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Instituto de Física de São Carlos
Capacitância e Capacitores
Nessa prática, faremos um estudo sobre capacitores. Será introduzido o conceito de capacitância e estudaremos as leis de carga e descarga de capacitores, bem como as regras de associação desses elementos de circuito.
Sempre que surgir uma dúvida quanto à utilização de um instrumento ou componente, o aluno deverá consultar o professor para esclarecimentos.
Quando usar um capacitor, verifique se ele possui polaridade; se possuir, confira a polaridade antes de ligar o circuito. Nos capacitores disponíveis no laboratório, uma seta aponta para o pólo negativo. Verifique também a máxima tensão que pode ser aplicada no capacitor.
I. Capacitor de placas paralelas e capacitância
Suponhamos o caso de duas placas condutoras idênticas, paralelas entre si, separadas por uma distância S e com área A , tal como mostrado na figura 1. Uma das placas está carregada com uma carga +Q e a outra com uma carga –Q.
+Q, Φ -Q, Φ
A A
S
(^1 )
Figura 1 – Capacitor de Placas Paralelas
Uma aproximação que vamos fazer é desconsiderar o chamado efeito de borda, isto é, vamos calcular o campo gerado por cada placa como se ela fosse infinita. O campo gerado por uma placa infinita uniformemente carregada pode ser calculado pela lei de Gauss sendo dado por:
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o A o
E Q
r (^) (1)
Onde σ e a densidade superficial de carga, A é a área da placa e Q a carga
armazenada e ε o é a permissividade elétrica do vácuo. Note que se trata de um campo constante. A direção desse campo é perpendicular a placa e o sentido saindo da placa se Q é positivo e entrando na placa se Q é negativo. O capacitor esquematizado na figura 1 pode ser aproximado considerandos duas placas infinitas carregadas com cargas + Q e – Q e separadas por uma distância s. Assim, na região fora das placas os campos gerados por cada placa apontam em sentidos opostos e se cancelam. Entre as placas eles se somam e geram um campo elétrico de módulo:
A o
E Q
= ε r (^) (2)
O sentido deste campo é da placa positiva para a placa negativa. A tensão entre as placas é dada por:
o
V E S QS
= = A ε
r (^) (3)
Vemos então que a tensão entre as placas é proporcional à carga nelas armazenada. Podemos definir uma grandeza que expressa a capacidade de armazenar carga. Tal grandeza é denominada capacitância ( C ), e é definida como:
V
C =^ Q (4)
Para o caso das placas paralelas:
S
C =^ A^ ε o (5)
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Para calcular a energia armazenada, basta integrar a equação (7) acima de 0 a Q :
Q C qdq Q U C 0
2 2
Lembrando que Q = CV :
2 2
U = 1 CV (9)
Essa energia pode ser recuperada quando o capacitor é descarregado, e por isso é dito que ela fica armazenada no capacitor ou, mais precisamente, no campo elétrico entre as placas. O capacitor pode então armazenar energia, para fornecê-la ao circuito em momentos de picos de consumo ou quando há uma falha da fonte. A máxima tensão que pode ser aplicada a um capacitor é limitada pelo fenômeno da ruptura dielétrica. Quando o campo elétrico atinge um valor limite, o dielétrico se torna condutor. O valor de campo elétrico que causa a ruptura depende do dielétrico, e é geralmente da ordem de MV/m. Os capacitores de capacitância até 1 μF em geral usam dielétricos isotrópicos, e seus dois terminais são equivalentes, como acontece com os resistores. Entretanto, os capacitores de maior capacitância (chamados capacitores eletrolíticos ) apresentam dielétrico que têm comportamento diferente de acordo com o sentido do campo elétrico. Por isso, esses capacitores geralmente apresentam polaridade, isto é, possuem um terminal positivo e um terminal negativo. Essa polaridade deve ser sempre respeitada ao conectar-se o capacitor a um circuito elétrico.
