Circuitos Corrente alternada, Trabalhos de Engenharia Elétrica

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Circuitos de Corrente Alternada

Notas de Física Experimental

Prof. Hugo L. Fragnito

Unicamp – IFGW

Campinas, Setembro de 2000

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1. Conceitos básicos

Os elementos essenciais de circuitos de corrente alternada (c.a.) são os Geradores de c.a. e elementos passivos e lineares que são uma combinação de Resistores, Capacitores ou Indutores em série ou em paralelo. Alguns circuitos poderão ter ainda transformadores, mas excluiremos os casos em que os transformadores exibam histerese ou saturação, já que esses seriam elementos não lineares; igualmente excluiremos outros elementos como diodos (que são não-lineares) e amplificadores a transistores (que não são passivos).

A Figura 1.1 mostra dois circuitos de corrente alternada simples. O da Figura 1.1( a ) é um circuito de uma malha , o da Figura 1.1( b ) é de duas malhas.

R

C

ε( t ) I ( t ) L

a Z 1

ε( t ) (^) i 1 ( t )

Z 2

Z 3 i 2 ( t )

b

Figura 1.1. Exemplos de circuitos de corrente alternada. Z 1 , Z 2 e Z 3 indicam elementos como resistores, capacitores ou indutores.

Um Gerador de c.a. gera uma voltagem senoidal ε( t ) que em geral é caracterizada pela frequência

angular ω, a amplitude ε 0 (também chamada valor pico ou de crista ) e a fase inicial φ 0 :

ε( t ) = ε 0 cos(ω t (^) + φ 0 ). [1.1]

Para que a amplitude e a fase sejam univocamente definidas, impomos que a amplitude seja positiva e

que a fase esteja entre -π e π.

Exercício 1.1: Escreva as funções abaixo na forma da eq. 1 com ε 0 positivo e -π < φ 0 ≤ π:

1. ε( t ) = -100V cos(ω t ) [Resposta: 100V cos(ω t^ + π)]
2. ε( t ) = 10V sin(ω t ) [Resposta: 10V cos(ω t - π/2)]

Muitos osciloscópios modernos possuem recursos para medir automaticamente a amplitude pico-a-

pico ε pp = 2ε 0 e o período T = 2π/ω ou a frequência f = 1/ T. Outros instrumentos, como voltímetros de c.a.

e multímetros, medem o valor eficaz ε pp = ε 0 / √2. Assim, por exemplo, 110 Volts eficazes correspondem a uma amplitude de 155.6 V e uma amplitude pico-a-pico de 311 V. O aluno pode medir a voltagem de linha com um multímetro. A maioria dos osciloscópios medem até 80 V. Para medir voltagens maiores que 80 V se utilizam pontas de prova atenuadoras, mas mesmo com uma ponta atenuadora o/a aluno/a nunca deve intentar medir a voltagem de linha com um osciloscópio (leia primeiro a seção 1.1 sobre a linha de alimentação).

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vivo neutro

terra

transformador

neutro

Linha de alta tensão

Prédio de laboratórios

terra

vivos φ 1 φ 2 φ 3

Terra

tomada

Tomada (detalhe)

caixa de distribuição

Figura 1.2. Esquema da linha de alimentação elétrica do laboratório. Várias tomadas são alimentadas por cada fase. No detalhe, uma tomada com ponto de terra. Uma convenção é que o neutro deve ficar à direita do vivo e o terra embaixo. Outra convenção é que o fio vivo deve ser preto (cor da morte) o neutro branco e o terra verde. (Estas convenções não são muito respeitadas no Brasil). Alguns instrumentos (como voltímetros, eletrômetros e alguns tipos de fontes) podem ter entrada ou saída flutuante , que significa que nenhum dos contatos de entrada ou saída está ligado à terra. Este não é o caso dos osciloscópios, que sempre medem em relação a terra; por isso, (^) nunca ligue a entrada do osciloscópio à linha (você poderá estar ligando o terra do osciloscópio ao vivo ou ao neutro, mas você saberá se ligou ao vivo só depois de ouvir a explosão! ).

