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CAPÍTULO IV
PRIMEIRO PRINCÍPIO DA TERMODINÂMICA PARA SISTEMAS
ABERTOS
4.1 – Introdução
Um grande número de problemas de que se ocupa a termodinâmica dizem respeito a dispositivos para onde entra, e de onde sai, massa de um dado fluido que, por isso, devem ser analisados como sistemas abertos (volumes de controlo) em vez de como sistemas fechados (massas de controlo). Estão neste caso, por exemplo, um radiador de um automóvel, uma turbina, um compressor, etc., pois em todos eles há um fluxo de massa que entra e sai do dispositivo. De uma maneira geral qualquer região do espaço pode ser escolhida para volume de controlo. No entanto uma escolha apropriada facilita muito a análise de um problema. A fronteira do volume de controlo, denominada superfície de controlo, tanto pode ser uma superfície real como imaginária. Por exemplo, no caso de uma tubeira, a superfície interna da tubeira é real mas as superfícies por onde entra e sai o fluido são partes imaginárias da fronteira do sistema aberto. Na maior parte dos casos que surgem na prática, a fronteira é fixa , isto é, tem sempre a mesma forma e o mesmo tamanho. Noutros casos menos vulgares a fronteira poderá mover-se. Quando a fronteira é fixa não há trabalho realizado pelas forças aplicadas à fronteira do sistema, isto é,
W 0
2
1
= ∫ PdV =. Através da fronteira de um
volume de controlo podem dar-se transferências de energia, quer sob a forma de calor quer sob a forma de trabalho, tal como acontecia com os sistemas fechados, além da transferência de massa. Uma grande variedade de problemas podem ser resolvidos, em termodinâmica, através da análise de volumes de controlo. Em vez de deduzirmos equações mais complexas que se aplicam aos casos gerais e depois particularizarmos para determinados casos, mais simples, vamos apenas considerar os casos mais simples. Neste capítulo iremos por várias vezes utilizar os termos estacionário e uniforme com os seguintes significados: e stacionário significa que uma dada propriedade não
Fig.4.1 – A massa entra e sai de um volume de controlo.
Fig.4.2 – Fronteiras reais e imaginárias num volume de controlo.
Fig.4.3 – Um sistema aberto com uma fronteira móvel.
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varia no tempo ; uniforme significa que não varia com a localização no interior de uma dada região. O contrário de estacionário é transitório.
Princípio da conservação da massa
O princípio da conservação da massa é conhecido de todos nós. As equações da química acertam-se com base neste princípio, como sabemos. Assim, quando 16 kg de oxigénio reagem com 2 kg de hidrogénio, formam-se 18 kg de água. Se fizermos a electrólise de 18 kg de água obtemos, novamente, 16 kg de oxigénio mais 2 kg de hidrogénio. Tal como a energia considera-se que a massa se conserva, não se pode criar nem destruir massa. No entanto a massa e a energia podem converter-se uma na outra de acordo com a famosa equação de Einstein:
E = m c^2 ( c - velocidade da luz no vácuo)
Esta equação sugere que a massa de um sistema se altera quando se modifica a sua energia. Contudo, na ausência de reacções nucleares a variação de massa que acompanha uma variação de energia de um sistema é extremamente pequena de modo que não poderia ser detectada nem com as balanças mais sensíveis. Por isso, no âmbito das transformações que se estudam na termodinâmica clássica, consideram-se constantes tanto a massa como a energia. Quando se estudaram os sistemas fechados não era preciso mencionar o princípio da conservação da massa pois já estava implícito uma vez que a massa de um sistema fechado mantém-se constante, por definição. Contudo, para os sistemas abertos (volumes de controlo) a massa atravessa a fronteira do sistema e teremos que ter em atenção a massa que entra e a que sai durante uma transformação num sistema aberto. O princípio da conservação da massa é traduzido por:
∑ mi^ −^ ∑ me =∆ mVC^ (4.1)
onde o índice i de m (^) i significa inlet (entrada), m (^) i representa uma massa que entra, o índice e de me significa exit (saída) , m (^) e representa uma massa que sai, o índice VC significa volume de controlo e ∆ mVC a variação de massa dentro do volume de controlo. Os somatórios têm que incluir todas as massas que entram e/ou saem do volume de controlo. Esta equação aplica-se a qualquer volume de controlo e a qualquer processo.