II. Capacitor cilíndrico
Considere duas cascas cilíndricas coaxiais, com raios a e b (com b > a ), e comprimento L (como na figura 3). Esse arranjo é conhecido como capacitor cilíndrico. As cargas em cada placa continuam iguais, mas a área de cada uma delas é diferente, e a densidade de cargas também será.
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Vamos assumir que uma carga +Q está na superfície interna, e uma carga –Q na superfície externa. Pela lei de Gauss, o campo elétrico só é não-nulo na região entre as placas. Pela simetria, o campo deve ser radial e depender apenas da distância ao eixo. Tomamos como superfície gaussiana a de um cilindro totalmente contido na região entre as placas, de raio r (com a < r < b ), e altura h (com h < L ). O fluxo sobre as tampas é nulo porque o campo elétrico é perpendicular à superfície; sobre a parte lateral, o campo é constante (em módulo) e sempre aponta para fora. As configurações da carga e do campo estão mostradas na figura 3b.
_-
++ ++++ +
b a r
b
a
r h L
(a) (b)
Figura 3 – Capacitor cilíndrico: (a) vista lateral, mostrando o capacitor e a superfície gaussiana; (b) vista por cima, mostrando a distribuição de carga e as linhas do campo elétrico
A carga contida nesse cilindro é uma fração h / L da carga da superfície interna. Então, pela lei de Gauss:
rhEr Lh Q
ε o
Portanto:
L r Er Q 2.. o..
O campo elétrico cai com o inverso da distância ao eixo. A diferença de potencial é obtida ao integrar o campo elétrico de a a b :
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Dessa forma, a carga sobre os dois capacitores é a mesma. Esse argumento pode ser usado para quantos forem os capacitores ligados em série.
(a) V 1 V 2 V 3 C 1 C 2 C 3
V Cn V 1 V C 1
Q 1 Q 2 Q 3 Q C 2 C 3 Cn
n
(b)
Figura 4 – Associação de Capacitores. (a) em série; (b) em paralelo.
A tensão sobre o conjunto dos capacitores é a soma das tensões sobre cada capacitor (isso é um fato geral sobre componentes ligados em série):
V = V 1 + V 2 +L+ V n (15)
Como a carga em todos é igual:
C n
Q
C
Q
C
V = Q + +L
1 2
A capacitância equivalente é Ceq = Q / V. Portanto
eq Q C C C n
V
C
1 2
= = + + L (17)
Na associação em paralelo, os capacitores estão em um mesmo potencial (um fato geral sobre componentes em paralelo), mas acumulam cargas diferentes (figura 4b). A carga total é a soma das cargas acumuladas em cada capacitor.
Q = Q 1 + Q 2 +L+ Q n (18)
Dividindo a equação anterior por V , obtemos a capacitância equivalente:
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eq (^) V C C C n
C =^ Q = + +L+
1 2
As fórmulas para associação de capacitores são análogas às de associação de resistores, mas há uma importante diferença. Resistências se somam quando conectadas em série , enquanto capacitâncias se somam quando conectadas em paralelo. A soma dos inversos ocorre quando resistências se ligam em paralelo , ou quando capacitores se ligam em série.
IV. Carga e descarga de capacitores
Considere o circuito mostrado na figura 5, onde um capacitor carregado com carga Qo está ligado em série a um resistor através de uma chave. Inicialmente, com a chave aberta e a tensão nos terminais do capacitor é Vo = Qo / C.
+Q 0 C
S
R -Q 0
Figura 5 – Descarga de um capacitor.
No momento em que a chave é ligada, o capacitor passa a funcionar como uma fonte e estabelece uma corrente variável que flui através do resistor. Aplicando a lei da malhas de Kirchoff ao circuito obtemos: V C = RI (20) Como a tensão nos terminais do capacitor é VC = Q/C e a corrente é decresce no tempo (o capacitor é um reservatório finito de cargas) a corrente no circuito deve ser escrita como I = -dQ/dt. Assim, R dQdt + QC = 0 (21)
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem, linear e homogênea. A condição inicial é Q(0) = Qo , e a solução que a satisfaz (deduza essa expressão) é:
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A figura 7 mostra os gráficos típicos de carga e descarga de um capacitor:
0 1 2 3 4 5
Descarga Carga
V / V
o
t / RC
0,
0,
Figura 7 –Curvas de Carga e descarga de um capacitor.
