Baixe Análise de Circuitos Elétricos: Fasores, Impedância e Potência e outras Traduções em PDF para Eletricidade Básica, somente na Docsity!
Sumário
- CAPÍTULO
- Circuitos de Corrente Alternada em Regime Permanente.......................................................................
- 1.1 Geração de Tensões Senoidais. Terminologia.
- 1.2 Valor Médio, Valor Eficaz
- 1.3 Fasores.............................................................................................................................................
- 1.4 Impedância de Elementos Passivos
- 1.4.1 Impedância Complexa
- 1.4.2 Admitância Complexa
- 1.5 Potência em Circuitos de Corrente Alternada
- 1.6 Potência Complexa..........................................................................................................................
- 1.7 Fator de Potência
- Problemas
- CAPÍTULO
- Circuitos Polifásicos..............................................................................................................................
- 2.1 Definições
- 2.2 Obtenção de Sistemas Polifásicos
- 2.3 Sequência de Fases
- 2.4 Operadores de Rotação de Fase
- 2.5 Tensões e Correntes em Circuitos Polifásicos
- 2.6 Fator de Potência de Circuitos Polifásicos
- 2.7 Potência em Circuitos Polifásicos Equilibrados
- 2.8 Ligação de Impedâncias em Circuitos Polifásicos Equilibrados
- 2.8.1 Conexão em Estrela
- 2.8.2 Conexão em Malha
- 2.9 Sistemas Trifásicos Equilibrados
- 2.9.1 Ligação em Estrela
- 2.9.2 Ligação em Triângulo (ou Ligação em Delta)
- 2.9.3 Associação de Cargas Trifásicas Equilibradas, em Paralelo
- 2.9.4 Resolução de Circuitos com Gerador e Carga Ligados em Estrela
- 2.9.5 Resolução de Circuitos com Gerador e Carga Ligados em Triângulo
- 2.9.6 Potência em Circuitos Trifásicos Equilibrados
- 2.10 Circuitos Trifásicos Desequilibrados (Desequilíbrio de Carga)
- 2.10.1 Carga Desequilibrada Ligada em Triângulo
2.10.2 Carga Desequilibrada Ligada em Estrela (Sistema a 3 Condutores) ........................................ 53
2.10.3 Cargas desequilibradas conectadas em triângulo e em estrela, associadas em paralelo (sistema a 3 condutores) ...................................................................................................................................... 58
2.10.4 Cargas desequilibradas ligadas em estrela (sistema a 4 condutores) ....................................... 59
2.10.5 Cargas desequilibradas, sistema estrela-estrela com conexão dos neutros .............................. 60
2.10.6 Cargas desequilibradas, sistema estrela-triângulo .................................................................... 62
2.10.7 Fator de Potência Vetorial ......................................................................................................... 62
PROBLEMAS ....................................................................................................................................... 64
CAPÍTULO 3 ............................................................................................. Erro! Indicador não definido.
Medidas de Potência em Circuitos de Corrente Alternada ......................... Erro! Indicador não definido.
3.1 Medida de Potência Ativa .................................................................... Erro! Indicador não definido.
3.1.1 Wattímetro Eletrodinâmico ............................................................... Erro! Indicador não definido.
3.1.2 Wattímetro de Indução ...................................................................... Erro! Indicador não definido.
3.1.3 Wattímetro Térmico ........................................................................... Erro! Indicador não definido.
3.1.4 Medida de Potência Ativa em Circuitos Monofásicos ...................... Erro! Indicador não definido.
3.1.5 Medida de Potência Ativa em Circuitos Polifásicos ......................... Erro! Indicador não definido.
3.1.6 Leituras dos Wattímetros em Função do Fator de Potência ............. Erro! Indicador não definido.
3.2 Medida de Potência Reativa ................................................................. Erro! Indicador não definido.
PROBLEMAS ............................................................................................ Erro! Indicador não definido.
CAPÍTULO 4 ............................................................................................. Erro! Indicador não definido.
Representação de Sistemas Elétricos de Potência ...................................... Erro! Indicador não definido.