Caudais de massa e de volume
A quantidade de massa que atravessa uma secção transversal duma conduta na unidade de tempo chama-se caudal mássico e representa-se pelo símbolo m &. Um líquido ou um gás flui para dentro ou para fora de um volume de controlo através de tubos ou condutas. O caudal mássico de um fluido através de uma conduta é
proporcional à área da secção transversal da conduta A , à massa volúmica do fluido ρ
e à velocidade do fluido V
r
. O caudal através duma área infinitesimal dA é calculado por:
d m & = ρ Vn dA
onde Vn é a componente de V
r normal à área infinitesimal dA.
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Princípio da conservação da energia
No 3º Capítulo já se viu como se aplica o princípio da conservação da energia (1º princípio da termodinâmica) a sistemas fechados. Como se disse na altura, a energia de um sistema fechado apenas pode ser alterada através de interacções que foram denominadas calor e trabalho. A equação que traduz o 1º princípio da termodinâmica no caso dos sistemas fechados é a equação 3.10:
Q – W = ∆ E
Contudo, para os sistemas abertos existe um mecanismo adicional que pode fazer variar a energia do sistema: a massa que entra ou sai do volume de controlo. Quando entra massa para o volume de controlo a energia deste aumenta, pois a massa que entrou transportou consigo energia. Quando sai massa para fora do volume de controlo transporta consigo energia, pelo que diminui a energia do volume de controlo. Assim, a equação que traduz o balanço entre as diferentes formas de energia em jogo numa transformação de um sistema aberto é:
Q – W + Σ Ein - Σ Eout = ∆ EVC (4.5)
onde os símbolos representam:
E (^) in- as energias transportadas pelas massas que entram para o volume de controlo E (^) out - as energias transportadas pelas massas que saiem do volume de controlo ∆ E (^) VC - a variação de energia dentro do volume de controlo Q e W têm o significado habitual. Um volume de controlo (sistema aberto) pode realizar (ou receber) diferentes formas de trabalho simultaneamente: trabalho eléctrico, trabalho de forças aplicadas à fronteira móvel do sistema, trabalho obtido (ou fornecido) através de um veio de uma máquina, etc. (Fig.4.6). A energia necessária para empurrar o fluido para dentro e para fora do volume de controlo é outro tipo de trabalho a que se chama trabalho de fluxo, trabalho de escoamento ou energia de fluxo.
Trabalho de fluxo (escoamento)
Ao contrário do que acontecia com os sistemas fechados, nos sistemas abertos há um fluxo de massa que atravessa a fronteira destes sistemas e é necessário algum trabalho para empurrar essa massa para dentro e para fora do volume de controlo. Este trabalho é necessário para manter um fluxo contínuo de fluido através do volume de controlo.
Fig.4.6 – Possíveis tipos de trabalhos para um sistema aberto.
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Para obter a expressão analítica deste trabalho consideremos numa conduta um elemento de fluido de volume V prestes a entrar para o volume de controlo, como se mostra na Fig.4.7. O fluido imediatamente a montante deste elemento irá pressioná-lo para entrar para o volume de controlo, isto é, pode ser considerado como que um êmbolo imaginário. O elemento de fluido escolhido pode ser suficientemente pequeno para se poder admitir que as propriedades intensivas do fluido tenham os mesmos valores através dele. Se a pressão do fluido for P e se a área da secção transversal do elemento de fluido for A (Fig.4.7) a força exercida sobre este elemento pelo êmbolo imaginário é
F = P A
Para empurrar o elemento de fluido para dentro do volume de controlo esta força actua deslocando-o duma distância L. Então, o trabalho que realiza para que o elemento de fluido atravesse a fronteira (isto é, o trabalho de fluxo) é:
Wfluxo = F L = P A L = P V (4.6)
O trabalho para empurrar a unidade de massa de fluido obtém-se dividindo os dois membros da equação 4.6 pela massa do elemento de fluido:
wfluxo = P v (J.kg-1^ ) (4.7)
Esta expressão do trabalho é a mesma quer o fluido seja empurrado para dentro ou para fora do sistema aberto. É interessante reparar que, ao contrário do que acontecia com os outros trabalhos, o trabalho de fluxo (escoamento) é expresso em função de duas propriedades do sistema: o produto de P por v. Por essa razão há quem considere este trabalho uma propriedade do sistema (como acontece com a entalpia h=u+Pv ), e se lhe refira como energia de fluxo em vez de trabalho de fluxo. Outros autores argumentam, correctamente, que o produto Pv somente representa uma energia para fluidos em escoamento e não representa qualquer forma de energia se se tratar de um sistema fechado. Por isso deve ser considerado um trabalho. Como ambas as hipóteses conduzem ao mesmo resultado para a equação de energia de um volume de controlo iremos, como alguns autores, considerar este trabalho como uma parte da energia de um fluido em escoamento. Desta maneira a dedução da equação de energia para volumes de controlo fica muito simplificada.