Se não suporta a curiosidade e quiser mesmo ver a forma de onda da linha, faça o seguinte (^) na presença do professor : utilize uma ponta de prova atenuadora de pelo menos 10× (verifique que a impedância da ponta de prova é alta, maior que 1 MΩ) e não ligue o terra da ponta de prova (geralmente um conector tipo jacaré) a nenhum dos pontos da tomada. Assim pelo menos você poderá medir as voltagens (em relação ao terra do osciloscópio) de cada ponto da tomada e descobrir qual é o vivo e qual o neutro.

Se quiser medir a diferença de potencial entre vivo e neutro, você deve utilizar um osciloscópio de dois canais e subtrair os sinais no osciloscópio. Faça o seguinte na presença do professor : utilize um osciloscópio de pelo menos dois canais que tenha modo de soma (ADD) e de inversão (INVERT); utilize também duas pontas de prova (não ligue os terras das pontas), uma em cada canal do osciloscópio; ligue uma ponta (Channel 1) no vivo e a outra (Channel 2) no neutro, e faça a subtração no osciloscópio (ou seja, INVERT Channel 2 e coloque o modo vertical em ADD. Se não entendeu é porque ainda não deve intenta-lo).

Note que sempre que for medir voltagens de linha deverá utilizar pontas de prova atenuadoras para que a senóide caiba na tela do osciloscópio (onde geralmente cabem 80 volts). Se a tensão eficaz é de 127 V, a voltagem pico-a-pico é 359.2 Volts!

1.2 Voltagem e corrente reais

Nos circuitos de c.a. alimentados por um único gerador ideal as correntes reais que passam pelos diferentes elementos são senoidais. A corrente real i ( t ) que passa por um dado elemento de um circuito está relacionada com a diferença de potencial (ou voltagem ) nesse elemento v ( t ). Tanto i ( t ) como v ( t ) são funções do tempo com a mesma forma que a eq. 1.1, cada um com sua amplitude e fase, mas com a

(^4) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Circuitos de Corrente Alternada

mesma frequência. Sem perda de generalidade podemos escolher a origem dos tempos de modo que a fase inicial da corrente seja nula:

i ( t ) = I 0 cos(ω t ) [1.2]

v ( t ) = V 0 cos(ω t + φ), [1.3]

onde φ é a diferença de fase entre a voltagem e a corrente.

Note que a fase de uma senóide sozinha não tem muito sentido físico. É sempre possível escolher a origem dos tempos de modo de fazer ela zero. Por outro lado, a diferença de fase entre duas senóides não depende dessa escolha. A Figura 1.3 mostra duas senóides na tela de um osciloscópio para ilustrar como se mede a diferença de fase. A corrente pode ser medida com osciloscópio medindo a voltagem sobre qualquer resistor do circuito, que é proporcional a corrente. Cuidado porém porque o osciloscópio somente mede em relação ao terra e, portanto, o resistor (ao qual ligamos o osciloscópio para medir a corrente) deve estar aterrado.

∆ t = 3.76 ms

∆ t T

.2V 20mV^2 ms

3.76 ms

.1V 10mV^2 ms

3.76 ms

cursores V 1 V 2

Figura 1.3. Medida da diferença de fase φ entre duas senóides ( V 1 e V 2 ) com um osciloscópio de dois canais. Tela da esquerda: Primeiramente medimos o período, que neste exemplo é T = 8.6 ms. A seguir medimos a diferença de tempo ∆ t^ em que as senóides cruzam, subindo (ou descendo), a linha horizontal de V = 0. Neste exemplo, ∆ t^ = 3.76 ms (alguns osciloscópios, como o ilustrado aqui, dispõem de cursores verticais para medir diferenças de tempo, a leitura é indicada no canto superior direito da tela). Finalmente, a fase é dada por φ = 2 π∆ t / T^ = 2.75 rad ou φ = 360∆ t / T^ = 157º. Tela da direita: Para diminuir a incerteza da medida, podemos expandir a escala vertical (duas vezes neste exemplo) de modo que apenas a região central das senóides é mostrada no osciloscópio. Na região central as senóides são aproximadamente retas e os pontos de cruzamento com o eixo V = 0 são mais evidentes (expandindo ainda mais a escala vertical, a retas viram quase verticais e a incerteza é a mínima possível).