4.1 Modelagem dos Componentes ............................................................. Erro! Indicador não definido.
4.2 Valor Percentual: Valor por Unidade ................................................... Erro! Indicador não definido.
4.3 Definições ...................................................................................... Erro! Indicador não definido.
4.4 Escolha de Bases ............................................................................ Erro! Indicador não definido.
4.4.1 Escolha de Bases Para Circuitos Monofásicos ................................. Erro! Indicador não definido.
4.4.2 Escolha de Bases Para Circuitos Trifásicos ..................................... Erro! Indicador não definido.
4.5 Mudanças de Bases .............................................................................. Erro! Indicador não definido.
CAPÍTULO 5 ............................................................................................. Erro! Indicador não definido.
Curtos-circuitos Simétricos ........................................................................ Erro! Indicador não definido.
5.1 Tipos de Curtos-Circuitos .................................................................... Erro! Indicador não definido.
5.2 Causas de Curtos-Circuitos .................................................................. Erro! Indicador não definido.
5.3 Ocorrência ............................................................................................ Erro! Indicador não definido.
5.4 Hipóteses Simplificadoras .................................................................... Erro! Indicador não definido.
7.7 Sobretensões de Frequência Industrial ................................................. Erro! Indicador não definido.
CAPÍTULO 8 ............................................................................................. Erro! Indicador não definido.
Matriz de Impedância Nodal ...................................................................... Erro! Indicador não definido.
8.1 Definições ............................................................................................ Erro! Indicador não definido.
8.2 Algoritmos de Montagem da Matriz ZBUS Sem Mùtuas ....................... Erro! Indicador não definido.
8.2.1 Ligação Entre a Referência e Uma Barra Nova (1º Caso) ............... Erro! Indicador não definido.
8.2.2 Ligação de Uma Barra Existente a Uma Barra Nova (2º Caso). ..... Erro! Indicador não definido.
8.2.3 Ligação Entre uma Barra Existente e a Referência (3º Caso) .......... Erro! Indicador não definido.
8.2.4 Ligação Entre Duas Barras Já Existentes (4º Caso) ........................ Erro! Indicador não definido.
8.3 Algoritmos de Montagem da Matriz ZBUS com Acoplamentos Mútuos Erro! Indicador não definido.
8.3.1 Ligação Mutuamente Acoplada Entre uma Barra Já Existente e Uma Barra Nova Erro! Indicador não definido.
8.3.2 Ligação Mutuamente Acoplada Entre Duas Barras Já Existentes ... Erro! Indicador não definido.
CAPÍTULO 9 ............................................................................................. Erro! Indicador não definido.
Ensaios de Laboratório ............................................................................... Erro! Indicador não definido.
CAPÍTULO 1
Circuitos de Corrente Alternada em Regime Permanente
Neste capítulo serão tratados vários conceitos importantes referentes a circuitos de corrente alternada em regime permanente, com ampla aplicação ao longo do texto. Assim, o bom entendimento desses conceitos contribui para a melhor compreensão do conteúdo dos capítulos subsequentes.
1.1 Geração de Tensões Senoidais e Terminologia
Na área de engenharia elétrica, é frequente e intenso o uso de tensões e correntes alternadas senoidais. Sua utilização apresenta inúmeras vantagens técnicas e econômicas, dentre as quais destacam-se: facilidade de geração, facilidade de transmissão e simplicidade de tratamento matemático. A obtenção de uma força eletromotriz (fem) senuidal pode ser explicada com o auxílio de um gerador elementar no qual: a) uma bobina se move no interior de um campo magnético fixo; ou b) um campo magnético se movimenta e enlaça uma bobina estacionária. O gerador elementar de corrente alternada mostrado na Figura 1.1 é representativo do segundo caso.
Figura 1.1. Gerador elementar de c.a.
