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Capítulo 5 – Integrais Múltiplas
1. Revisão de Integral de Funções a uma Variável
1.1. Integral Indefinida
O processo de se determinar todas as antiderivadas de uma função é chamado antidiferenciação ou integração. Para indicar que a operação de integração deve ser executada sobre uma função ᡘ, usamos a notação:
o que nos diz que a integral indefinida de ᡘ é a família de funções dada por ᠲ䙦ᡶ䙧 + ᠩ, onde ᠲ䖓䙦ᡶ䙧 = ᡘ䙦ᡶ䙧.
Uma vez que integração e diferenciação são processos inversos tem-se:
㔅 ᡘ䖓䙦ᡶ䙧 ᡖᡶ = ᡘ䙦ᡶ䙧^ ᡗ
1.2. Tabela de Algumas Integrais Indefinidas
Podemos usar qualquer fórmula de derivada para obter uma fórmula correspondente de integral indefinida que chamamos de integral imediata.
け㊉ㄦㄗ ぁ⡸⡩ com^ ᡦ^ ≠^ −^1
㔅 ᡶぁ^ ᡖᡶ =
ᡦ + 1 +^ ᠩ
ln䙦ᡓ䙧 ;^ ᡓ^ >^0 ᡗ^ ᡓ^ ≠^1 ᡓ
け ln䙦ᡓ䙧 +^ ᠩ
ᡗ け^ ᡗ け^ 㔅^ ᡗ^ け^ ᡖᡶ^ =^ ᡗ^ け^ +^ ᠩ
−ᡕᡧᡱ䙦ᡶ䙧 ᡱᡗᡦ䙦ᡶ䙧 㔅 ᡱᡗᡦ䙦ᡶ䙧^ ᡖᡶ = −ᡕᡧᡱ䙦ᡶ䙧 + ᠩ
ln䙦|ᡶ|䙧; ᡶ ≠ 0 1 ᡶ
ᡶ ᡖᡶ^ =^ ln䙦
Definição: Uma função ᠲ será chamada de antiderivada ou primitiva de uma função ᡘ num intervalo I se ᠲ䖓䙦ᡶ䙧 = ᡘ䙦ᡶ䙧, para todo ᡶ ∈ I.
Exemplos:
1䙧 㔅 ᡶ⡳ᡖᡶ =
2䙧 㔅 㒓ᡶ⡳^ ᡖᡶ =
⡳ ⡰⡸⡩ 5 2 + 1
3䙧 㔅䙦3․䙧ぇ^ ᡖᡲ =
ln䙦3․䙧 + ᠩ
4䙧 㔅
√ᡵㄙ^ ⡰
⡰ ⡱ (^) ᡖᡵ = 3 ᡵ
⡩ ⡱ (^) + ᠩ = 3 √ᡵㄙ^ + ᠩ
1.3. Principais Propriedades das Integrais Indefinidas