Vejamos qual é a relação entre voltagem e corrente nos três elementos básicos: resistor, capacitor e indutor. Em um resistor vale sempre a lei de Ohm

v ( t ) = Ri ( t ), [1.4]

onde R é a resistência e, no caso de corrente alternada (isto é, com i ( t ) na forma da eq. 1.1) obtemos

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2. Voltagem e corrente complexas

A relação entre voltagem e corrente reais em um circuito de uma malha contendo resistores, capacitores e indutores é em geral uma equação integro-diferencial de primeira ordem ou uma equação diferencial ordinária de segunda ordem. Por exemplo, no circuito RLC série (Figura 1.1 a ) esta equação é

Ri L

di dt

q C

• • = ε [2.1]

(que contém a integral da incógnita, i ( t ), dado que q t i t dt q

t ( ) = (^) I 0 ( ′) ′ + ( )0 ), ou

R

di dt

L

d i dt

i C

d dt

2 2

ε

. [2.2]

Em circuitos com N malhas teremos N equações diferenciais ordinárias de segunda ordem acopladas. Para resolver este tipo de equações que aparecem frequentemente em circuitos de corrente alternada utilizaremos o formalismo de impedância complexa. Apesar do nome, este formalismo não tem nada de “complexo”, muito pelo contrário, como veremos, simplifica muito os problemas de circuitos de corrente alternada, já que as equações diferenciais se transformam em equações não diferenciais.

As equações de malha do tipo da 2.1 e 2.2 podem ser escritas como a parte real de uma equação entre números complexos. Utilizamos para isto a fórmula de Euler (vide Apêndice A)

e jx^ = cos x + j sin x ,

onde j = −1 e introduzimos a voltagem e corrente complexas1,2,

V t V e I t I e

j t j t

= (^ )

0 0

ω φ

ω

[2.3]

de modo que as voltagens e correntes reais, v ( t ) e i ( t ), podem ser recuperadas através das relações

v ( ) Re{ ( )} Re{ } ( ) ( ) Re{ ( )} Re{ } ( )

t V t V e (^ ) V t i t I t I e I t

j t j t

0 0

0 0

cos cos

ω φ ω

ω φ ω

[2.4]

O símbolo Re{ } indica a parte real do número complexo dentro de { }.

Trabalhar com correntes e voltagens complexas tem a vantagem de que as equações diferenciais que descrevem os circuitos de c.a. se transformam facilmente em equações ordinárias. Para isto basta substituir

(^1) R.P. Feynman, R.B. Leighton, and M. Sands, The Feynman Lectures on Physics , Vol. 2: Mainly Electromagnetism

and Matter , Addison-Wesley, Reading, 1964. (^2) H.M. Nussenzveig, Curso de Física Básica , Vol 3: Eletromagnetismo , Edgar Blücher, São Paulo, 1997.

(^3) F.N.H. Robinson, Electricity , in The New Encyclopædia Britannica (Macropædia – Knowledge in Depth), Vol. 6,

pp 537-610, 15 th^ Ed., H. Hemingway Benton, Publisher (London, 1974).

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3. Impedância complexa

A voltagem entre os terminais de um resistor, indutor ou capacitor pode ser escrita na forma complexa

V = ZI , [3.1]

onde, nos casos de resistor, capacitor e indutor, respectivamente, temos

Z

j C C

= = e − j

ω ω

π

Z = j ω L =ω L e j π^2

Z = R

[3.2]

Trabalhar com o formalismo de impedâncias complexas tem a enorme vantagem de que podemos aplicar quase tudo que aprendemos da teoria de circuitos de corrente contínua. Por exemplo, a associação de elementos em série ou em paralelo se tratam com as mesmas relações que se utilizam para resistores em circuitos de corrente contínua e as leis de Kirchoff se aplicam diretamente para as correntes e voltagens complexas em cada nó ou cada malha. Devemos ter presente apenas duas coisas:

1- O formalismo de impedância complexa é útil para tratar relações lineares (como, por exemplo uma equação de malha) mas não para relações não lineares, como a potência (que é uma função quadrática da corrente).

2- Este formalismo pode ser aplicado diretamente a circuitos com geradores de onda realmente senoidais (^) (e não, por exemplo, se o gerador é de onda quadrada). Para correntes de forma arbitrária devemos utilizar, em princípio, as voltagens e correntes reais. Esta condição e menos restritiva que a primeira. Como veremos na seção 7, se o circuito é linear então vale o princípio de superposição e ainda podemos aplicar o formalismo de impedância complexa, mas combinado com séries de Fourier para expressar as voltagens como soma de funções senoidais.