A bobina de terminais a – a´, constituída de N espiras, está disposa na parte fixa do gerador, denominada estator. Uma bobina alimentada por corrente contínua, que gira a uma velocidade angular , - ou um imã permanente -, proporciona o fluxo constante ɸm e é a parte móvel do gerador, denominada rotor. Este gira à velocidade angular constante , no sentido indicado na Figura 1.1. Em cada instante, a posição do rotor é definida pelo ângulo , formado entre a reta que define a direção do fluxo e o eixo da bobina do estator. Sendo t o tempo transcorrido desde o instante inicial, o ângulo passa a ser definido por:
= t (1.1)
De acordo com a lei de Faraday, a movimentação do rotor vai provocar o surgimento de uma fem (tensão induzida) na bobina fixa, fem esta que varia no tempo e é expressa por:
= Em sen2π f t = Em sen 2𝜋 𝑇 𝑡
onde: e - valor instantâneo da senóide; a cada valor estabelecido para t corresponderá determinado valor para e; Em - amplitude (ou valor máximo, ou valor de pico) da função senoidal; ; 𝜔𝑡; 2π ft; 2𝜋 𝑇 𝑡^ –^ argumento da senóide; f - frequência (c/s ou Hz ), ou seja, quantidade de ciclos completada em um segundo; se uma máquina tem p pólos, o número de ciclos completado numa rotação é igual a p/ 2; frequência e RPM se relacionam pela igualdade 𝑓 = 𝑝.(𝑅𝑃𝑀) 120 ; T - período, isto é, tempo de duração de um ciclo; período e frequência se relacionam pela seguinte igualdade: T = 1 𝑓 𝜔 - velocidade angular (ou frequência angular); a cada ciclo corresponde 2 π radianos e, portanto, tem-se: 𝜔 = 2 𝜋 𝑇 =^2 𝜋𝑓, cuja unidade é^ radianos/s. A frequência padrão dos sistemas de energia elétrica brasileiros é de 60 Hz. Muitos países adotam 50 Hz para seus sistemas, como por exemplo os países europeus e o Paraguai. De modo geral, aparelhos projetados para 60 Hz são mais leves e têm custo inferior aos equipamentos de 50 Hz. Por outro lado, linhas de transmissão operando com 50 Hz apresentam perdas menores, já que tais perdas são quase diretamente proporcionais à frequência. Fase, ou ângulo de fase, de uma onde senoidal, é o ângulo medido desde o ponto zero sobre a onde até o valor correspondente ao ponto inicial da contagem do tempo; na Figura 1.3, é o ângulo Ɵ. Então, uma senóide com ângulo de fase Ɵ será expressa por:
e = Em sen (𝜔𝑡 + Ɵ) (1.6)
Figura 1.3. Ângulo de fase.
Observa-se que o ângulo de fase está incluído como parte do argumento da senóide e faz com que no instante t = 0 a função assuma qualquer valor entre + Em e – Em. Note-se , ainda, que o argumento 𝜔𝑡 + Ɵ deve ser apropriadamente expresso em uma única unidade de ângulo. Na prática, costuma-se expressar 𝜔 𝑡 em radianos e Ɵ em graus. Não há inconveniência neste hábito, porque o importante nos cálculos é o ângulo de fase e não o deslocamento total.
Diferença de fase ou ângulo de diferença de fase, é a diferença entre os ângulos de fase de duas senóides de mesma frequência, como mostra a Figura 1.4. No caso, tem-se duas ondas senoidais expressas por:
v ( t ) = Vm sen (𝜔 𝑡 + Ɵ) (1.7) i ( t ) = Im sen (𝜔 𝑡 + 𝛽)
A diferença de fase entre as grandezas v ( t ) e i ( t ) é dada por Φ = Ɵ - 𝛽 e é independente do instante inicial considerado. Diz-se, para a figura citada, que a forma de onda v ( t ) está adiantada do ângulo Φ em relação à i ( t ) ou, o que é o mesmo, a grandeza i ( t ) está atrasada do ângulo Φ em relação à v ( t ). Existe atraso de certa grandeza alternada em relação a outra quando um determinado ponto em sua onda é alcançado depois de a outra já o ter alcançado. Em outras palavras: o máximo positivo da onda adiantada ocorre antes do máximo positivo da onda atrasada.
