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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ
ELETRICIDADE E APLICAÇÕES
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ALUNO: ...................................................................................................................... ...
ATIVIDADE DE ESTUDO 1 - CARGA ELÉTRICA E FORÇA ELÉTRICA
1. Introdução Os fenômenos associados à eletricidade (e também ao magnetismo) são conhecidos desde a antiguidade. Na Grécia já se tinha conhecimento de que, ao se atritar âmbar, que é uma resina vegetal fóssil, é possível atrair pequenos objetos, como palha e semente. O âmbar por produzir este efeito de atração de natureza elétrica, foi o que deu origem a palavra elektron , que significa âmbar. Esse fenômeno está profundamente relacionado à estrutura da matéria, que é composta por átomos. 2. Átomo Toda matéria que ocupa lugar no espaço, é composta por moléculas, e essas são constituídas por átomos. Os átomos, por sua vez, são constituídos por partículas subatômicas: elétrons: cargas negativas (–); prótons: cargas positivas (+); nêutrons: não apresenta cargas. A estrutura atômica é formada por um núcleo e uma nuvem eletrônica, conforme mostra a figura ao lado. O núcleo, composto por prótons e nêutrons, tem dimensões muito pequenas se comparadas com as da nuvem de elétrons que se movimentam ao seu redor. Os elétrons das camadas mais externas (de maior energia) estão fracamente ligados ao núcleo e são denominados elétrons livres. Estes elétrons podem interagir com outros átomos. O elétron gira sobre seu eixo ( spin eletrônico) e ao redor do núcleo de um átomo (rotação orbital), em trajetórias de camadas concêntricas. Em um átomo em equilíbrio, o número de prótons (NP, cargas positivas) é igual ao número de elétrons (NE, cargas negativas), ou seja: NP = NE Quando um elétron interage com um átomo em equilíbrio, ele altera a carga deste átomo: Se um elétron for cedido a este átomo, sua carga será negativa. Se um elétron se desprender do átomo, sua carga será positiva. Um corpo é dito carregado quando apresenta número de prótons diferente do número de elétrons. O próton e o elétron possuem cargas com o mesmo valor, porém diferem em sinal. A carga do elétron é – e e a do próton +e , sendo e a carga elementar. A carga elementar é equivalente a 1,6 02 ×1 0 -^19 C. Ressaltamos que a Física de Partículas Elementares mostrou que as partículas atômicas que conhecemos como prótons e nêutrons, são formadas por partículas menores, os quarks, que têm cargas fracionarias bem definidas em ±1/3 e e ±2/3 e da carga do elétron. No entanto, entre essas partículas age a força nuclear forte, terceiro tipo de força fundamental da natureza, que não permite que elas sejam encontradas livres, fora do próton, nêutron, etc. Assim, nas escalas de tamanho atômicas ou maiores, observam-se prótons, nêutrons e outras partículas que possuem cargas elétricas que são múltiplos inteiros da carga elementar. Leitura Complementar: Eletromagnetismo, Kleber Machado, vol 1. Figura 1 – Modelo atômico Figura 2 – Quarks