Energia total de um fluido em escoamento
Como vimos no 3º capítulo a energia total de um sistema fechado (não submetido a campos eléctricos ou campos magnéticos exteriores) é constituída por três parcelas: a energia interna U , a energia cinética E (^) c e a energia potencial gravítica Ep. Para a unidade de massa vem:
Fig.4.7 – Esquema para calcular o trabalho de fluxo.
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1– Nenhuma propriedade (intensiva ou extensiva) num dado local no interior do volume de controlo varia no tempo (Fig. 4.9). Assim, se colocássemos sensores para medir qualquer propriedade intensiva ( P , T , etc.) num dado local do volume de controlo, os valores observados não iriam variar no decurso do tempo e, também, o volume VVC , a massa mVC e a energia total EVC do volume de controlo, manter-se-iam constantes num processo de escoamento estacionário (Fig 4.10). Também, o trabalho realizado pelas forças aplicadas à fronteira do sistema
( W = ∫
2
1
PdV ) é nulo visto ser VVC =const
nestes processos. Geralmente, o trabalho (realizado ou recebido pelo sistema) no decurso de um processo de escoamento estacionário é transmitido através de o veio de uma máquina – trabalho ao veio.
2 – Nenhumas propriedades, inclusive a velocidade do fluido, podem mudar ao longo do tempo nos diferentes pontos da fronteira do sistema aberto; acontece o mesmo nas secções transversais das entradas e saídas do fluido. Contudo, estas propriedades podem ter valores diferentes nas várias condutas de entradas e saídas do fluido. Assim, o caudal mássico do fluido através da secção de uma dada conduta de entrada ou de saída deve permanecer o mesmo durante um processo de escoamento estacionário (Fig.4.11). Por simplicidade admite-se, em geral, que as propriedades do fluido são uniformes sobre cada uma das secções transversais das condutas de entrada e de saída, isto é, têm um mesmo valor médio numa entrada ou numa saída.
3 – Num processo de escoamento estacionário, as taxas a que se dão as trocas de calor e trabalho entre o sistema e a sua vizinhança não podem mudar no tempo. Isto é, o trabalho por unidade de tempo ou potência fornecido pelo (ou ao) sistema e o calor trocado por unidade de tempo, entre o sistema e a sua vizinhança, permanecem constantes durante um processo de escoamento estacionário.
Como já se disse as condições de escoamento estacionário ou permanente podem ser atingidas muito aproximadamente por dispositivos como, por exemplo, turbinas, bombas, caldeiras, condensadores e permutadores de calor existentes nas centrais de potência a vapor. As equações que vão ser deduzidas nesta secção podem ser usadas nestes dispositivos, e noutros semelhantes, uma vez terminado o período transitório do “arranque” e estabelecido o funcionamento em regime estacionário. Alguns dispositivos que funcionam por ciclos, como motores e compressores alternativos, não satisfazem as condições apresentadas anteriormente uma vez que os fluxos de fluido nas entradas e saídas são pulsatórios em vez de estacionários. No entanto, como as propriedades do fluido variam periodicamente com o tempo, os
Fig.4.10 – Num processo de escoamento estacionário tanto a massa como a energia permanecem constantes.
Massa saindo
Massa entrando Volume de controlo mVC =const EVC = const
m & 3
m &^1 Volume de controlo
h 1 m & 2 h
h (^3)
Volume de controlo
Fig.4.11 – As propriedades permanecem constantes numa entrada ou numa saída.
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processos nestes dispositivos ainda podem ser analisados como processos de escoamento estacionário desde que se usem médias temporais dos valores das propriedades e taxas a que se dão as trocas de calor e trabalho através das suas fronteiras.