Exemplos:
1䙧 㔅䙦5 ᡶ⡱^ + 2 cos䙦ᡶ䙧䙧 ᡖᡶ
㔅䙦5 ᡶ⡱^ + 2 cos䙦ᡶ䙧䙧 ᡖᡶ = 㔅 5 ᡶ⡱^ ᡖᡶ + 㔅 2 cos䙦ᡶ䙧 ᡖᡶ = 5 㔅 ᡶ⡱^ ᡖᡶ + 2 㔅 cos䙦ᡶ䙧 ᡖᡶ =
2䙧 㔅 㐶8 ᡲ⡱^ − 6√ᡲ +
㔅 㐶8 ᡲ⡱^ − 6√ᡲ +
⡱䙧 ᡖᡲ + 㔅㐵−6√ᡲ㐹 ᡖᡲ + 㔅 㐶^1
= 8 㔅 ᡲ⡱^ ᡖᡲ − 6 㔅 ᡲ⡩/⡰^ ᡖᡲ + 㔅 ᡲ⡹⡱^ ᡖᡲ =
2 ᡲ⡰^ + 䙦8ᠩ⡩^ − 6ᠩ⡰^ + ᠩ⡱
= 2 ᡲ⡲^ − 4 ᡲ⡱/⡰^ −
2 ᡲ⡰^ + ᠩ
1 䙧 㔅 ᡣ. ᡘ䙦ᡶ䙧ᡖᡶ = ᡣ. 㔅 ᡘ䙦ᡶ䙧^ ᡖᡶ ᡣ = ᡕᡧᡦᡱᡲᡓᡦᡲᡗ
Exemplos:
Calcular as integrais indefinidas indicadas abaixo:
2 cos䙦ᡳ䙧 + ᠩ = −
2 cos䙦2ᡲ䙧 + ᠩ
2䙧 㔅 ․⡲ぐ^ ᡖᡵ
㔅 ․え^ ᡖᡳ =
ln䙦․䙧^
4 ln䙦․䙧^
⡩/⡰ ᡖᡳ =^1
⡱ + ᠩ =^2
㔅 ᡕᡧᡱ䙦ᡶ⡰䙧 ᡶ ᡖᡶ = 㔅 cos䙦ᡳ䙧 㐶
2 㑀 =^
2 㔅 cos䙦ᡳ䙧 ᡖᡳ =
=
⡱ ․ ᡖᡳ =^3 ․ ᡶ⡰ᡖᡶ
1.5. Técnicas de Integração – Integração por Partes
Se ᡘ䙦ᡶ䙧 e ᡙ䙦ᡶ䙧 são funções diferenciáveis, então pela regra do produto:
㐵ᡘ䙦ᡶ䙧. ᡙ䙦ᡶ䙧㐹䖓^ = ᡘ 䖓䙦ᡶ䙧.ᡙ䙦ᡶ䙧 + ᡘ䙦ᡶ䙧. ᡙ䖓䙦ᡶ䙧
Integrando ambos os lados:
㔅㐵ᡘ䙦ᡶ䙧 ᡙ䙦ᡶ䙧㐹′
䖓 ᡖᡶ = 㔅 ᡘ䖓䙦ᡶ䙧 ᡙ䙦ᡶ䙧 ᡖᡶ + 㔅 ᡘ䙦ᡶ䙧 ᡙ䖓䙦ᡶ䙧 ᡖᡶ
Esta fórmula expressa a integral ᔖ ᡳ ᡖᡴ em função de outra integral, ᔖ ᡴ ᡖᡳ. Escolhendo adequadamente ᡳ e ᡖᡴ pode ser mais fácil calcular a 2ª do que a 1ª integral. Quando escolhemos as substituições para ᡳ e para ᡖᡴ, em geral pretendemos que ᡖᡴ seja o fator do integrando mais complicado que se sabia integrar.
Exemplos:
1䙧 㔅 ᡶ ᡱᡗᡦ䙦ᡶ䙧ᡖᡶ
ᡴ = −cos䙦ᡶ䙧
= −ᡶ. cos䙦ᡶ䙧 + ᡱᡗᡦ䙦ᡶ䙧 + ᠩ
2䙧 㔅 ᡰ. 5ぅ^ ᡖᡰ
ᡖᡴ = 5ぅ^ ᡖᡰ
ᔖ ᡖᡴ = ᔖ 5ぅ^ ᡖᡰ
ぅ ln䙦5䙧
㔅 ᡰ. 5ぅ^ ᡖᡰ = ᡰ.