Do mesmo modo que uma combinação de resistores em série e em paralelo pode ser representada por um único resistor equivalente, um circuito contendo uma combinação arbitrária de resistores, indutores e capacitores pode ser representado por uma impedância total Z.

Z

eixo real

eixo imaginário

|Z|

X

Figura 3.1. Representação da impedância no plano complexo. Z^ é um ponto neste plano.

(^10) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Circuitos de Corrente Alternada

Em geral podemos escrever Z na forma cartesiana ou polar (Figura 3.1):

Z = ℜ + jX =|Z| e j φ: Impedância complexa, [3.3]

onde ℜ = Re{ Z } é a parte real da impedância complexa; X = Im{ Z }, a parte imaginária de Z é chamada

Reatância ; | Z | é o módulo de Z (as vezes também chamada de impedância ) e φ é a fase de Z. Para passar da forma cartesiana à polar podemos utilizar as relações

| Z | = ℜ 2 + X^2 [3.4]

e

φ = tan −^1 ( X / ℜ). [3.5]

Podemos ver que φ^ coincide com a diferença de fase entre a voltagem sobre Z e a corrente, sejam estas complexas (como na eq. 3.1) ou reais (como na eq. 2.2). Se X > 0 dizemos que a reatância é do tipo indutiva e se X < 0 dizemos que a reatância é capacitiva. Mostraremos na seção 5 que em circuitos

passivos é sempre ℜ ≥ 0. A parte real da impedância pode ser uma função da frequência (veja Exercício

A recíproca da impedância complexa é chamada de admitância complexa e é denotada com o símbolo Y :

Y = 1/ Z = G + jB : Admitância complexa [3.6]

A parte imaginária, B , é chamada Susceptância , e a parte real, G , é chamada Condutância.^4 Esta última deve ser positiva (ou nula) em circuitos passivos.

A impedância equivalente de duas associadas em série é simplesmente a soma das impedâncias. A admitância equivalente de duas impedâncias associadas em paralelo é a soma das admitâncias (Tabela 3-I). A demonstração destas afirmações é idêntica ao caso de resistores e corrente contínua e vamos deixa-la como exercício para o aluno.

É comum abreviar a impedância de uma associação em paralelo como

Z 1 // Z 2 = Z 1 Z 2 /( Z 1 + Z 2 ). [3.7]

Às vezes podemos até achar abreviações como R // C , L // C , R // L. O significado é obvio.

(^4) A unidade de admitância, condutância e susceptância é o Siemen (1 S = 1 Ω-1 (^) ). Antigamente se utilizava o “mho”,

que não é um “mili-ho” mas apenas a palavra “ohm” escrita ao contrário.

(^12) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Circuitos de Corrente Alternada

Icc = ε/ Z 1 ,

e depois utilizando

Z (^) eq = VAB /Icc.

3.2 Impedância interna de geradores e instrumentos de medição

No laboratório devemos sempre ter presente que os geradores e instrumentos de medição têm impedância interna. Em todos os casos, antes de utilizar um instrumento pela primeira vez, o aluno deve ler o Manual do usuário do instrumento e entender as especificações do fabricante, ou consultar o professor. Nem sempre o professor sabe o significado de todas as especificações técnicas de um instrumento (principalmente dos sofisticados instrumentos modernos), mas isto não deve desanimar o aluno; se o professor não sabe algum detalhe, provavelmente é um detalhe não muito relevante.

Os geradores de alta potência (incluindo a linha de alimentação) têm baixa impedância interna (| Z (^) int | < 5 Ω) e em geral complexa. Os geradores de funções para instrumentação tem uma impedância interna geralmente de 50 Ω, real e independente da frequência (variação dentro de ±1 Ω em toda a faixa de frequências de operação do instrumento, tipicamente).

Em medidas de voltagem é sempre necessário que o módulo da impedância interna | Z (^) int | do instrumento de medição seja muito maior que o da impedância do circuito. Caso contrário dizemos que o instrumento “carrega o circuito” e a voltagem medida não reflete fielmente a voltagem no circuito sem estar ligado ao instrumento. Se ligamos o instrumento a um elemento de impedância Z , pode parecer a primeira vista que a condição para não carregar o circuito é | Z (^) int | >> | Z |. Isto porém não é correto em geral. Entre os pontos em que ligamos o instrumento, todo circuito tem um equivalente Thévenin e a impedância que verá o instrumento será Z (^) eq , não Z. Portanto, a condição para que o instrumento não carregue o circuito é que

| Z (^) int | >> | Z (^) eq |.