3. Carga Elétrica A carga elétrica é uma propriedade intrínseca da matéria, da mesma forma que a massa. As cargas elétricas em nível atômico ou níveis de dimensões maiores, só existem em valores múltiplos inteiros da carga do elétron ou do próton não sendo possíveis valores fracionários. Desta forma, dizemos que a carga é discreta, é quantizada. Como já citado acima, a carga elementar vale e = 1 , 602 × 10 -^19 C, a carga de elétron é – e e do próton +e. A unidade utilizada para medir cargas elétricas no SI é o Coulomb (C). Todas as cargas positivas e negativas 𝑞 são da forma: q=en ( eq. 1.1) onde n é o número de cargas em excesso n = ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 … Quando atritamos dois corpos ocorre uma troca de elétrons de maneira que um deles acaba ficando com falta de elétrons e com carga elétrica positiva, o outro com excesso de elétrons e com carga elétrica negativa. A soma das cargas dos dois corpos continua a mesma, ou seja, a carga total se conserva, o que implica dizer que a carga elétrica do universo é conservada. 4. Condutores e Isolantes O entendimento da constituição da matéria, e o domínio de técnicas experimentais, foram fundamentais para sedimentar a teoria do Eletromagnetismo. Mais especificamente em relação à Eletrostática, é importante distinguir a natureza da matéria em relação ao processo de condução de eletricidade. De forma geral, os materiais podem ser separados em três classes: condutores, isolantes (ou dielétricos) e semicondutores. Como as cargas positivas (prótons) estão presas ao núcleo, somente os elétrons podem se movimentar. Nos metais, em geral, os elétrons têm grande facilidade de se movimentar livremente pois se encontram mais afastados do núcleo (menor atração) e sofrem força repulsiva entre os próprios elétrons. Esses elétrons formam, então, uma “nuvem eletrônica” que pode movimentar-se livremente pelo interior da matéria. Materiais com essa característica são denominados de condutores. Já em materiais como o vidro, a madeira e o plástico, os elétrons estão mais fortemente ligados ao núcleo e não podem se deslocar livremente. Estes materiais são os isolantes. Os materiais semicondutores, em determinadas condições, podem se comportar como condutores ou isolantes. 5. Processos de Eletrização A ideia da eletrização é muito simples. Se a matéria é constituída de átomos e os átomos são eletricamente neutros, todo corpo, a princípio, é eletricamente neutro, de forma que para eletrizar um corpo é necessário fazer com que seus átomos tenham um número de elétrons diferente do número de prótons, ou seja, é necessário retirar elétrons desse corpo ou ceder elétrons para ele. Existem três processos básicos de eletrização: por atrito, por indução e por contato. Por atrito Quando atritamos dois corpos neutros, ocorre transferência de elétrons entre eles. O corpo que perde elétrons fica eletrizado positivamente e o corpo que ganha os elétrons fica eletrizado negativamente. Perderá elétrons o átomo que exercer menor força sobre eles. Assim, um mesmo corpo poderá se eletrizar positivamente ou negativamente, dependendo do outro corpo com o qual for atritado. É possível determinar a carga final dos corpos atritados utilizando a série triboelétrica, sendo uma parte desta da série descrita na figura 3. Ex.: Quando o vidro é atritado com a seda, o vidro fica positivo e a seda negativa, mas a mesma seda fica positiva ao ser atritada com o aço, que fica negativo. Os isolantes são mais facilmente eletrizados por atrito pois, devido à dificuldade dos elétrons se movimentarem nesse tipo de material, as cargas em excesso ficam concentradas na região atritada. Já nos condutores é mais difícil manter a carga em excesso concentrada numa região, devido à facilidade de movimentação. Figura 3 – Série triboelétrica Figura 4 – Eletrização por atrito