ln䙦5䙧^ − 㔅^
ln䙦5䙧^ ᡖᡰ = ᡰ.^
ln䙦5䙧^ −^
ln䙦5䙧^. 㔅 5
ᡅᡗ ᡳ = ᡘ䙦ᡶ䙧^ ᡗ ᡴ = ᡙ䙦ᡶ䙧^ ᡱãᡧ ᡘᡳᡦçõᡗᡱ ᡖᡡᡘᡗᡰᡗᡦᡕᡡáᡴᡗᡡᡱ, ᡗᡦᡲãᡧ
㔅 ᡘ䙦ᡶ䙧 ᡙ䖓䙦ᡶ䙧 ᡖᡶ = ᡘ䙦ᡶ䙧 ᡙ䙦ᡶ䙧 − 㔅 ᡙ䙦ᡶ䙧 ᡘ䖓䙦ᡶ䙧 ᡖᡶ ᡳ = ᡘ䙦ᡶ䙧^ → ᡖᡳ = ᡘ 䖓䙦ᡶ䙧ᡖᡶ ᡴ = ᡙ䙦ᡶ䙧 → ᡖᡴ = ᡙ䖓^ 䙦ᡶ䙧ᡖᡶ →^ 㔅^ ᡳ^ ᡖᡴ^ =^ ᡳ.^ ᡴ^ −^ 㔅^ ᡴ^ ᡖᡳ
Integração por Partes
1.6. Integral Definida
Seja ᡘ uma função contínua definida no intervalo 䙰ᡓ, ᡔ䙱. Dividindo este intervalo em ᡦ subintervalos de comprimentos iguais ∆ᡶ, a área ᠧ da região sob o gráfico da função pode ser aproximada como sendo o somatório da área dos ᡦ retângulos de comprimento ∆ᡶ e altura ᡘ䙦ᡶ〶 䙧, assim:
Esta aproximação será tanto melhor quanto maior for o número de subdivisões do intervalo.
Define-se a Integral Definida de ᡘ de a para b o seguinte limite:
〩
〨
㐄 lim ぁ→⦘ 㔳 ᡘ䙦ᡶ〶 䙧 ∆ᡶ
ぁ
〶⢀⡩
Observe que:
A integral definida é um número e não uma função.
ᡅᡗ ᡘ䙦ᡶ䙧 㐐 0 ᡓ 㐉 ᡶ 㐉 ᡔ ᡗᡦᡲãᡧ 㔅 ᡘ䙦ᡶ䙧ᡖᡶ 㐐 0
〩
〨
䙦áᡰᡗᡓ ᡓᡕᡡᡥᡓ ᡖᡧ ᡗᡡᡶᡧ ᡶ䙧
ᡅᡗ ᡘ䙦ᡶ䙧 㐉 0 ᡓ 㐉 ᡶ 㐉 ᡔ ᡗᡦᡲãᡧ 㔅 ᡘ䙦ᡶ䙧ᡖᡶ 㐉 0
〩
〨
䙦áᡰᡗᡓ ᡓᡔᡓᡡᡶᡧ ᡖᡧ ᡗᡡᡶᡧ ᡶ䙧
Assim, a integral definida é a área “líquida”, ou seja, é a diferença entre a área sob a curva de uma função que está acima do eixo horizontal ᡶ com a que está abaixo do eixo ᡶ.
〩
〨
〩
〰
〰
〨
Propriedade
〩
〨
y=f ( x )
a (^) b
x
y
c
ᠧ 㐄 㔳 ᡘ䙦ᡶ〶 䙧^ ∆ᡶ
ぁ
〶⢀⡩
Exemplos:
ᠵ䙧 Calcule as integrais definidas indicadas
1䙧 㔅 ᡗ け^ ᡖᡶ
⡱
⡩
A função ᡘ䙦ᡶ䙧 㐄 ᡗ け^ é contínua em [1 , 3䙱. Calculando a antiderivada de ᡘ䙦ᡶ䙧 e considerando a constante de integração nula, tem-se:
ᠲ䙦ᡶ䙧 = 㔅 ᡗ け^ ᡖᡶ = ᡗ け^ 䙦ᡕᡧᡥ ᠩ = 0䙧
Então, pelo teorema fundamental do cálculo, tem-se:
㔅 ᡗ け^ ᡖᡶ = ᠲ䙦ᡶ䙧 㘨
= ᡗ け^ 㘨
⡱
⡩
ᡗ⡱^ − ᡗ⡩^ = ᡗ⡱^ − ᡗ ≅ 17,
⡴
⡱
㔅
⡴
⡱
ln䙦|ᡶ|䙧 㘨
3 㐄^ ln䙦6䙧 − ln䙦3䙧 = ln 㐶
3 㑀 = ln䙦2䙧
⡰
⡩
Calculando a integral indefinida e fazendo a constante de integração ᠩ nula tem-se:
⡰ ᡖᡳ = 2ᡶᡖᡶ
㔅䙦 ᡗ けㄘ. ᡶ䙧ᡖᡶ = 㔅 ᡗえ^ 㐶
Então
⡰
⡩
⡩
⡰
䙦ᡗ⡲^ − ᡗ䙧
ᡅᡗ ᡘ ᡘᡧᡰ ᡕᡧᡦᡲᡡᡦᡳᡓ ᡗᡥ 䙰ᡓ, ᡔ䙱^ ᡗ ᠲ ᡳᡥᡓ ᡓᡦᡲᡡᡖᡗᡰᡡᡴᡓᡖᡓ ᡖᡗ ᡘ, ᠲ䖓^ = ᡘ, ᡗᡦᡲãᡧ
㔅 ᡘ䙦ᡶ䙧ᡖᡶ
〩
〨
Teorema Fundamental do Cálculo
2. Integral em relação a uma das variáveis de funções a mais de uma variável
Seja ᡘ䙦ᡶ, ᡷ䙧 uma função a duas variáveis ᡶ e ᡷ.