O aluno deve ter muito cuidado pois neste ponto os circuitos de corrente alternada são diferentes dos circuitos de corrente contínua. Por exemplo, se medimos voltagens com um osciloscópio de Z (^) int = 1 MΩ sobre um resistor de 47 Ω em um circuito de corrente contínua não precisamos preocuparmos com o resto do circuito, já que “o resto” está em paralelo com este resistor e a resistência equivalente será sempre menor ou igual que os 47 Ω. Por outro lado, um indutor L = 50 mH a uma frequência ω = 950 rad/s, tem uma impedância de módulo | Z | = 47.5 Ω, mas se este estiver em paralelo com um capacitor C = 22 μF, então | Z (^) eq | = 655 kΩ que é comparável ao módulo | Z (^) int | do osciloscópio. Em circuitos de corrente alternada não é verdade que a impedância de dois elementos em paralelo seja menor, em módulo, que a de cada elemento. Isto é verdade, porém, se um dos elementos é um resistor (vide Exercício 3.2). Finalmente, sobre este assunto, o fato de ser | Z (^) int | >> | Z (^) eq | garante apenas que a amplitude da voltagem será medida fielmente, mas não necessariamente a fase.

3.2.1 Impedância interna de voltímetros

Muitos voltímetros de c.a. de agulha são na realidade galvanômetros de D’Arsonval em série com uma resistência (para transforma-lo em voltímetro) e um retificador (para transformar c.a. em corrente contínua); a impedância depende da escala e se especifica em kΩ/V (por exemplo, 10 kΩ/V significa que na escala de 3 volts de fundo de escala a impedância interna é de 30 kΩ). Estes instrumentos são utilizados para frequências baixas (< 1 kHz) pois a impedância interna depende muito da frequência. A leitura é diretamente em volts eficazes mas é precisa somente se a forma de onda for senoidal. Outro tipo de instrumento bastante utilizado é o voltímetro eletrônico de precisão, que pode ter impedância interna

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de 100 MΩ e pode medir volts eficazes de formas de onda arbitrárias (em alguns modelos), mas ainda de baixa frequência.

3.2.2 Impedância interna de osciloscópios

O instrumento mais utilizado para medir voltagens em circuitos de c.a. é o osciloscópio. 5 Os osciloscópios têm uma impedância interna geralmente Rint = 1 MΩ e uma capacitância parasita em paralelo C (^) int de uns 20 pF (em osciloscópios de alta frequência, > 100 MHz, os valores típicos são Rint = 50 Ω e C (^) int = 7 pF).

Para poder medir sinais alternos pequenos com um nível de corrente contínua grande, os osciloscópios possuem um recurso que é bloquear o nível contínuo. Este recurso chama-se “ acoplamento ac ” ( ac = alternate current ) e consiste em intercalar, na entrada, um capacitor em série C (^) s relativamente grande (10 a 15 nF). O acoplamento ac não deve ser utilizado em medidas precisas. O modo normal de operação de um osciloscópio é com acoplamento dc.^6 Vamos comentar sobre alguns cuidados que devem ser observados no modo normal.

Cs

Rint Cint

ac Osciloscópio

dc

Figura 3.3. Impedância interna de um osciloscópio. O osciloscópio mede sempre a voltagem que aparece sobre Rint. No modo de acoplamento dc o sinal a medir é aplicado diretamente sobre Rint , mas há sempre um capacitor em paralelo Cint. No acoplamento ac o sinal a medir passa primeiro por um capacitor em série, Cs , que bloqueia frequências baixas (< 10 Hz). No modo de acoplamento dc (Figura 3.3) a impedância interna depende da frequência:

Z (^) int = Rint // C (^) int = Rint /(1 + j ω RintC (^) int )

e cai em valor absoluto de 1 MΩ (ω = 0) a menos de 500 kΩ para frequências > 7.96 kHz (isto para um osciloscópio com Rint = 1 MΩ e C (^) int = 20 pF). Além disso, para medir precisamos ligar o osciloscópio ao circuito teste através de algum cabo. Este cabo faz parte do instrumento e devemos incluir a sua capacitância C (^) c.^7 A capacitância do cabo ligado à entrada do osciloscópio está em paralelo com C (^) int (Figura 3.3) e é geralmente maior (a capacitância do cabo coaxial normalmente utilizado em instrumentação, o RG-58U, é de uns 100 pF por cada metro de cabo). A impedância interna do instrumento (osciloscópio + cabo) é Z (^) int = Rint //( C (^) c + C (^) int ). Com 1 metro de cabo coaxial, esta impedância interna do osciloscópio cai de 1 MΩ a frequência zero para menos de 500 kΩ a frequências acima de 1 kHz, aproximadamente.

(^5) Para uma introdução ao princípios de funcionamento do osciloscópio visite o site

http://www.if.ufrj.br/teaching/oscilo/intro.html. (^6) dc é abreviatura de direct current. Em português é utilizado cc (corrente contínua), mas se confunde com “curto-

circuito” e “complexo conjugado”. Nestas notas utilizaremos as abreviaturas ac e dc. (^7) Em princípio, devemos considerar também a indutância do cabo L c ; mas na imensa maioria dos casos esta indutância é tão pequena (por exemplo, uns 250 nH por metro para o cabo RG-58U) que não afeta medidas para frequências de até 10 MHz.

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capacitor a qualquer frequência alta (exceto talvez a frequência 0 ou muito baixa se o capacitor estiver em série com um resistor de valor > 1 MΩ).

Exercício 3.1: Mostre que a impedância equivalente de um resistor R em paralelo com um indutor L é Z = ( R ω 2 L^2^ + j ω LR^2 ) / ( R^2 +ω^2 L^2 ). Este é um exemplo onde^ ℜ^ depende de^ ω.

Exercício 3.2: A resistência equivalente de dois resistores em paralelo é sempre menor que cada uma das resistências: R 1 // R 2 < R 1 e R 1 // R 2 < R 2. No caso de impedâncias complexas o módulo de Z 1 // Z 2 não sempre é menor que o módulo de Z 1 ou de Z 2. Por exemplo, um indutor e um capacitor em paralelo tem uma impedância cujo módulo, ω L /|ω^2 LC^ – 1|, pode ser muito maior que ω L ou maior que 1/ω C , ou maior que ambas, dependendo do valor ω. Não obstante isso, se uma das impedâncias é um resistor R , então mostre que | R // Z | ≤ min{ R , | Z |}, onde o igual acontece só se uma das impedâncias é nula. (Nota: na demonstração é necessário usar o fato que a parte real de qualquer impedância é sempre ≥ 0. Este fato será provado na seção 3.3).

Exercício 3.3: (resolvido) Compensação da ponta de prova de osciloscópios: A impedância de entrada de um osciloscópio é de 1 MΩ e têm uma capacitância parasita de 20 pF. Uma ponta de prova que atenua por um fator 10 vezes é ligado a este osciloscópio através de um cabo coaxial de capacitância Cc = 250 pF. O circuito da ponta de prova é mostrado na Figura 3.4. Quanto devem ser R^ e C^ para que atenue por um fator 10 independentemente da frequência? Solução: Suponhamos que queremos medir uma voltagem a uma frequência ω e amplitude Ve. A voltagem medida pelo osciloscópio é a voltagem Vo sobre a sua resistência interna Ro = 1 MΩ, e queremos que seja Vo = Ve /10 independentemente de ω. Para simplificar o problema notemos que a capacitância do cabo está em paralelo com a capacitância interna do osciloscópio de modo que podemos esquematizar o circuito como na Figura 3.5, onde substituímos o cabo e o capacitor parasita do osciloscópio por um único capacitor de capacitância Co = Cc + 20 pF = 270 pF.

