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Física Geral III – LISTA DO CAPÍTULO 25
- Duas esferas condutoras iguais, mantidas fixas, atraem-se mutuamente com uma força de 0,108 𝑁 quando a distância entre os centros é 50,0 𝑐𝑚. As esferas são ligadas por um fio condutor de diâmetro desprezível. Quando o fio é removido, as esferas se repelem com uma força de 0,0360 𝑁. Supondo que a carga total das esferas era inicialmente positiva, determine: (a) a carga negativa inicial de uma das esferas; (b) a carga positiva inicial da outra esfera. 𝐹 = 0,108 𝑁, 𝑎𝑡𝑟𝑎çã𝑜 +𝑞𝑇 = 𝑞 1 − 𝑞 2 𝑟 = 0,5 𝑚 𝐹′^ = 0,0360 𝑁, 𝑟𝑒𝑝𝑢𝑙𝑠ã𝑜
Antes de serem ligadas pelo fio condutor:
𝐹 = 𝐾
𝑟^2 ⇒ 0,108 = 9 × 10
9 𝑞^1 𝑞^2
(0,5)^2 ⇒ 𝑞^1 𝑞^2 = 3 × 10
Após serem ligadas pelo fio condutor: 𝑞 1 − 𝑞 2 2 = 𝑄 Há uma redistribuição de cargas, e as duas esferas ficam carregadas com a mesma carga.
𝐹′^ = 𝐾
𝑟^2 ⇒ 0,0360 = 9 × 10
2 (0,5)^2 ⇒ 𝑄
2 = 1 × 10−12𝐶 2
𝑄 = 1 × 10−6𝐶
2 = 1 × 10
−6 𝐶 ⇒ 𝑞 1 − 𝑞 2 = 2 × 10−6 𝐶
𝑞 1 = 2 × 10−6^ + 𝑞 2
𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒: 𝑞 1 𝑞 2 = 3 × 10−
(2 × 10−6^ + 𝑞 2 )𝑞 2 = 3 × 10−
𝑞 22 + 2 × 10−6𝑞 2 − 3 × 10−12^ = 0
−2 × 10−6^ ± √(2 × 10−6)^2 − 4(3 × 10−12)
−2 × 10−6^ ± √4 × 10−12^ + 12 × 10−
−2 × 10−6^ ± √16 × 10−
−2 × 10−6^ + 4 × 10−
2 = 1 × 10
−
𝑞 2 ′^ =
−2 × 10−6^ − 4 × 10−
2 = −3 × 10
− 𝑞 1 − 𝑞 2 = 2 × 10−6^ 𝐶
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞 2 = 1 × 10−6𝐶 𝑞 1 − 1 × 10−6𝐶 = 2 × 10−6^ 𝐶 → 𝑞 1 = 3 × 10−6^ 𝐶
𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 ⇒ 𝑞𝑇 = 𝑞 1 − 𝑞 2 , 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, |𝑞 1 | > |𝑞 2 |
Cinco cargas iguais a 𝑄 são igualmente espaçadas em uma semicircunferência de raio 𝑅. Determine a força atuante sobre uma carga 𝑞 localizada no centro da semicircunferência.
Os vértices de um hexágono regular têm três cargas positivas 𝑄 e três cargas negativas −𝑄. Encontrar a força elétrica sobre uma carga de prova 𝑞 colocada no centro do hexágono quando as seis cargas são arranjadas em diferentes combinações. Os lados do hexágono têm 3,0 𝑐𝑚 de comprimento, a carga 𝑄 é de 5,0 × 10−6^ 𝐶 e a carga q é de 2,0 × 10−9^ 𝐶.