Mantendo ᡷ temporariamente constante, podemos calcular:
Integral indefinida de ᡘ em relação a ᡶ:
㔅 ᡘ䙦ᡶ, ᡷ䙧 ᡖᡶ = ᠲ䙦ᡶ, ᡷ䙧 + ᠩ䙦ᡷ䙧^ 䙦 ᠩ pode ser função de ᡷ䙧
Integral definida de ᡘ em relação a ᡶ com ᡶ variando ᡶ = ᡓ até ᡶ = ᡔ
㔅 ᡘ䙦ᡶ, ᡷ䙧ᡖᡶ
〩
〨
Mantendo ᡶ temporariamente constante, podemos calcular:
Integral indefinida de ᡘ em relação a ᡷ:
㔅 ᡘ䙦ᡶ, ᡷ䙧 ᡖᡷ = ᠲ䙦ᡶ, ᡷ䙧 + ᠩ䙦ᡶ䙧 䙦ᠩ pode ser função de ᡶ䙧
Integral definida de ᡘ em relação a ᡷ com ᡷ variando ᡷ = ᡕ até ᡷ = ᡖ
㔅 ᡘ䙦ᡶ, ᡷ䙧ᡖᡷ
〱
〰
Exemplos:
1䙧 㔅 ᡶ⡰^ ᡷ⡱^ ᡖᡶ = ᡷ⡱^ 㔅 ᡶ⡰^ ᡖᡶ =
2䙧 㔅 ᡶ⡰^ ᡷ⡱^ ᡖᡷ = ᡶ⡰^ 㔅 ᡷ⡱^ ᡖᡷ =
3䙧 㔅 ᡶ cos䙦ᡷ䙧 ᡖᡶ = cos䙦ᡷ䙧 㔅 ᡶ ᡖᡶ =
cos䙦ᡷ䙧 ᡶ⡰ 2 + ᠩ䙦ᡷ䙧
4䙧 㔅 ᡶ cos䙦ᡷ䙧 ᡖᡷ = ᡶ 㔅 cos䙦ᡷ䙧 ᡖᡷ = ᡶ ᡱᡗᡦ䙦ᡷ䙧 + ᠩ䙦ᡶ䙧
⡰
⡩
⡰
⡩
ᡖᡶ + ᡷ⡰^ 㔅 ᡶ
⡰
⡩
ᡖᡶ = 䙸ln䙦|ᡶ|䙧 +
x= x=1 =
= 䙦ln䙦2䙧 + 2 ᡷ⡰䙧 − 䙸ln䙦1䙧 +
2 䙹 = ln䙦2䙧 +
⡩
⡨
⡰
⡩
⡰
⡩
y= y=0 㐄
げㄙ
⥶/⡰
ᡖᡶ = ᡷ⡰^ 㔅 ᡱᡗᡦ䙦ᡶ䙧
げㄙ
⥶/⡰
ᡖᡶ = ᡷ⡰^ 㐨−ᡕᡧᡱ䙦ᡶ䙧 㘨
x=y^3 x=π/2㐲 =
= ᡷ⡰䙦−cos䙦ᡷ⡱䙧 + cos䙦․ 2⁄ 䙧䙧 = −ᡷ⡰cos䙦ᡷ⡱䙧
8䙧 㔅 ᡷ⡰^ ᡱᡗᡦ䙦ᡶ䙧
け
⡩
け
⡩
y=x y=1䚁 =
ᡱᡗᡦ䙦ᡶ䙧䙦ᡶ⡱^ − 1䙧
げㄘ
⤢⤤䙦げ䙧
げㄘ
⤢⤤䙦げ䙧
Calculando ᔖ ᡗ けげ^ ᡖᡶ pelo método da substituição, com ᡷ temporariamente constante
㐠
㔅 ᡗ けげ^ ᡖᡶ = 㔅
Assim,
㔅 䙦ᡷ ᡗ けげ䙧
げㄘ
⤢⤤䙦げ䙧
x=y^2 x=ln(y) =^ ᡗ^ けげ^ 㘨
x=y^2 x=ln(y)
= ᡗげㄙ^ − ᡗ⤢⤤䙦げ䙧げ^ = ᡗげㄙ^ − ᡷげ
As integrais 㔅 㔅 ᡘ䙦ᡶ, ᡷ䙧
〩䙦げ䙧
〨䙦げ䙧
〱
〰
ᡖᡷ e 㔅 㔅 ᡘ䙦ᡶ, ᡷ䙧
〱䙦け䙧
〰䙦け䙧
〩
〨
ᡖᡶ são chamadas de
integrais repetidas.
