Fasores e impedância, Notas de aula de Circuitos Elétricos

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CIRCUITOS

ELÉTRICOS II

UNIDADE 1

 Seção 1.2 – Fasores e impedância

 (^) Quando um circuito elétrico é excitado por uma fonte de corrente alternada, os instantes iniciais correspondem à resposta transitória regida pelas equações diferenciais que compõem o modelo completo do sistema;  (^) Quando este período transitório termina, as tensões e as correntes deste circuito podem ser representadas puramente por funções senoidais iniciando o regime permanente;  (^) Para facilitar a análise matemática de circuitos elétricos de corrente alternada (CA) em regime permanente, utilizamos a representação da função senoidal por meio de um fasor;  (^) Uma função senoidal é representada por uma amplitude de pico Ap , uma frequência angular ω e uma fase φ, parâmetros que não variam com o tempo, Tal equação consiste em uma generalização das equações senoidais para tensão e corrente vistas na seção anterior.

 (^) Por exemplo, no instante de pico positivo, o vetor assume sendo 90° = π/2 rad, e no instante de pico negativo, o valor corresponde a , sendo 270° = 3π/2 rad;  (^) Assim, essa representação vetorial pode ser utilizada para representar de forma simplificada um sinal senoidal, dando origem à notação fasorial em circuitos CA;  (^) Tal notação consiste na representação da senoide por meio de um vetor estático cujo módulo (ou intensidade) é o valor eficaz da grandeza elétrica Ap/√2 (que pode ser tensão, corrente, potência, etc.) e o ângulo de fase corresponde ao ângulo que o vetor forma com o eixo real em t = 0s. Este ângulo corresponde ao ângulo de defasagem do sinal (ou fase) θ;  (^) O valor eficaz é utilizado, pois corresponde ao valor medido por instrumentos tais como o multímetro e também o mais utilizado na análise de circuitos CA. A representação do sinal senoidal da equação em t = 0s está ilustrada na figura a seguir para diferentes sinais senoidais.

 (^) A relação entre as formas polar e retangular pode ser vista na figura e as relações entre r , ɸ , x e y são dadas nas equações;  (^) Para realizar operações de adição e subtração, são utilizadas as propriedades conforme as equações;

 (^) Visto o conceito de notação fasorial, é possível iniciar a análise de circuitos elétricos CA em regime permanente por meio de fasores. Primeiro precisamos entender a resposta de elementos básicos, sendo eles o resistor, o capacitor e o indutor, às tensões e correntes senoidais;  (^) Em seguida, aplicando a lei de Ohm nos três circuitos, podemos obter a corrente que percorre cada um dos elementos e/ ou a queda de tensão provocada por ela;  (^) Na figura abaixo observamos um circuito puramente resistivo cuja corrente de entrada CA é dada por: Então a tensão sobre ele será: E, portanto,

 (^) Já figura a seguir observamos um circuito capacitivo cuja tensão é dada por: A oposição à corrente alternada provocada pelo capacitor é denominada reatância capacitiva , e este valor é inversamente proporcional à frequência do sinal aplicado e ao valor da capacitância, conforme a equação. Aplicando a derivada da tensão sobre o capacitor, chegamos à corrente que o percorre: Portanto,

 (^) Para um dispositivo resistivo, a corrente que o atravessa e a queda de tensão que ela provoca estão em fase , como pode ser visto na figura. Neste caso, os valores de pico de tensão e correntes são relacionados pela lei de Ohm. Além disso, o valor da resistência não é influenciado pela frequência do sinal de alimentação aplicado.  (^) Para o circuito indutivo, observe que o comportamento do indutor é caracterizado por uma oposição à variação de corrente, por isso ele sempre provoca um atraso de 90º da corrente em relação à tensão, como pode ser visto na figura.

 (^) Com isso, são dadas as relações entre os fasores de tensão e corrente obtidas para os elementos resistor, indutor e capacitor respectivamente:  (^) Escrevendo as relações como função da razão entre a tensão e a corrente podemos relacionar as expressões resultantes com a lei de Ohm: Onde Z é denominada impedância do circuito em Ohm (Ω). Temos, assim, as impedâncias para resistores, indutores e capacitores respectivamente: A combinação entre elementos resistivos, indutivos e capacitivos resulta em uma impedância na forma da equação , onde:  (^) Assim como a impedância Z representa uma oposição ao fluxo de corrente alternada (CA), a habilidade que um condutor tem de conduzir corrente CA é chamada de admitância Y, cuja unidade é Siemens (S).

A admitância é dada por: Onde G é acondutância e B é a susceptância do circuito, ambas com unidade Siemens (S). Dado o conceito de impedância e a sua representação fasorial, os circuitos CA podem ser analisados de forma análoga aos circuitos CC, trocando-se a resistência R pela impedância Z, como veremos a seguir; Considerando N impedâncias conectadas em série, conforme a figura, a impedância total equivalente do circuito é dada pela soma das impedâncias;

 (^) Para o circuito apresentado pela figura: a. Obtenha a tensão na fonte em forma de fasor. b. Calcule as reatâncias X L e XC , se w = 1000 rad/s. c. Obtenha as impedâncias relacionadas aos elementos resistor, capacitor e indutor. d. Calcule a impedância total (ZT ) do circuito e desenhe o diagrama de impedâncias. e. Calcule a corrente na fonte em forma de fasor e desenhe o diagrama fasorial de tensão e corrente do circuito. f. A partir da corrente em forma de fasor, obtenha a expressão da corrente na forma temporal.

EXEMPLO

 Resolução :

a. Para calcular o fasor de tensão: b. Calculando as reatâncias segundo as equações, obtemos: c. As impedâncias são dadas por: e a. A impedância total consiste na soma das impedâncias resistiva, capacitiva e indutiva, pois os elementos estão em série.

 (^) Para finalizar, vamos observar um caso especial que ocorre quando as reatâncias capacitiva e indutiva se anulam. Na figura, vemos o comportamento da reatância do capacitor e indutor em função da frequência. Em um determinado ponto, as reatâncias se cruzam, ou seja, para uma determinada frequência , anulando a reatância equivalente do circuito. Esta frequência é denominada frequência de ressonância do circuito, dada pela equação. Ou em Hz:

 Determinação da corrente nominal para especificação de

um fusível em uma fábrica

Você é o responsável técnico pelo projeto e manutenção de um circuito interno de uma fábrica. O projeto apresenta quatro equipamentos elétricos e um fusível de proteção contra sobrecorrentes que ainda deve ser dimensionado. Uma das características necessárias para o dimensionamento do fusível é a corrente nominal do circuito, ou seja, o valor de corrente que ele deve suportar continuamente sem romper. Esta corrente nominal corresponde à corrente do circuito quando todos os equipamentos estiverem em operação As características das cargas foram disponibilizadas pela fábrica e constam no circuito desenhado a seguir. Como você faria para obter a corrente nominal do fusível?