Figura 1.4. Desafagem angular entre duas senóides.
Exemplo 1.1. Considere as seguintes grandezas senoidais:
𝑣 1 (𝑡) = 1 sen (𝜔 𝑡 − 20 𝑜) 𝑣 2 (𝑡) = 2 sen (𝜔 𝑡 − 10 𝑜) 𝑣 3 (𝑡) = 2 , 5 sen (𝜔 𝑡 − 20 𝑜)
Determine a diferença de fase entre as grandezas quando se toma: a) 𝑣 1 (𝑡)^ como referência. b) 𝑣 2 (𝑡)^ como referência.
Solução a) Tomando-se a forma de onda 𝑣 1 (𝑡)^ como referência, nota-se que a grandeza 𝑣 2 (𝑡) está adiantada de 30º em relação à 𝑣 1 (𝑡), e 𝑣 3 (𝑡)^ está em fase com 𝑣 1 (𝑡). b) Tomando-se agora 𝑣 2 (𝑡)^ como referência, pode-se ver que 𝑣 1 (𝑡)^ ou 𝑣 3 (𝑡)^ estão atrasadas de 30º em relação a 𝑣 2 (𝑡).
o valor eficaz pode ser interpretado como sendo aquela corrente que produz o mesmo aquecimento provocado pela corrente contínua de igual valor. Em inglês o valor eficaz é chamado de root mean square value, ou abreviadamente rms. value. É comum o uso de letras maiúsculas para caracterizar valor eficaz, sem o subscrito “eficaz”, e adotar-se-à tal procedimento doravante. A partir da Equação 1.11 pode-se obter o valor eficaz da senóide i ( t ) = Im sen t conforme ilustrado pela Figura 1.5:
𝐼^2 =
1 𝑇 ∫^ 𝑖
0 =^
1 𝑇 ∫^ 𝐼𝑚
𝑇 (^2) sen (^2) 𝜔 𝑡 𝑑𝑡 0
Figura 1.5. Ilustração gráfica do valor eficaz de i ( t ).
𝐼 = √valor médio de 𝑖^2 (𝑡)
Mas: sen^2 𝜔 𝑡 = 1 2 −^
1 2 cos 2^ 𝜔^ 𝑡
E portanto: 𝐼^2 = 𝐼𝑚^2 2 𝑇 ∫^ (^1 −^ cos^2 𝜔^ 𝑡)𝑑𝑡
𝑇 0 =^
𝐼𝑚^2 2 𝑇 [𝑇]^ −^
𝐼𝑚^2 4 𝜔 𝑇 [sen^2 𝜔^ 𝑡]^0
𝑇
Ao final: 𝐼 = 𝐼𝑚 √^
É importante destacar que a Equação 1.13 só é válida para funções senoidais.
1.3 Fasores
No trato de circuitos de corrente alternada em regime permanente, surge a todo instante a necessidade de se efetuar operações algébricas de duas ou mais senóides de mesma frequência sendo que, normalmente, essas senóides diferem apenas em amplitude e em fase. Tais operações são muito trabalhosas e a ideia de simplificá-las, exposta a seguir, foi proposta por Charles P. Steinmetz, em 1893. Levando-se em conta a identidade de Euler:
𝑒𝑗^ 𝜔^ 𝑡^ = cos 𝜔 𝑡 + 𝑗 sen 𝜔 𝑡 (1.14)
onde 𝑗∆√−
pode-se expressar uma senóide da seguinte maneira:
𝑖 (𝑡) = 𝐼𝑚sen 𝜔𝑡 = 𝐼𝑚𝑎𝑔 (𝐼𝑚𝑒𝑗𝜔𝑡) = (1.15) = 𝐼𝑚𝑎𝑔(𝐼𝑚 cos 𝜔𝑡 + 𝑗𝐼𝑚sen 𝜔𝑡)
Na Equação 1.15 Imag significa “Parte Imaginária de”. A função exponencial 𝑒𝑗𝜔𝑡^ pode ser considerada como um operador rotacional, de amplitude unitária. Quando aplicado a uma grandeza, ele a faz girar com velocidade angular 𝜔. Desta forma, os valores instantâneos de uma função senoidal podem ser obtidos projetando-se sobre um eixo vertical normal à origem dos tempos, o extremo A de um
segmento 𝑂𝐴, que gira em torno de um ponto O , com velocidade angular 𝜔, conforme mostra a Figura 1.6.