Técnicas para o cálculo das integrais repetidas
As integrais são calculadas na ordem que as diferenciais aparecem, ou seja, da esquerda para a direita.
Exemplos:
1䙧 㔅 㔅 ᡶ⡰^ ᡷ⡱
⡰
⡨
⡰
⡹⡩
ᡖᡶ = 㔅 䚀㔅 ᡶ⡰^ ᡷ⡱
⡰
⡨
⡰
⡹⡩
ᡖᡶ = 㔅 ᡶ⡰^ 䚀㔅 ᡷ⡱
⡰
⡨
⡰
⡹⡩
= 㔅 ᡶ⡰^ 䚀䙸
y= y=0䚁
⡰
⡹⡩
ᡖᡶ = 㔅 ᡶ⡰^ 䚀䙸
y= y=0䚁
⡰
⡹⡩
⡰
⡹⡩
⡰
⡹⡩
x= x=-1 = 4 䙸
2䙧 㔅 㔅 䙦ᡷ cos䙦ᡶ䙧䙧
ゕ ゕ ⡰
⡰
⡨
ᡖᡷ = 㔅 㐩㔅 䙦ᡷ cos䙦ᡶ䙧䙧
ゕ ゕ ⡰
⡰
⡨
ᡖᡷ = 㔅 ᡷ 㐩㔅 cos䙦ᡶ䙧
ゕ ゕ ⡰
⡰
⡨
x=π x = π/
⡰
⡨
⡰
⡨
⡰
⡨
⡰
⡨
y= y=0 = − 䙸
⡴え
⡲え
⡩
⡨
⡴え
⡲え
⡩
⡨
ᡖᡳ = 㔅 ᡗえ^ 䚀㔅 ᡗぉ
⡴え
⡲え
⡩
⡨
= 㔅 ᡗえ^ 䙴ᡗぉ^ 䚘
v=6u v=4u䙵
⡩
⡨
ᡖᡳ = 㔅 ᡗえ䙰ᡗ⡴え^ − ᡗ⡲え䙱
⡩
⡨
ᡖᡳ = 㔅 䙦ᡗ⡵え^ − ᡗ⡳え䙧
⡩
⡨
⡩
⡨
⡩
⡨
u= u=0 − 䙸
u= u=0 = 䙸
4. Integral Dupla sobre Regiões Retangulares
Seja uma função ᡸ 㐄 ᡘ䙦ᡶ, ᡷ䙧 a duas variáveis definida numa região retangular ᡄ onde
ᡄ 㐄 [ᡓ, ᡔ䙱 㐀 [ᡕ, ᡖ䙱 㐄 䙨䙦ᡶ, ᡷ䙧 ∈ ጷ⡰^ | ᡓ 㐉 ᡶ 㐉 ᡔ ᡗ ᡕ 㐉 ᡷ 㐉 ᡖ䙩
Sejam ᡥ e ᡦ, respectivamente, o número de subdivisões em ᡶ e ᡷ. Assim, o domínio será subdividido em ᡥ. ᡦ sub-retângulos de áreas iguais a ∆ᠧ 㐄 ∆ᡶ ∆ᡷ.
