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INSTITUTO DE FÍSICA DA UFBA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA DO ESTADO SÓLIDO
DISCIPLINA: FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL IV (FIS 124)
Circuitos de Corrente Alternada
Considere um circuito com várias malhas e constituídas de resistências, capacitores e indutores. Em alguma região do circuito é aplicada uma tensão alternada (^) ε = (^) ε (^) o cosωt. Para
descrevermos o circuito, aplicamos a lei das malhas e dos nós e encontramos um sistema de equações diferenciais não homogêneas que, em sua maiori a, não são simples resolvê -las. Um caso bem trivial, como o circuito RLC, envolve identidades trigonométricas que são, para dizer o mínimo, tediosas. Para contornarmos estas dificuldades e encontrarmos soluções mais elegantes e concisas, faremos uso dos números complexos. Utilizaremos também uma generalização da lei de Ohm para a corrente alternada, isto é, a lei de Ohm na forma complexa.
Definimos, então, uma tensão complexa V = εoe jωt, onde a tensão física de interesse é a parte
real de V , isto é, ε = Re{ V } = εo cos ωt. Analogamente, definimos uma corrente complexa I onde a corrente física é a parte real de I , isto é, I = Re{ I }. Como na lei de Ohm, existe aqui uma relação linear entre a
corrente e a tensão complexa. Se em circuitos de corrente contínua o parâmetro que intermedia estas duas grandezas é a resistência, em corrente alternada devemos ter também uma grandeza que descreve o comportamento resistivo do circuito: a impedância. Chamaremos de Z a impedância
complexa do circuito, de forma que a lei de Ohm na forma complexa será:
1. Aplicações Em Circuitos a. Circuito Resistivo A resistência R neste caso está simbolizando a associação de todas as resistências do circuito. U sando a lei das malhas, obtemos ε = R I, ou na notação complexa V = R I. Comparando com a lei de Ohm V = ZI , obtemos Z R = R, ou seja, a impedância de um circuito puramente resistivo é a própria resistência.
A corrente complexa será dada por o jt R
e R = =ε^ ω Z I V enquanto que a corrente
física será I = Re{ I } = cos t R
ε (^) o (^) ω. Observando a figura ao lado, vemos que os
máximos, mínimos e zeros tanto da tensão quanto da corrente ocorrem no mesmo instante. Dizemos então que a corrente está em fase com a tensão. Tanto a tensão quanto a corrente complexas podem ser representados no plano complexo através dos vetores girantes ou fasores.
t
I
ε
V = Z I
Note que V = εoe jωt e o^ ej t R I =ε^ ω são números complexos que variam com o
tempo e, como o sentido de crescimento do ângulo (^) ωt no plano complexo é antihorário, os fasores também giram nesse sentido. Note que V e I giram ao mesmo tempo, pois estão em fase.
b. Circuito Indutivo
A lei das malhas nos fornece dt ε =L dI, ou em termos de linguagem dos
complexos dt V = L d I (1). Assumimos aqui que a corrente oscila com a mesma
freqüência da fonte, pois se trata de uma oscilação forçada.
Escrevemos então I = Ime j(ωt−φ), onde Im é a amplitude e φ é a fase da corrente_._ Assim devemos ter:
I (^) = jω e ω −φ =jω I dt
d (^) j( t ) Im
Substituindo na equação (1) , teremos V = j ω L I que, comparada com a lei de Ohm, nos leva a Z (^) L =j ω L. Podemos escrever esta impedância de outra forma. Basta lembrar que j = ejπ^2 , de forma que Z (^) L = ωLejπ^2 =XLejπ^2 , onde XL = ω L é chamada de reatância indutiva. A corrente será dada por:
L
o j( t ) j L
o j t L X
e X e
e 2 2
ω− π π
ω (^) ε = = ε = Z
I V
Logo, a corrente do circuito será: I = Re{ I } →
= ε ^ ω−π 2 I cos t XL
o
Note que a corrente está defasada da tensão de π/2. Neste caso dizemos que a corrente está atrasada em relação à tensão. Os diagramas da corrente e da tensão são :
c. Circuito capacitivo
A lei das malhas nos fornece C ε =q. Diferenciando em relação ao tempo, teremos:
dt
dq dt C
d ε (^) = (^1). Usando dt I =dq, teremos: dt C
d ε (^) = I.