Figura 1.6. Projeção instantânea do segmento girante OA sobre um eixo vertical.
A velocidade angular do segmento 𝑂𝐴 deve ser tal que este descreva uma rotação
completa no tempo T que representa o período da senóide em questão. O segmento 𝑂𝐴 deve ainda ser tomado igual à amplitude da senóide representada. Considere-se, agora, um sinal senoidal da forma:
r (t) = Rm sen(𝜔 t + Ɵ) (1.16)
Ele pode ser expresso por: 𝑟 (𝑡)^ = 𝑅𝑚sen(𝜔 𝑡 + 𝜃)^ = 𝐼𝑚𝑎𝑔[𝑅𝑚cos(𝜔 𝑡 + 𝜃)^ + 𝑗𝑅𝑚sen(𝜔 𝑡 + 𝜃)]^ = = 𝐼𝑚𝑎𝑔[𝑅𝑚𝑒𝑗^ (𝜔^ 𝑡+𝜃)] = 𝐼𝑚𝑎𝑔[𝑅𝑚𝑒𝑗^ 𝜔^ 𝑡𝑒𝑗^ 𝜃] = = √ 2 𝐼𝑚𝑎𝑔 [
𝑅𝑚 √ 2 𝑒
𝑗 𝜔 𝑡𝑒𝑗 𝜃] = √ 2 𝐼𝑚𝑎𝑔[𝑅̅ 𝑒𝑗 𝜔 𝑡]
onde:
𝑅̅∆ 𝑅𝑚 √^
𝑒𝑗 𝜃^ =
𝑅𝑚 √^
é definido como F A S O R da forma de onda instantãnea r ( t ). Esta é a denominada representação polar do fasor, ilustrada pela Figura 1.7; em certas circunstâncias, como será visto mais adiante, é mais conveniente utilizar a chamada forma retangular do fasor:
Figura 1.8. Vide exemplo 1.4.
E a corrente instantânea correspondente é: 𝑖 = √2 (11,36)sen(𝜔𝑡 − 26,12o) = 16,06sen(𝜔𝑡 − 26,12o)
A Figura 1.8 apresenta o diagrama fasorial correspondente.
Exemplo 1.5 Determine o quociente
𝐴̅ 𝐵̅ 𝐶̅ onde 𝐴̅ = 10/−30o 𝐵̅ = 5,19/35,27o 𝐶̅ = 7,21/13,89o Portanto: 𝐴̅ 𝐵̅ 𝐶̅ =^
10/−30o^ 5,19/35,27o 7,21/13,86o^ = 7,19/−8,
o
Tabela 1.
1.4 Impedância de Elementos Passivos
Os trés elementos de circuitos, passivos, ideais, invariantes no tempo, lineares, bem como as leis que os regem, são apresentados na Tabela 1.1.