Existe um instrumento chamado capacímetro que é projetado para medir capacitâncias. Alguns modelos de multímetros digitais também já apresentam uma função para medir capacitâncias. No entanto, quando não se dispõe deste instrumento é comum se analisar as curvas de carga e descarga de capacitores, utilizando um resistor de valor conhecido, com o fim de determinar a capacitância. Isso é feito através da determinação da constante de tempo de carga ou descarga. Uma aplicação importante dos circuitos RC é utiliza-lo como base de tempo para circuitos temporizadores. Uma lâmpada de corredor, por exemplo, pode ser programada para ficar acesa por um tempo determinado. Utiliza-se um capacitor que é carregado quando a lâmpada é ligada e a partir daí se descarrega em uma resistência. Um circuito eletrônico monitora a tensão na resistência e faz com que a lâmpada se desligue quando essa tensão atingir um limiar. O tempo necessário para que isso ocorra depende da constante de tempo do circuito, o que permite regular quanto tempo a lâmpada permanece acessa. Em geral, esse tipo de circuito RC é constituído por um capacitor fixo e um reostato, o que permite o ajuste da constante de tempo para qualquer valor.
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Experimentos Atenção: Nesta prática você utilizará capacitores eletrolíticos que devem ser conectados ao circuito obedecendo a polaridade indicada no mesmo. Verifique sempre a polaridade do capacitor antes de conectá-lo ao circuito (positivo da fonte ligado ao positivo do capacitor). A inversão desta situação pode acarretar na explosão do capacitor.
1. Descarga de um capacitor
a) Monte o circuito indicado na figura 8, utilizando um multímetro analógico Minipa e um capacitor de 100 μF. Use-o na escala de 15V e anote sua resistência interna para esta escala.
V (^) C
S
Rv
G
Voltímetro
b
Figura 8 – Descarga de um capacitor pela resistência interna de um voltímetro b) Ajuste a tensão da fonte para 15 V (verifique com o voltímetro). c) Carregue o capacitor de 100 μF ligando o interruptor S. Desligue o interruptor e observe a descarga do capacitor sobre a resistência interna do multímetro. Meça o tempo necessário para que o capacitor atinja as seguintes tensões: 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3 V. Após cada tensão ser atingida, carregue novamente o capacitor. Resultados da medida das tensões durante a descarga de um capacitor Tensão (V) Tempo (s) Tensão (V) Tempo (s)
R (resistência interna do multímetro) = Constante de tempo (RC) = Capacitância (C) =
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3. Associação de um capacitor carregado com um descarregado
a) Monte o circuito da figura 10 usando capacitores eletrolíticos (verifique a polaridade dos mesmos). Ajuste a fonte para Vi = 15 V, mantenha a chave S 2 aberta e feche a chave S 1 para carregar o capacitor C 1 de 1000 μF e meça a tensão Vi nos terminais do capacitor C 1. b) Em seguida, desconecte a fonte (abra a chave S1) e feche a chave S2 para
ligar o capacitor descarregado C 2 de 2200 μF em paralelo com o capacitor já carregado ( C 1 ). c) Meça a tensão de equilíbrio da associação, Vf. Importante: Antes de repetir o experimento lembre-se de descarregar o capacitor C 2 para evitar que sobre qualquer carga armazenada entre suas placas. d) Calcule a energia total armazenada pelos capacitores antes e depois do contato.
Vi C 1 V C 2
S 1 S 2
Figura 10 – Circuito para estudar a conservação da energia eletrostática em capacitores Resultados da medida da energia eletrostática em capacitores Capacitância de C 1
Capacitância de C 2
Tensão inicial em C 1
Tensão final
Energia inicial
Energia final
e) Analise os resultados obtidos tem em vista a lei de conservação da energia.