R

C

V (^) e V (^) o 1M Ω 20 pF + C (^) c

Z 1

= V^ e Z^2^ Vo

Figura 3.5. Esquema simplificado do circuito da Figura 3.4. O problema agora é o de um divisor de tensão, ou seja,

Vo = Z V 2 (^) e / ( Z (^) 1 + Z 2 ).

com impedâncias Z 1 e Z 2 dadas por

Z R^ j^ C R j C

R j RC Z R^ j^ C R j C

R j R C

o o o o

o o o

1

2

1 1

1 1

=

=

=

=

/ / / /

ω ω ω ω ω ω

Em geral, o fator de atenuação deste divisor,

Z Z Z

Z Z

R j RC Ro j R Co o

1 2 2

1 2

1 1 1 1

• (^) = + = + +

( ) ( )

ω ω

,

depende de ω; mas se RC^ = R o C o então esse fator não depende de ω e vale

( Z 1 (^) + Z (^) 2 ) / Z (^) 2 = 1 + R / Ro = 10.

Substituindo pelo valor de Ro obtemos R = 9 MΩ. O valor de C que satisfaz a condição RC = R o C o é então C = (1 MΩ)×(270 pF) /(9 MΩ) = 30 pF.

(^16) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Circuitos de Corrente Alternada

Exercício 3.4 - Influência da impedância interna do osciloscópio em medidas de voltagem: Com ilustrado na Figura 3.3, a impedância de entrada de um osciloscópio é formada por um resistor R 0 de 1 MΩ em paralelo com um capacitor C 0 de 20 pF. Este osciloscópio é utilizado para medir a voltagem de saída de um gerador com impedância interna de Zint = 50 Ω (real e independente da frequência) através de um cabo coaxial RG-58 (100 pF/m) de 30 cm. Para baixas frequências o osciloscópio mede corretamente a fem , já que R 0 >> Zint (se diz que o instrumento de medição “ não carrega ” o gerador), porém, a medida que aumentamos a frequência acima de uns poucos kHz a impedância interna do osciloscópio começa a cair devido a C 0 (1/ω C 0 = R 0 para f = 7.96 kHz). A precisão de um osciloscópio é tipicamente de ±1%. Até que frequência a voltagem medida no osciloscópio é igual à fem do gerador dentro de um erro de 1 %? Quanto se (no lugar do cabo de 30 cm) utilizarmos um ponta de prova (devidamente compensada) de 10×? [Resposta: 80 kHz sem, 800 kHz com ponta de prova].

3.3 Potência média

A potência instantânea dissipada em um circuito elétrico é sempre dada por

Pinst ( ) t^ =^ v ( ) ( )^ t i t [3.8]

e deve ser calculada utilizando as correntes e voltagens reais. No caso de corrente alternada a potência instantânea varia periodicamente com o tempo. A potência média dissipada em um período T = 2π/ω é

P T t i t dt V I

T

= 1 I =

0

1

v ( ) ( )^2 0 0cos^ φ.^ [3.9]

Utilizando os valores eficazes

V V

I I

ef

ef

0

0

e

,

[3.10]

obtemos

P =^ V (^) ef I (^) ef cosφ^ = ℜ I^ (^) ef^2 = GVef^2. [3.11]

Na eq. 3.11 escrevemos a potência média dissipada em uma impedância Z de três formas equivalentes e que destacam similaridades e discrepâncias em relação as fórmulas análogas dos circuitos de corrente contínua:

A primeira forma na eq. 3.11 se parece com a expressão (^) P = (^) VI do caso contínuo, exceto pelo importante fator cosφ, também chamado fator de potência.

A segunda forma na eq. 3.11 é idêntica à potência dissipada em um resistor P = RI^2 no caso contínuo e mostra que a parte real de (^) Z é responsável pela dissipação de potência.

A terceira forma na eq. 3.11 mostra uma assimetria em relação ao caso de corrente contínua, onde P =

V^2 / R. No caso de c.a. a potência é^ GVef^2 (e não^ Vef^2 /^ ℜ^ ).

A eq. 3.11 nos leva a conclusões gerais ainda mais importantes: Dado que um elemento passivo só pode dissipar potência (i.e., não pode ser (^) P < 0, em cujo caso estaria gerando energia), as duas últimas formas da eq. 3.11 nos mostram que sempre deve ser

ℜ ≥ 0 e G ≥ 0. [3.12]

Ou seja, a parte real da impedância e a parte real da admitância de um circuito passivo devem ser sempre positivas (ou nulas).

Notemos que indutores e capacitores ideais não dissipam potência (nos dois casos o fator de potência é nulo). A potência é dissipada sempre nos resistores e pode ser calculada como a soma dos valores de