6. Conservação de Cargas Considerando os processos de eletrização, cargas elétricas não podem ser criadas ou destruídas, apenas transferidas entre os corpos. Por exemplo, quando dois corpos de cargas iniciais q ₁ e q ₂ entram em contato e trocam cargas, terminando o processo com cargas q ₁ ´ e q ₂ ´ , a soma das cargas iniciais é sempre igual à soma das cargas finais: q ₁ + q ₂ = q ₁ ´ + q ₂ ´ (eq. 1.2) 7. Força Elétrica: A lei de Coulomb determina a magnitude da força de interação (atração ou repulsão) entre duas cargas elétricas puntiformes ( corpos com dimensões desprezíveis ). Essa força de interação é considerada uma força de campo, já que não é necessário contato entre as cargas envolvidas, assim como ocorre na força gravitacional entre massas. Quando uma partícula com determinada carga elétrica é colocada na presença de outra também carregada elas irão interagir através de uma força que pode ser atrativa ou repulsiva em função do sinal das cargas que possuírem. Os experimentos realizados por Charles Coulomb por volta de 1784 propiciaram resultados que lhe permitiram tirar conclusões a respeito das características da força de interação eletrostática entre corpos carregados. Estas conclusões são conhecidas como Lei de Coulomb : A força que uma carga elétrica puntiforme exerce sobre outra carga elétrica puntiforme possui a direção da reta que une as duas cargas. O módulo dessa força é diretamente proporcional ao produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. A força é atrativa se as cargas possuírem sinais contrários e repulsiva se tiverem o mesmo sinal. A força eletrostática a que a partícula 1 está submetida pode ser descrita em termos de um vetor unitário na direção da reta que liga as duas partículas. Essa força é dada por:
𝑟^2
𝑟̂ (eq. 1.3)
Onde: 𝑟̂ é um vetor unitário na direção da reta que liga as duas partículas, 𝑟 é a distância entre as partículas e 𝑘 é a constante eletrostática (ou constante de Coulomb) k 0 = 8,99× 109 𝑁𝑚^2 𝐶^2 , e varia com o meio e o sistema de unidades utilizados. Por motivos históricos a constante 𝑘 0 também pode ser escrita como 1 4 𝜋Ɛ 0.^ Nesse caso o módulo da força na lei de Coulomb se torna:
𝑟^2
(eq. 1.4) A força eletrostática obedece ao princípio da superposição, ou seja, em um sistema de n partículas carregadas, as partículas interagem independentes aos pares e a força resultante que age sobre uma das partículas, por exemplo, a partícula 1 é dada pela soma vetorial: 𝐹⃗𝑅, 1 = 𝐹⃗ 12 + 𝐹⃗ 13 + ⋯. + 𝐹⃗ 1 𝑛 (eq. 1.5) Figura 7 – Balança de Torção Figura 8 – Princípio da superposição
Exemplo 1 Num átomo de hidrogênio a separação média entre o elétron e o próton é de aproximadamente 5 , 3 × 10 −^11 m. Sendo a massa do elétron 𝑚𝑒 = 9 , 1 × 10 −^31 𝑘𝑔, determinar: a) o módulo da força eletrostática de atração do protón sobre o elétron: 𝐹 = 8 , 99 × 109. 1 , 6 × 10 −^19. 1 , 6 × 10 −^19 ( 5 , 3 × 10 −^11 )^2 b) o módulo da aceleração adquirida pelo elétron: F = ma 𝑎 =
8 , 2 × 10 −^8
9 , 1 × 10 −^31