𝐹+ = 𝑘
𝑄𝑞 𝑟^2
𝐹− = 𝑘 𝑄𝑞 𝑟 2
𝐹𝐴 = 𝑘 𝑄𝑞 𝑟 2 + 𝑘 𝑄𝑞 𝑟 2 = 2 𝑘 𝑄𝑞 𝑟 2
𝐹 1 𝑥 = 𝐹𝐴 cos 𝜃
𝐹( 1 + 2 )𝑥 = 2 𝐹𝐴 cos 𝜃 = 4 𝑘
𝑄𝑞 𝑟^2 cos^ 𝜃
𝐹 = 𝐹( 1 + 2 )𝑥 − 𝐹𝐴 = 4 𝑘 𝑄𝑞 𝑟 2 cos 𝜃 − 2 𝑘 𝑄𝑞 𝑟 2
= 4 𝑘
𝑄𝑞 𝑟^2 cos^ 60°^ −^2 𝑘^
𝑄𝑞 𝑟^2 = 4 𝑘
𝑄𝑞 𝑟^2
1 2 −^2 𝑘^
𝑄𝑞 𝑟^2 𝐹 = 0
𝐹 = 𝑘
𝑄𝑞 𝑟^2
𝐹 1 𝑥 = 𝐹 cos 𝜃 = 𝐹 cos 45° = 𝐹 √ 22
𝐹𝑥 = 𝑘 𝑄𝑞 𝑟 2 − 𝑘 𝑄𝑞 𝑟 2 + 𝑘 𝑄𝑞 𝑟 2 √ 22 − 𝑘 𝑄𝑞 𝑟 2 √ 22 = 0
𝐹 1 𝑦 = 𝐹 sin 𝜃 = 𝐹 sin 45° = 𝐹 √
2 2
𝐹𝑅 = 𝐹 + 𝐹 1 𝑦+𝐹 1 𝑦 = 𝐹 + 𝐹 √ 22 + 𝐹 √ 22 = 𝐹( 1 + √ 2 )
𝐹𝑅 = 𝑘
𝑄𝑞 𝑟^2 (^1 +^ √^2 )
𝐹⃗𝑅 = −𝑘 𝑄𝑞 𝑟 2 ( 1 + (^) √ 2 )𝑦̂
B com C −𝑄 4 +
Força entre A e B
𝐹 =
𝑟^2 =
3𝑘𝑄^2
16𝑟^2 =
9 × 10^9. 3. (2 × 10−14)^2
16(1,2)^2 = 4,6 × 10
- a) Qual deve ser o valor da massa de um próton se sua atração gravitacional com um outro próton equilibra exatamente a repulsão eletrostática entre eles? b) Qual é a verdadeira relação dessas duas forças? A lei de Coulomb: 𝐹 21 = 𝑘|𝑞𝑟^1212 ||𝑞^2 |
A lei da Gravitação: 𝐹 21 = 𝐺𝑚 𝑟 2121 𝑚^2
Carga do próton: |𝑞𝑝| = 1,6 × 10−19𝐶, Massa do próton é 𝑚𝑝 = 1,67 × 10−27𝑘𝑔 𝐺 = 6,67 × 10−11^ 𝑁. 𝑚^2 /𝑘𝑔^2 (constante universal gravitacional) 𝑚𝑝 =? 𝐹𝑒𝑙 =
𝑟^2 =
𝑘𝑞^2
𝑟^2
𝑟^2
𝑘𝑞^2
𝑟^2 =
𝑟^2
𝑘𝑞^2
9 × 10^9 (1,6 × 10−19)^2
6,67 × 10−
𝑚𝑝 = 1,86 × 10−9𝑘𝑔
b) Substituindo estes valores nas equações acima:
𝐹𝑒 =
2,736 × 10−
𝑟^2 𝑁/𝑚^ 𝑒^ 𝐹𝑔^ =
1,86 × 10−
𝑟^2 𝑁/𝑚
Relação entre 𝐹𝑒 𝐹𝑔^ ≅ 1,23 × 10
36
- a) Que cargas iguais e positivas teriam que ser colocadas na Terra e na Lua para neutralizarem sua atração gravitacional? É necessário conhecer a distância entre esses astros para resolver este problema? Por quê? b) Quantos quilogramas de íons de hidrogênio seriam necessários para acumular a carga positiva calculada em a)?
𝑟^2
𝑟^2
𝐹⃗𝑒𝑙 𝐹⃗𝑔 𝐹⃗𝑔 𝐹⃗𝑒𝑙
q q
𝐹⃗𝑒𝑙
⃗
𝑘𝑞^2
𝑟^2
𝑟^2
𝑘𝑞^2 = 𝐺𝑀𝑇𝑚𝐿
6,67 × 10−116 × 10^24 7,36 × 10^22
9 × 10^9 = 5,72 × 10
5,72 × 10^13 = 𝑛1,6 × 10−
𝑛 = 3,58 × 10^32 𝑝𝑟ó𝑡𝑜𝑛𝑠 𝑚 = 3,58 × 10^32. 1,67 × 10−27^ ≈ 5,98 × 10^5 𝑘𝑔 = 598.000𝑘𝑔
- Uma carga 𝑞 1 = +25 𝑛𝐶 está na origem de um sistema de coordenadas 𝑥𝑦. Uma carga 𝑞 2 =– 15 𝑛𝐶 está sobre o eixo 𝑥 em 𝑥 = 2 𝑚 e uma carga 𝑞 0 = 20 𝑛𝐶 está posicionada em um ponto com as coordenadas 𝑥 = 2 𝑚 e 𝑦 = 2𝑚. Determine o módulo, a direção e o sentido da força resultante sobre 𝑞 0. 𝐹⃗1𝑥 = 𝐹 1 cos 45° 𝑥̂ 𝐹⃗1𝑦 = 𝐹 1 sen 45° 𝑦̂ 𝐹⃗ 2 = −𝐹 2 𝑦̂ 𝑟^2 = 2^2 + 2^2
𝑟^2 cos 45° 𝑥̂ 𝐹⃗1𝑥 =