C
t
I
ε
Re
Im (^) V
I ωt
ωt
V
I Re
Im
=
N
i 1
eq Zi
Z
3. Circuito RLC acoplado a uma f.e.m. alternada
Seja um circuito RLC em série acoplado a uma f.e.m. alternada
ε = ε (^) o cosωt. De acordo com a lei de Ohm, a corrente será Z I = V , onde
V = εoe jω^ t é a tensão complexa. Para a resolução deste problema, devemos calcular a impedância total do circuito. Como os três elementos estão associados em série, teremos : Z^ = Z R + Z L+ Z C
ω = + ω − ω = + ω − C R j L C Z R j L j^1
Podemos escrever Z na forma Z = Z e jϕ onde Z e ϕ serão dados por:
2 (^2 1)
ω
= + ω − C
Z R L
ω ϕ = ω − C
L
R
arc tg^11
A corrente complexa será: o j( t^ ) j
o j t e Ze Z
e (^) ω−ϕ ϕ
ω (^) ε = =ε = Z
I V
A corrente no circuito ser portanto I = Re{ I }, ou seja
cos( t ) Z I =ε^ o^ ω−ϕ onde Z e ϕ estão acima descritos.
a. Ressonância
. Note que a amplitude da corrente irá depender da freqüência, uma vez que a impedância Z tem essa dependência. Assim, podemos ter uma tensão altíssima, mas uma corrente baixa a depender do valor da freqüência ω. Podemos fazer crescer este valor usando-se o expediente de variar ω, até atingir o ponto máximo da corrente Im, o que equivale ao valor mínimo de Z.
R L C
R 1 <R (^2) R 2
ω= ωo ω
εo /R
Im
Isto ocorrerá quando XL - XC = 0, ou seja, quando (^1) = 0
ω ω − C
L , o que nos levará a o (^) LC ω =ω =^1.
Em outras palavras, quando a freqüência da fonte for igual à freqüência natural do sistema, a corrente no circuito irá oscilar com amplitude máxima Im = (^) ε (^) o / R. Chamamos esta condição de (^) ressonância. Este circuito tem utilidade, por exemplo, nos circuitos de rádio, onde é usado como circuito sintonizador. Neste caso a antena serve como fonte. Esta capta as ondas eletromagnéticas, transformando os campos elétricos oscilantes em correntes. Note que antena capta todas as freqüências, mas só irá oscilar com amplitude máxima naquela que estiver em ressonância. Para sintonizar uma outra estação de rádio basta mudar a freqüência natural do circuito, alterando-se ou o capacitor ou o indutor.
4. Potência média. Valor eficaz Como vimos, a corrente assim como a tensão são grandezas que oscilam com freqüência ω, que podem variar desde alguns Hz - como na rede elétrica - até a ordem de MHz como nos circuitos de rádio e TV. Assim, para medirmos os valores instantâneos destas grandezas, necessitamos de instrumentos adequados, tais como os osciloscópios, que respondam com precisão a estas variações. No entanto, em diversas ocasiões não nos interessamos por estes valores instantâneos, mas sim pelo valor médio ou valor eficaz. Antes de definirmos estas grandezas, precisamos conhecer como calcular a média temporal de uma grandeza.
a. Média temporal
Suponha que um veículo percorra uma estrada com velocidade v 1 durante um tempo ∆t 1 , com velocidade v 2 durante um ∆t 2 , com v 3 durante ∆t 3 e assim sucessivamente. Para calcular a velocidade média desenvolvida pelo veículo, simplesmente dividimos a distância total percorrida pelo tempo total de percurso.
L
L
1 2 3
1 1 2 2 3 3 t t t v v t v t v t ∆ +∆ +∆
Podemos generalizar este conceito para uma grandeza f qualquer. Seja f(t) uma grandeza que varie discretamente com o tempo, ou seja, ela assume um valor constante f 1 durante um tempo ∆t 1 , f 2 durante ∆t 2 e assim por diante. Se existe N intervalos de tempo, a média temporal de f(t) será:
=
=
∆
N
i 1
i
N
i 1
i i
1 2 N
1 1 2 2 N N
t
f t
t t t
f f t f t f t K
K (3)
Supondo agora que f= f(t) seja uma função contínua no tempo, o valor médio será obtido se fizermos as somatórias da equação (3) para o limite ∆ti → 0. Se tomarmos a média entre os instantes to e t 1 então :
= =ε ϕ ω − ϕ ω ω
sen t cos t dt T
cos tdt sen^1 T
P(t)dt I cos^1 T
P^1
t T
t
2
t T
t
oo
t T
t
o
o
o
o
o
o
Usando o fato de que (^) T^1 cos ( t ) dt 21
t T
t
2
o
o
ω−ϕ =
e sen t cos tdt 0
t T
t
o
o
ω ω =
, chegamos a:
P = εo ocos ϕ 2
I .
O termo cos ϕé chamado de fator de potência. Em um circuito resistivo ϕ = 0 ( a corrente e
tensão estão em fase) e teremos:
P o o 2 efI ef
I
= ε =ε , o que nos remete para a definição de valor eficaz de corrente e tensão.
BIBLIOGRAFIA
- Reitz J., Milford F., Fundamentos da Teoria Eletromagnética
- Edminister J., Circuitos Elétricos
- Purcell E., Curso de Física de Berkeley, vol.