Exemplo 2 A carga q 1 = +25C está na origem, q 2 = – 15 C está localizada em (2,0;0) e a carga q 3 = +20C está em (2,0; 2 ,0) com as distâncias dadas em metros. Determine a resultante das forças na partícula eletrizada 1. Cálculo do módulo de F 12 𝐹 12 = 8 , 99 × 109. 25 × 10 −^6. 15 × 10 −^6 ( 2 )^2 𝐹^12 =^0 ,^84 𝑁^ (Força atrativa) Vetor 𝐹⃗ 12 𝐹⃗ 12 = 0,84𝑖̂ N (na partícula 1) Cálculo do módulo de F 13 Distância d entre q 3 e q 1 𝑑^2 = 22 + 22 d = 2 , 8 m 𝐹 13 = 8 , 99 × 109. 25 × 10 −^6. 20 × 10 −^6 ( 2 , 8 )^2 𝐹^13 =^0 ,^57 𝑁^ (Força repulsiva) Vetor 𝐹⃗ 13 Direção: 225o^ em relação ao semi-eixo positivo x (pois a posição das cargas determina um quadrado, assim: 𝐹⃗ 13 = (0,57cos 225 o^ 𝑖̂ + 0, 57 sen 225 o^ 𝑗̂ ) N 𝐹⃗ 13 = (−0,40𝑖 ̂−0,40𝑗̂ ) N Força resultante em 1: 𝐹⃗𝑅, 1 = 𝐹⃗ 12 + 𝐹⃗ 13 𝐹⃗𝑅, 1 = (0,84 𝑖̂ )+(− 0 , 40 𝑖̂ − 0 , 40 𝑗̂ ) 𝐹⃗𝑅, 1 = (0,44𝑖̂ – 0,40𝑗 ̂) N Desafio:
- Represente na figura a força entre as cargas 2 e 3
- Esboce na figura a força resultante sobre cada carga
- Determine a resultante das forças na partícula q 3. Aplique seu conhecimento! Uma carga de + 5 , 0 𝐶 está localizada no eixo 𝑦 em 𝑦 = 3 , 0 𝑐𝑚 e uma segunda carga de – 5 , 0 𝐶 também sobre o eixo 𝑦 em 𝑦 = − 3 , 0 𝑐𝑚. Calcular a resultante das forças que atuam sobre uma carga de + 2 , 0 𝐶 no eixo 𝑥 em 𝑥 = 8 , 0 𝑐𝑚. 𝑎 = 9,0×10^22 m/s^2
𝐹 = 8,2× 10 -^8 N
partículas, à direita delas ou entre elas? (b) A carga da terceira partícula deve ser positiva ou negativa? (c) O equilíbrio é estável ou instável? PROBLEMAS INTRODUTÓRIOS – RA
- Uma bola de cortiça está carregada com uma carga de +1,0 nC. Qual é a diferença existente entre o número de prótons e elétrons?
- Qual é a carga elétrica de um corpo que possui 2980 prótons e 3010 elétrons?
- Calcule o módulo da força eletrostática que dois quarks do tipo up exercem entre si no interior de um próton se estiverem separados por uma distância de 0 , 90 𝑓m.
- A carga q 1 = +25 C está na origem, q 2 = - 15 C está localizada em (2,0;0) e a carga q 0 = +20 C está em (2,0; 2 ,0) com as distâncias dadas em metros. Encontrar a resultante das forças sobre a carga q 0.
- A Fig. mostra quatro esferas condutoras iguais, que estão separadas por grandes distâncias. 𝐴 esfera 𝑊 (que estava inicialmente neutra) é colocada em contato com a esfera A e depois as esferas são novamente separadas. Em seguida, a esfera 𝑊 é colocada em contato com a esfera 𝐵 (que possuía inicialmente uma carga de – 32 𝑒) e depois as esferas são separadas. Finalmente, a esfera 𝑊 é colocada em contato com a esfera 𝐶 (que possuía inicialmente uma carga de + 48 𝑒) e depois as esferas são separadas. A carga final da esfera W é + 18 𝑒. Qual era a carga inicial da esfera A? PROBLEMAS ESPECÍFICOS – RA
- Duas esferas condutoras iguais, mantidas fixas a uma distância, entre os centros, de 50,0 cm, se atraem mutuamente com uma força eletrostática de 0,108 N. Quando são ligadas por um fio condutor, de diâmetro desprezível, as esferas passam a se repelir com uma força de 0,0360 N. Supondo que a carga total das esferas era inicialmente positiva, determine: (a) a carga negativa inicial de uma das esferas e (b) a carga positiva inicial da outra esfera.
- As cargas e coordenadas de duas partículas mantidas fixas no plano 𝑥𝑦 são q 1 = +3,0 μC, x 1 = 3,5 cm, y 1 = 0,50 cm e q 2 = – 4, μC, x 2 = – 2,0 cm, y 2 = 1,5 cm. Determine (a) o módulo e (b) a direção da força eletrostática que a partícula 1 exerce sobre a partícula. Determine também (c) a coordenada 𝑥 e (d) a coordenada 𝑦 de uma terceira partícula de carga q 3 = +4,0 μC para que a força exercida sobre a partícula 2 seja nula.
- Na Figura ao lado, as cargas das partículas são q 1 = – q 2 = 100 nC e q 3 = – q 4 = 200 nC. O lado do quadrado é a = 5,0 cm. Determine (a) a componente 𝑥 e (b) a componente 𝑦 da força eletrostática a que está submetida a partícula 3.