9 × 10^9 25 × 10−9^ 20 × 10−
8 cos 45° 𝑥̂ = 3,92 × 10
𝑟^2 cos 45° 𝑥̂
9 × 10^9 25 × 10−9^ 20 × 10−
8 sen 45° 𝑦̂ = 3,92 × 10
𝑑^2 𝑦̂
9 × 10^9 15 × 10−9^ 20 × 10−
22 𝑦̂ = −6,75 × 10
Eixo y 𝐹⃗𝑦 = 𝐹⃗1𝑦+𝐹⃗ 2 = 3,92 × 10−7^ 𝑦̂ − 6,75 × 10−7^ 𝑦̂ = −2,83 × 10−7^ 𝑁𝑦̂ Força resultante vetorialmente: 𝐹⃗ = 𝐹⃗𝑦+𝐹⃗1𝑥 𝐹⃗ = 3,92 × 10−7^ 𝑥̂ − 2,83 × 10−7^ 𝑦̂
Módulo da força resultante: 𝐹 = √(3,92 × 10−7)^2 + (−2,83 × 10−7)^2 = 4,93 × 10−7^ 𝑁
4𝜋𝜀 0 [^
(𝑎^2 + 𝑏^2 )
(𝑎^2 + 𝑏^2 )1 2⁄^ 𝑥̂ −^
(𝑎^2 + 𝑏^2 )
(𝑎^2 + 𝑏^2 )1 2⁄^ 𝑦̂ +^
(𝑎^2 + 𝑏^2 )
(𝑎^2 + 𝑏^2 )1 2⁄^ 𝑥̂
(𝑎^2 + 𝑏^2 )
(𝑎^2 + 𝑏^2 )1 2⁄^ 𝑦̂]
(𝑎^2 + 𝑏^2 )3 2⁄^ 𝑥̂
2𝜋8,85 × 10−
80,0 × 10−918 × 10−94,0 × 10−
((3,0 × 10−3)^2 + (4,0 × 10−3)^2 )3 2⁄^ 𝑥̂
5,76 × 10−
6,95 × 10−18^ 𝑥̂ = 0,83 𝑁 𝑥̂
(b) para 𝑄 2 = −80,0 𝑛𝐶
𝑟^2 cos 𝜃 𝑥̂ −^
𝑟^2 sin 𝜃 𝑦̂ −^
𝑟^2 cos 𝜃 𝑥̂ −^
𝑟^2 sin 𝜃 𝑦̂
4𝜋𝜀 0 [^
(𝑎^2 + 𝑏^2 )
(𝑎^2 + 𝑏^2 )1 2⁄^ 𝑥̂ −^
(𝑎^2 + 𝑏^2 )
(𝑎^2 + 𝑏^2 )1 2⁄^ 𝑦̂ −^
(𝑎^2 + 𝑏^2 )
(𝑎^2 + 𝑏^2 )1 2⁄^ 𝑥̂
(𝑎^2 + 𝑏^2 )
(𝑎^2 + 𝑏^2 )1 2⁄^ 𝑦̂]
(𝑎^2 + 𝑏^2 )3 2⁄^ 𝑦̂
2𝜋8,85 × 10−
80,0 × 10−918 × 10−93,0 × 10−
((3,0 × 10−3)^2 + (4,0 × 10−3)^2 )3 2⁄^ 𝑦̂
4,32 × 10−
6,95 × 10−18^ 𝑦̂ = −0,62 𝑁 𝑦̂
- Uma partícula com carga 𝑄 é fixada em cada um dos vértices opostos de um quadrado, e uma partícula com carga 𝑞 é colocada em cada um dos dois outros vértices. a) Se a força eletrostática resultante sobre cada partícula com carga 𝑄 for nula, qual o valor de 𝑄 em função de 𝑞? b) Existe algum valor de 𝑞 que faça com que a força eletrostática resultante sobre cada uma das quatro partículas seja nula? Explique.
𝑟^2 = 𝑎^2 + 𝑏^2 ; cos 𝜃 =
𝑟 ;^ sin^ 𝜃^ =^
𝐹 1 𝑥 = 𝐹 1 cos 𝜃 𝐹 1 𝑦 = 𝐹 1 sen 𝜃 𝐹 2 𝑥 = 𝐹 2 cos 𝜃 𝐹 2 𝑦 = 𝐹 2 sen 𝜃 𝐹⃗ = 𝐹⃗ 1 + 𝐹⃗ 2
𝑟^2
𝑘𝑄^2
4𝑟^2
9 × 10^9 = 2,67 × 10
- Dois blocos metálicos idênticos, em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito, são ligados por uma mola elástica metálica, sem massa, de constante 𝑘 = 100 𝑁/𝑚 e comprimento relaxado de 0 , 3 𝑚, como na figura. Colocando-se vagarosamente uma carga 𝑄 no sistema, a mola se distende até atingir o comprimento de equilíbrio de 0 , 4 𝑚. Determine o valor de 𝑄, supondo que toda a carga se mantém nos blocos e que os blocos são como cargas puntiformes.
𝑟^2 = 𝑑^2 + 𝑑^2 ⇒ 𝑟^2 = 2 𝑑^2
𝑟^2 =^
2 𝑑^2
𝑑^2
𝐹 = √𝐹𝑞^2 + 𝐹𝑞^2 = √(
𝑑^2 )
2
𝑑^2 )
2
𝑑^2 )
2 = √ 2
𝑑^2
𝑑^2 =^
2 𝑑^2