Conservação da massa
Durante um processo de escoamento estacionário a massa total contida no interior do volume de controlo não varia no tempo ( mVC =const.). Então, o princípio da conservação da massa exige que a massa que entra para dentro do volume de controlo, num certo intervalo de tempo, tenha que ser igual à massa que de lá sai, no mesmo intervalo de tempo (Fig.4.12). Quando se trata de processos de escoamento estacionário não estamos interessados na quantidade total de massa que entra ou sai do dispositivo num certo intervalo de tempo. Em vez disso interessam-nos os caudais mássicos m &^. Então, o princípio da conservação da massa para um sistema aberto com múltiplas entradas e saídas, como o representado esquematicamente na Fig. 4.11, pode exprimir- -se como se segue:
∑ m &^ i^ =^ ∑ m & e (4.9)
onde o índice i de m & (^) i significa inlet (entrada) e o índice e de m & (^) e significa exit (saída).
A maioria dos dispositivos utilizados em engenharia tais como turbinas, tubeiras, compressores e bombas, são percorridos por uma única corrente de fluido (apenas uma entrada e uma saída). Para estes casos representamos com o índice 1 as propriedades do estado do fluido à entrada e com o índice 2 as do estado à saída. Também, os somatórios da equação 4.9 reduzem-se a uma só parcela. Por isso para os processos de escoamento estacionário com uma única entrada e uma única saída a equação 4.9 toma a forma: m &^1 = m &^2 (kg s-1^ ) (4.10) ou, por 4.3a,
ρ 1 C 1 A 1 = ρ 2 C 2 A 2 (4.11)
ou ainda 2
2 2 1
1 1 v
CA
v
C A
onde:
ρ =1/v = massa volúmica do fluido (kg.m-3^ )
C = velocidade média na direcção do escoamento (m.s -1^ ) A = área da secção transversal do tubo normal à direcção do escoamento (m^2 )
As equações 4.11 e 4.12 são conhecidas como equações da continuidade.
Fig.4.12 – Conservação da massa para um sistema com duas entradas e uma saída.
VC
m &^1 = 2 kg/s m & 2 =^3 kg/s
m & 3 (^) = m & 1 + m & 2 = 5 kg/s
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Dividindo os dois membros da equação 4.15 por m & obtemos uma equação para a unidade de massa do fluido:
onde m
Q
q &
= representa a quantidade de calor trocada com a unidade de massa do
fluido e m
W
w &
= o trabalho realizado pela unidade de massa do fluido em escoamento.
4.3 – Aplicações da equação de energia do escoamento estacionário
Tubeiras e difusores
Uma tubeira é uma conduta de secção transversal de área variável na qual a velocidade de um gás, ou líquido, aumenta na direcção e sentido do escoamento. Pelo contrário, num difusor o gás, ou o líquido, diminuem de velocidade na direcção e sentido do escoamento. A figura 4.13 mostra uma tubeira em que a área da secção transversal diminui na direcção e sentido do escoamento, e um difusor em que as paredes que limitam a passagem do fluido divergem. As tubeiras e os difusores para fluxos de gás a altas velocidades podem ser constituídos por uma secção convergente seguida duma secção divergente. Para tubeiras e difusores, o único trabalho a considerar seria o trabalho de fluxo nos locais em que o fluido entra e sai do volume de controlo que, como atrás se disse, já não é preciso contabilizar pois figura na expressão da energia do fluido etotal. Por ser geralmente pequena, quando comparada com os outros termos que figuram na equação, a quantidade de calor trocada considera-se também nula ( q ≅0). A variação de energia potencial do fluido, desde a entrada até à saída, é geralmente desprezável
( ∆ ep = g(Z 2 -Z 1 ) ≅0). Donde, fazendo na equação 4.17 w =0, q =0 e ∆ ep =0, vem:
0 = (h 2 – h 1 ) + ½ (C 22 – C 12 )
½ (C 22 – C 12 ) = h 1 - h 2
Q & − W &= m & ( ∆ h +∆ ec +∆ ep )
( 2 1 )
2 1
2 2 1 2 2
gZ Z
C C
q w h h + −
Fig. 4.13 – Tubeiras e difusores.