- Na Figura ao lado, três esferas condutoras iguais são dispostas de modo a formarem um triângulo equilátero de lado 𝑑 = 20 , 0 𝑐𝑚. Os raios das esferas são muito menores que 𝑑. As cargas das esferas são qA = – 2,00 nC, qB = – 4,00 nC e qC = +8,00 nC. (a) Qual é o módulo da força eletrostática entre as esferas 𝐴 e 𝐶? Em seguida, é executado o seguinte procedimento: 𝐴 e 𝐵 são ligadas por um fio fino, que depois é removido; 𝐵 é ligada à terra pelo fio, que depois é removido; 𝐵 e 𝐶 são ligadas pelo fio, que depois é removido. Determine o novo valor (b) do módulo da força eletrostática entre as esferas 𝐴 e 𝐶; (c) do módulo da força eletrostática entre as esferas 𝐵 e 𝐶.
- Na Figura ao lado, quatro partículas são mantidas fixas no eixo x, porém separadas por uma distância 𝑑 = 2 , 00 𝑐𝑚. As cargas das partículas são q 1 = +2 𝑒, q 2 = – 𝑒, q 3 = +𝑒 e q 4 = +4𝑒, em que 𝑒 =1,60×10–^19 C. Usando a notação dos vetores unitários, determine a força eletrostática a que está submetida (a) a partícula 1 e (b) a partícula 2.
- Na Figura ao lado, a partícula 1, de carga +1,0 μC, e a partícula 2, de carga – 3,0 μC, são mantidas a uma distância 𝐿 = 10 , 0 𝑐𝑚 uma da outra, em um eixo 𝑥. Determine (a) a coordenada 𝑥 e (b) a coordenada 𝑦 de uma partícula 3 de carga desconhecida q 3 para que a força total exercida sobre ela pelas partículas 1 e 2 seja nula.
- Três partículas carregadas formam um triângulo: a partícula 1, com uma carga Q 1 = 80,0 nC, está no ponto (0; 3,00 mm); a partícula 2, com uma carga Q 2 , está no ponto (0; – 3,00 mm), e a partícula 3, com uma carga q = 18,0 nC, está no ponto (4, mm; 0). Na notação dos vetores unitários, qual é a força eletrostática exercida sobre a partícula 3 pelas outras duas partículas (a) se Q 2 = 80,0 nC e (b) se Q 2 = – 80,0 nC?
- Duas cargas pontuais de 30 nC e – 40 nC são mantidas fixas no eixo 𝑥, na origem e no ponto 𝑥 = 72 𝑐𝑚, respectivamente. Uma partícula com uma carga de 42 μC é liberada a partir do repouso no ponto 𝑥 = 28 𝑐𝑚. Se a aceleração inicial da partícula é 100 km/s^2 , qual é a massa da partícula?
- Duas cargas puntiformes de 5,0 g, penduradas por fios de 1,0 m de comprimento, se repelem após terem sido carregadas com 100 nC cada uma, como mostrado na figura. Quanto vale o ângulo ? Considere que o ângulo seja pequeno.