1.4.1 Impedância Complexa
Na prática, o resistor pode ser variável com a frequência; o indutor, por ser constituído de bobinas de cobre e núcleo ferromagnético, pode apresentar um modelo bastante complexo incluindo não linearidade; o capacitor não foge à regra porquanto, sendo composto por dielétrico entre placas, pode apresentar resistência de fuga. A modelagem dos elementos dos circuitos é variável em função da precisão desejada. Contudo, considerar-se-á ao longo do texto que os elementos dos circuitas são ideais, passivos, lineares e invariantes no tempo. Define-se impedância complexa de um circuito passivo, linear e invariante no tempo, em regime ca, como
𝑉̅ 𝐼̅ = 𝑅 + 𝑗𝑋^ (1.18)
onde R é a parte real de 𝑍̅, conhecida por resistência; e X é a parte imaginária de 𝑍̅, classicamente chamada de reatância. Desta forma, as impedâncias dos três elementos de
circuitos apresentados na Tabela 1.1, válidos em regime ca, à frequência 𝑓 = 𝜔 2 𝜋, são Resistor: 𝑍̅𝑅 = 𝑅 Indutor: 𝑍̅𝐿 = 𝑗𝜔𝐿 Capacitor: 𝑍̅𝐶 = −𝑗 𝜔𝐶 A parte passiva das redes elétricas é obtida ligando-se os elementos recém descritos em série, em paralelo, ou em combinações dessas formas. Obtém-se assim as impedâncias de
1.5 Potência em Circuitos de Corrente Alternada
Considere as duas redes elétricas mostradas na Figura 1.10, com a potência instantânea fluindo da rede A para a rede B. Tal potência é expressa por
p(t) = v(t) i(t) (1.20)
onde supõe-se que:
v(t) = Vm sen t e i(t) = Im sen ( t – 𝜃)
Desta forma tem-se::
p(t) = v(t) i(t) = Vm sen t Imsen ( t – 𝜃)
Figura 1.10. Fluxo de potência da rede A para a rede B.
Como: sen ( t – 𝜃) = sen t cosθ – senθ cos t sen t cos t = 1 2 sen2 t sen^2 t = 1 2 -^
1 2 cos2 t
pode-se escrever:
𝑝(𝑡) = 𝑉𝑚𝐼𝑚 2 cos θ −^
𝑉𝑚𝐼𝑚 2 (cos θ𝑐𝑜𝑠2𝜔𝑡 + senθsen2𝜔𝑡)^ (1.21)
Substituindo nesta última equação a expressão entre parênteses por cos(2𝜔𝑡 − θ), obtém-se a expressão final para a portência instantânea:
𝑉𝑚𝐼𝑚 2 cos θ −^
𝑉𝑚𝐼𝑚 2 cos( 2 𝜔 𝑡 − θ)^ (1.22)
A forma de onda de p (t) é mostrada na Figura 1.11.b. Cabem aqui algumas observações importantes a respeito da Equação 1.22 e respectiva curva: a) para determinado ângulo de defasagem entre v e i, no caso, θ, a expressão da potência instantânea apresenta uma componente constante e outra variando no tempo com frequência igual a duas vezes a frequência das senóides em questão; b) a curva de p ( t ) na Figura 1.11.b apresenta valores negativos nos trechos em que v e i possuem sinais contrários, indicando devolução de potência do circuito B para a fonte (circuito A ), durante esses intervalos. Quanto maior for θ, maior será a extensão de trecho
negativo; se θ diminuir, o trecho negativo diminuirá. Quando θ = 0, a curva de p ( t ) apresenta- se totalmente acima do eixo das abcissas, sem trechos negativos, indicando circuito
puramente resistivo. Quando θ = 𝜋 2 ´, a curva da potência instantânea mostrará áreas positivas exatamente iguais às áreas negativas, cancelando-se mutuamente e evidenciando que não há consumo de potência no circuito. c) o ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente (θ, no caso) é devido aos parâmetros do circuito ( R, L, C ) e varia de − 𝜋 2 ´^ a +^
𝜋 2 ´.
Figura 1.11. Formas de onda de v ( t ), i ( t ) e p ( t ).
Como o valor da potência instantânea muda a todo instante, é mais conveniente trabalhar com o seu valor médio. Já que se trata de uma função periódica, seu valor médio ao longo de um ciclo será obtido por:
𝑃𝑚é𝑑𝑖𝑎 = 1 𝑇 ∫^ 𝑝
𝑇 0 (𝑡)𝑑𝑡 =^
1 𝑇 {∫^
𝑉𝑚𝐼𝑚 2 cos θ 𝑑𝑡 − ∫^
𝑉𝑚𝐼𝑚 2 cos (2𝜔𝑡 − θ)𝑑𝑡
𝑇 0
𝑇 0 }
Como ∫ 𝑉𝑚𝐼𝑚 2 cos (2𝜔𝑡 − θ)𝑑𝑡 =
𝑇 0 0, resulta para a potência média a expressão:
𝑃𝑚é𝑑𝑖𝑎 =
𝑉𝑚𝐼𝑚 2 cos θ =^
𝑉𝑚 √2 ∙^
𝐼𝑚 √2 cos θ = 𝑉𝐼 cos θ^ (1.23)
Este resultado tem um importante significado físico porquanto representa a taxa de variação média de energia que flui da rede A para a rede B. Essa potência, denominada Potência Ativa, representa efetivamente a taxa de energia consumida no circuito.