Seja 䙦ᡶ〶〷∗^ ,ᡷ〶〷∗^ 䙧 um ponto de um sub-domínio ᡄ〶〷, 1 㐉 ᡡ 㐉 ᡥ ᡗ 1 㐉 ᡢ 㐉 ᡦ. A soma de Riemann é dada por
Se for tomado o limite deste somatório quando ᡥ ᡗ ᡦ → ∞ obtemos a integral dupla de ᡘ sobre a região ᡄ.
㔉 ᡘ䙦ᡶ, ᡷ䙧 〙
ᡖᠧ 㐄 (^) ,ぁ→⦘lim 㔳 㔳 ᡘ㐵ᡶ〶〷∗^ , ᡶ〶〷∗^ 㐹 ∆ᠧ
ぁ
〷⢀⡩
〶⢀⡩
Se ᡘ䙦ᡶ, ᡷ䙧 㐈 0 para todo o domínio ᡄ, a integral dupla representa o volume abaixo do gráfico da função e acima do domínio ᡄ. Se ᡘ䙦ᡶ, ᡷ䙧 㐇 0 em todo o domínio a integral dupla é negativa e seu módulo representa o volume acima do gráfico de ᡘ e abaixo do domínio.
Se ᡘ䙦ᡶ, ᡷ䙧 㐄 1 então 㔉 ᡘ䙦ᡶ, ᡷ䙧 〙
〙
Assim,a integral dupla representa o volume de um cilindro de altura igual a 1 e base ᡄ o que corresponde à área da região ᡄ.
㔳 㔳 ᡘ㐵ᡶ〶〷^ ∗^ ,ᡶ〶〷^ ∗^ 㐹 ∆ᠧ
ぁ
〷⢀⡩
〶⢀⡩
Como a função é sempre negativa no domínio o módulo da integral dupla, ou seja, 1/6 representa o volume do sólido que está acima do gráfico da função e abaixo da região ᡄ. 3䙧 Encontre o volume do sólido delimitado pelo parabolóide ᡸ ㎗ ᡶ⡰^ ㎗ 2ᡷ⡰^ 㐄 16, os planos ᡶ 㐄 2 e ᡷ 㐄 2, e os três planos coordenados.
〙
onde ᡘ䙦ᡶ, ᡷ䙧 㐄 ᡸ 㐄 16 ㎘ ᡶ⡰^ ㎘ 2ᡷ⡰
㔉䙦16 ㎘ ᡶ⡰^ ㎘ 2ᡷ⡰䙧 ᡖᠧ
〙
onde
ᡄ 㐄 䙰0,2䙱 㐀 䙰0,2䙱
㔅 䚀㔅 䙦16 ㎘ ᡶ⡰^ ㎘ 2ᡷ⡰䙧
け⢀⡰
け⢀⡨
げ⢀⡰
げ⢀⡨
け⢀⡰
け⢀⡨
x= x=0䚁
げ⢀⡰
げ⢀⡨
げ⢀⡰
げ⢀⡨
げ⢀⡰
げ⢀⡨
y= y=0 㐄
㐄 㐶
3 㐄 48 u. v.
- Encontre a área de um círculo de raio R
áᡰᡗᡓ 㐄 㔉 ᡖᠧ 〙 ᡖᠧ 㐄 ᡰ ᡖ‖ ᡖᡰ
ᡄ 㐄 䙨䙦ᡰ, ‖䙧| 0 㐉 ᡰ 㐉 ᡄ , 0 㐉 ‖ 㐉 2․䙩
ぅ⢀〙
ぅ⢀⡨
ょ⢀⡰ゕ
ょ⢀⡨
r=R r=0䚁 ᡖ‖
ょ⢀⡰ゕ
ょ⢀⡨
ょ⢀⡰ゕ
ょ⢀⡨
ょ⢀⡰ゕ
ょ⢀⡨
ょ⢀⡰ゕ
ょ⢀⡨
θ=2π θ=0 䙵 㐄
‖
ᡄ^ ᡰ