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Turbinas
Uma turbina é um dispositivo onde se produz trabalho resultante da passagem de um gás, ou líquido, através de um conjunto de lâminas presas a um eixo que pode girar. A figura 4.14 apresenta um esquema de uma turbina axial de vapor ou de gás. As turbinas são largamente utilizadas nas centrais termoeléctricas, a vapor ou a gás, e nos motores dos aviões. Nestas, vapor sobreaquecido ou gás entram na turbina expandindo-se até uma pressão mais baixa e produzindo trabalho. Porque funcionam em regime estacionário podem aplicar-se as equações 4.15 a 4.17 às turbinas. Normalmente, e em particular nas turbinas de gás e vapor, a variação de energia
potencial do fluido é desprezável ( ∆ e p =g(Z 2 -Z 1 ) ≅0). A turbina deve ser projectada de
modo a que seja suficientemente pequena para se poder desprezar a variação de
energia cinética do fluido, ( ∆ e c= ½ (C 22 -C 12 ) ≅0). Devem evitar-se as transferências de
calor da turbina para o exterior pelo que são normalmente pequenas ( q ≅0, ou Q &^ ≅0).
Então as equações 4.15 e 4.17 simplificam-se, obtendo-se:
W & = m &( h 1 − h 2 )
w = (h 1 – h 2 )
Compressores e bombas
Um compressor é um dispositivo a que se fornece trabalho para aumentar a pressão do gás que o atravessa. Numa bomba fornece-se trabalho a um líquido para lhe modificar o estado enquanto este a atravessa. Na figura 4.15 representa-se esquematicamente um compressor alternativo. Um compressor axial e outro centrífugo estão representados na figura 4.16. Nos compressores as variações da energia cinética e potencial do gás são desprezáveis. As trocas de calor com a vizinhança são, normalmente, pouco significativas, tanto nos compressores como nas bombas, (salvo nos casos em que se provoca o arrefecimento do fluido para diminuir o trabalho gasto na compressão). Assim, para um compressor de gás adiabático, a equação de energia 4.15 simplifica-se dando:
W & = m &( h 1 − h 2 )
Fig.4.14– Uma turbina axial.
Fig.4.15 – Compressor alternativo.
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suficientemente pequena para poder desprezar-se ( Q ≅0). Como há várias correntes de fluido a entrarem e a saírem do volume de controlo tem que se fazer um balanço das massas (equação 4.9):
∑ m & i^ =^ ∑ m & e
Fazendo na equação 4.14 do balanço de energia W &^ ≅ Q &≅ 0 e ½ C (^) i^2 ≅ ½ C (^) e^2 ≅0,
gZ (^) i ≅ gZ (^) e ≅0 vem:
exit inlet
m & e he m & ihi
Válvulas de laminagem
Aos dispositivos de qualquer tipo que restringem o escoamento e causam, por isso, uma queda de pressão significativa no fluido, dá-se o nome de válvulas de laminagem. Alguns exemplos mais familiares são as vulgares válvulas reguláveis, os tubos capilares, e um tampão poroso. Ao contrário do que acontecia com as turbinas as válvulas produzem uma queda de pressão sem, no entanto, fornecerem trabalho. A queda de pressão é muitas vezes acompanhada de um grande abaixamento de temperatura e, por isso, utilizam-se vulgarmente válvulas de expansão nos frigoríficos e aparelhos de ar condicionado. Estes dispositivos são normalmente de pequenas dimensões e o escoamento através deles pode ser considerado adiabático ( q =0) pois não há, nem tempo, nem área suficiente para que se dêem trocas de calor significativas. Também não há trabalho
feito ( w =0), e a variação de energia potencial, se existir, é muito pequena ( ∆ ep =0).
Apesar de, por vezes, ser muito maior que à entrada a velocidade de saída do fluido, o
aumento da energia cinética é insignificante ( ∆ e c ≅0). Então, a equação da conservação
da energia para estes dispositivos reduz-se a
h 2 = h 1
Isto é, os valores da entalpia do fluido, à entrada e saída de uma válvula de laminagem, são os mesmos. Por isso estes processos chamam-se isentálpicos. Se o fluido se comportar como um gás ideal h=h(T) , e por isso a sua temperatura tem que permanecer constante durante um processo de expansão através de uma válvula.
Fig.4.18 – Exemplos de dispositivos que provocam uma restrição ao escoamento de um fluido.