- A Fig. (a) mostra três partículas carregadas. As partículas 1 e 2 são mantidas fixas em um eixo 𝑥. O valor absoluto da carga da partícula 1 é |q 1 | = 8,00𝑒. A partícula 3, de carga q 3 = +8,0𝑒, que estava inicialmente no eixo 𝑥, nas vizinhanças da partícula 2, é deslocada no sentido positivo do eixo 𝑥. Em consequência, a força eletrostática total 𝐹⃗ 2 𝑡𝑜𝑡, a que está sujeita a partícula 2, varia. A Fig. (b) mostra a componente 𝑥 da força em função da coordenada 𝑥 da partícula 3. A escala do eixo 𝑥 é definida por 𝑥𝑠 = 0 , 80 𝑚. A curva possui uma assíntota 𝐹 2 𝑡𝑜𝑡, = 1,5×10–^25 N para 𝑥 → ∞. Determine o valor da carga q 2 da partícula 2, em unidades de 𝑒, incluindo o sinal. APLICAÇÕES – RA1/RA
- A população mundial hoje gira em torno de 7 bilhões de pessoas e até meados do século XXI deverá atingir 10 bilhões. De acordo com os cenários escolhidos para a procura energética, o consumo da energia primária mundial poderá atingir duas a três vezes o consumo atual. Em 1990, o consumo de energia primária por habitante e por ano era de 5,1 0 TEP nos países industrializados e apenas 10% nos países em vias de desenvolvimento. 1TEP (Tonelada Equivalente de Petróleo) é a unidade de medição de consumo de energia e equivale a 10×10^9 cal. 1BEP (Barril Equivalente de Petróleo), variação da TEP, equivale a 1,45×10^9 cal. Ou ainda que: Grupo de Países Por Habitante (TEP/ano) 1990 2050 Normal Baixa Comunidade Europeia 5, 2 5, 2 2, 6 Países do Leste 4, 4 4, 4 2, 2 Países em vias de desenvolvimento
Mundo (total) 1 , 5 2, 0 1, 2 1 TEP = 7,143BEP
de campo elétrico irá exercer essa força sobre o elétron? Esta é a intensidade do campo de ruptura? d) Suponha que um elétron livre no ar esteja a 1,0 cm de distância de uma carga puntiforme. Qual é o valor mínimo, qmín, desta carga puntiforme que causa a ruptura elétrica do ar e gera uma centelha? GABARITO DOS PROBLEMAS 1) Δ = 6,2 × 109 elétrons a menos 2) 𝑞 = − 4,8 × 10 -^18 _C;
- F = 1,27_ × 102 N 4) 𝐹⃗⃗⃗⃗𝑅⃗ = (0,40 𝑖̂ – 0,28 𝑗̂ _) N
- qA = +1 6 e
- a) q 2 =_ − 1,00 C; b) q 2 = 3,00 _C
- a) F 21 = 35 N; b) θ = 10º; c) x 3 =_ − _8,4 cm; d) y 3 = 2,7 cm
- a) F3x = 0,17 N; b) F3y =_ − _0,046 N
- a) FAC = 3,60_ N; b) FAC = 2,70 N; c) FBC = 3,60 _N
- a)_ 𝐹⃗ 1 = ( 3 , 52 × 10 −^25 𝑁)𝑖̂ _; b) Zero
- a) 2,72 L; b) Zero
- a)_ 𝐹⃗⃗⃗ 3 ⃗ = ( 0 , 829 𝑁)𝑖̂ ; b) 𝐹⃗⃗⃗ 3 ⃗ = −( 0 , 621 𝑁)𝑗̂ 13) m = 2,2×10-^6 _kg
- θ = 4,4°
- q = +13e
- a) Prod ≈ 2,07_ × _105 BEP; b) F = 230 N
- a) t = 2,6 h; b) P = 2,1_ × 10 -^13 _W
- rmín = 46 fm
- q = 33 nC_
20) a) a = 1,1 × 1018 m/s^2 ; b) F = 1,0 × 10 -^12 N; c) E = 6, 3 × 106 N/C; d) q = 68 nC
REFERÊNCIA
HALLIDAY, David, RESNICK, Robert, WALKER, Jearl, Fundamentos de Física , vol. 3 , 9 ª ed., Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora S/A, 2015. TIPLER, Paul A. Física , vol. 2, 6ª ed., Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2014 BAUER, W.; WESTFALL, G.D.; DIAS, H. Física para Universitários , vol. 3, 1ª ed., São Paulo: McGraw-Hill, 2012. MACHADO, Kleber D., Eletromagnetismo , vol. 1, 1ª ed., Ponta Grossa: Toda a Palavra, 201 2.
