necessidades do raciocínio. Embora seu sonho somente agora tenha atingido um nível de realização perceptível, Leibniz conseguiu, em terminologia corrente, formular as principais propriedades da adição, multiplicação e negação lógicas, considerou a classe vazia e a inclusão de classes e notou a semelhança entre algumas propriedades da inclusão de classes e a implicação de proposições.
Leibniz por volta de 1676 tinha chegado à mesma conclusão a que Newton chegara vários anos antes - que ele possuía um método que era altamente importante por causa de sua generalidade. Quer uma função fosse racional ou irracional, algébrica ou transcendente (palavra que Leibniz inventou), suas operações de achar somas e diferenças podiam sempre ser aplicadas. Cabia pois a ele desenvolver linguagem e notação adequadas para o novo assunto. Leibniz sempre teve uma percepção aguda da importância de boas notações como ajuda ao pensamento, e sua escolha no caso do cálculo foi particularmente feliz. Depois de algumas tentativas ele se fixou em dx e dy para as diferenças menores possíveis (diferenciais) em x e y, embora inicialmente usasse x/d e y/d para indicar o abaixamento de grau. A princípio ele escrevia simplesmente omn. Y (ou "todos os y") para a
soma das ordenadas sob uma curva, mas mais tarde ele usou o símbolo y e ainda mais tarde
ydx^ , o sinal de integral sendo uma letra s (para soma) aumentada. Achar a tangente exigia o uso
do calculus differentialis e achar quadraturas o calculus integralis , frases de onde resultaram as expressões que usamos. Leibniz, na verdade, foi um dos maiores formadores de notação, inferior apenas a Euler nesse ponto. Foi o primeiro matemático proeminente a usar sistematicamente o ponto para multiplicação e a escrever proporções na forma a : b = c : d. O uso de : para divisão é ainda comum. Além disso foi em grande parte graças a Newton e a Leibniz que o sinal = de Recorde triunfou sobre o símbolo de Descartes. Devemos também a Leibniz os símbolos ~ para semelhança e para congruência. Embora ele não seja responsável pela moderna notação para função, é a ele que se deve a palavra "função", praticamente no mesmo sentido em que usamos hoje.
Comumente atribui-se a Leibniz, em 1693, a criação da teoria dos determinantes visando o estudo de sistemas de equações lineares, embora considerações semelhantes já tivessem sido feitas dez anos antes no Japão por Seki Kowa. Também se deve a Leibniz a generalização do teorema
binomial para o teorema multinomial, consistindo em fazer a expansão de (a b...n )r. Ele
também contribuiu muito para lançar os fundamentos da teoria das envoltórias e definiu círculo osculador, mostrando sua importância no estudo das curvas.
Os últimos sete anos da vida de Leibniz foram amargurados pela polêmica, fomentada por outros, com Newton, a respeito da primazia da criação do cálculo. Conta-se que quando faleceu, dois anos depois, em 1716, apenas seu fiel secretário compareceu ao funeral. Não entraremos aqui em discussões sobre a infeliz polêmica Newton-Leibniz. A opinião generalizada hoje é que ambos criaram o cálculo independentemente. Embora a descoberta de Newton seja anterior, Leibniz foi o primeiro a publicar seus resultados. Se Leibniz não era tão profundo em matemática quanto Newton, era talvez mais eclético e embora inferior ao seu rival inglês como analista e físico- matemático, era provavelmente dotado de uma imaginação mais aguda e um sentido superior quanto à forma matemática. A controvérsia, que irrompeu por maquinações de outras partes. Levou os britânicos a negligenciar por muito tempo os progressos da matemática no Continente em prejuízo de sua própria matemática.