P – watt [W] e seus múltiplos [kW], [MW]. Q – volt-ampére-reativo (VAr] e seus múltiplos [kVAr], [MVAr].
Costuma-se ilustrar o relacionamento entre S, P e Q fazendo uso da imagem de um copo cheio de cerveja, como mostra a Figura 1.12. O volume total do copo corresponde à potência aparente S; o volume ocupado pelo líquido (cerveja) corresponde à potência ativa P; e o volume ocupado pela espuma corresponde à potência reativa Q. A potência ativa (líquido, na comparação) é a que de fato produz trabalho. A potência reativa ou potência magnetizante (espuma, na comparação) propociona o fluxo magnetizante indispensável ao funcionamento de motores e transformadores. A soma fasorial de ambas resulta na potência aparente (tal qual, no copo, a soma de líquido e espuma resulta no volume total do copo). O volume total do copo limita a quantidade de líquido e a quantidade de espuma que o copo pode conter. De modo análogo, a potência aparente dos equipamentos elétricos limita os valores de suas potências ativa e reativa. Para o mesmo valor de S, o aumento de P implica na diminuição de Q; o aumento de Q implica na diminuição de P.
Figura 1.12 – copo contendo cerveja e espuma em analogia às potências aparente, ativa e reativa
Suponha-se, por exemplo, um transformador cuja “capacidade” esteja toda esgotada. Um aumento na carga ativa por ele atendida iria exigir uma redução da carga reativa, pois se tal não ocorresse o transformador teria sua vida útil diminuída em virtude da sobrecarga a ele imposta. Tudo se passa como no caso do copo de cerveja: o aumento da espuma implica em menor volume para o líquido; e vice-versa.
Exemplo 1.9 Calcule a potência complexa gerada pela fonte de tensão correspondente ao circuito mostrado na Figura 1.13.
Figura. 1.13. Vide exemplo 1.9.
Solução 𝑍 ̅ = 10 + 𝑗(8 − 10) = 10 − 𝑗2 = 10,2/ − 11,31o^
𝐼̅ =
100/ 0o 10,2/ − 11,31o^ = 9,8/ 11,
o (^) A
𝑆̅ = 𝑉̅𝐼̅∗^ = 100/0o^ ∙ 9,8/ − 11,31o= 980/ −11,31o^ = 961 – j 192 VA
O sinal negativo da potência reativa caracteriza carga predominantemente capacitiva. Significa que o gerador está recebendo potência reativa que é fornecida pela rede formada pelos elementos passivos. No caso, fornecida pelo resultado líquido da potência reativa do capacitor menos o consumo da reatância indutiva do indutor.
1.7 Fator de Potência
Considere na Figura 1.10 que a rede A seja ativa e a rede B passiva. Neste caso, é mais conveniente representar a rede passiva por sua impedância equivalente:
𝑉̅ 𝐼̅ =^
𝑉/𝛼 𝐼/𝛽 =^
𝑉 𝐼 /𝛼 − 𝛽 =^
𝑉 𝐼 /ϕ^ (1.28)
onde ϕ é também a fase da impedância 𝑍̅. Observe que este ângulo é o mesmo da expressão 1.27. Define-se fator de potência como o quociente da potência ativa pela potência aparente. Ou Seja:
𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 (𝐹𝑃) = 𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐴𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
O fator de potência é igual ao cosseno do ângulo ϕ. No chamado triângulo de potências, visto na Figura 1.14, está assinalado o ângulo ϕ.
Figura 1.14. Triângulo de potências.
