Universidade Federal de Campina Grande
Centro de Engenharia Elétrica e Informática
Departamento de Engenharia Elétrica
Circuitos Elétricos II
Notas de Aula
Francisco das Chagas Fernandes Guerra
Campina Grande - PB
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Análise de Circuitos Elétricos: Fasores, Impedância e Potência - Notas de Aula, Notas de aula de Circuitos Elétricos
Apostila utilizada para a disciplina de circuitos elétricos.
Tipologia: Notas de aula
2020
1 / 156
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Departamento de Engenharia Elétrica
Circuitos Elétricos II
Notas de Aula
Francisco das Chagas Fernandes Guerra
Campina Grande - PB
UNIDADE I
ANÁLISE DE CIRCUITOS EM REGIME SENOIDAL
1. Introdução
Este capítulo trata da análise de circuitos que operam em regime permanente sob excitação senoidal. São estabelecidas as definições de fasor, impedância e admitância, formulando-se as leis de Kirchhoff no domínio da frequência. Descreve-se o processo de construção de diagramas de impedâncias e de diagramas fasoriais. Também é estudado o fenômeno de ressonância.
Em seguida, são apresentados os conceitos de potência instantânea, ativa, reativa, aparente e complexa, além de fator de potência.
Finalmente, são estudados aspectos relacionados à transmissão de energia em circuitos de corrente alternada, demonstrando-se o teorema da máxima transferência de potência e estabelecendo-se considerações sobre aplicação de capacitores para correção do fator de potência.
2. Resposta à Excitação Senoidal
A Fig. 1.1 ilustra o fenômeno de curto-circuito que ocorre em uma linha de transmissão de energia elétrica. Os parâmetros R e L são, respectivamente, a resistência e a indutância em série da linha e RL é a resistência da carga. Na frequência de 60 Hz, as capacitâncias podem ser desprezadas. Em t = 0, o curto-circuito é estabelecido através do fechamento da chave, quando o valor instantâneo da corrente é i(0) = I 0.
Fig. 1.1. Simulação de um curto-circuito em uma linha de transmissão.
Se v(t) = Vm sen( ω t + θ), tem-se:
()+ Ri(t)=V sen(ω t+ θ ) dt
L di^ t m (1.1)
Esta equação diferencial tem a seguinte solução:
m m sen e RL^ t R L
sen t I V R L
i t V ( / ) ( ) 2 2 2 ( ) 0 2 2 2 ( ) −
= θ α ω
ω θ α ω
α = tan −^1 ( ω L/R) (1.3)
A representação de Z no plano complexo (plano Argand-Gauss) é mostrada na Fig. 1.3.
Fig. 1.3. Representação de um número complexo no plano Argand-Gauss.
Z = a^2 +b^2 (1.6)
θ =tan −^1 ( b/a) (1.7) A seguir, são definidos os operadores Re e Im, que tomam, respectivamente, as parte real e imaginária de Z, ou seja:
Re ( Z ) =Re( Zej^ θ) =Re( Zcosθ+jZsenθ) =Zcos θ=a (1.8) Im ( Z ) =Im( Zej^ θ) =Im( Zcosθ+jZsenθ) =Zsen θ=b (1.9) Seja uma função expressa no domínio do tempo através da seguinte expressão: f (t )=Fm cos ( ω t+ φ) (1.10)
A função f( t ) é identificada por:
- Fm - Amplitude, em unidades de f( t ).
- ω - Frequência angular, em radianos/s.
- φ - Defasagem angular, em radianos.
Para a frequência angular, tem-se ω = 2πf = 2π / T, onde f é a frequência em Hertz e T é o
período em segundos.
Pode-se ainda escrever f( t ) como: f ( t) = Re[ Fm cos(ω t+φ) +jFmsen( ωt+ φ) ]=Re[Fmej(^ ωt+φ^ )^ ]=Re[Fmejφ.ej^ ωt] (1.11) A seguir, considera-se a seguinte grandeza complexa: j φ F =Fm e (1.12) Esta grandeza é definida como o fasor de f (t). Assim, partindo-se da função cosseno, o fasor desta função é um número complexo cujo módulo é a amplitude Fm, e cujo ângulo de fase é a
defasagem angular, φ.
Uma observação importante é que o fasor não contém a informação da frequência angular,
ω. Isto pode ser entendido se é considerado o operador F , tal que:
F =F (^) m ej^ φ= F [ f(t)] (1.13)
O operador F estabelece uma correspondência entre as representações do sinal no domínio do tempo e no domínio da frequência. Assim, a informação da frequência torna-se implícita. Da mesma forma, tem-se:
f ( t)= Fmcos (ω t+ φ)= F -1 [ F] (1.14)
A maioria dos autores define fasor a partir da função cosseno. Entretanto, esta definição pode ser feita a partir da função seno, desde que se faça:
f ( t) = Im[ Fm ejφ.ej^ ωt] (1.15)
A representação de um fasor também pode ser feita pela notação de Steinmetz, ou seja:
F = Fm∠ φ (1.16)
Outra observação é que o módulo de um fasor também pode ser tomado como sendo o valor eficaz da onda (fasor eficaz), ao invés da amplitude (fasor amplitude). Assim, também é usual assumir:
F = ( Fm / 2 )∠φ =Fe∠ φ (1.16)
Por enquanto, será considerado o fasor amplitude. Nas aplicações relacionadas a potência elétrica, o fasor eficaz passará a ser utilizado.
Exemplo 1 - Calcular o fasor de f( t)= 220 2 cos( 2 π. 60 t+ π/ 3 ) Solução - Pela definição de fasor amplitude, tem-se:
F= 220 2 ej^ π^ /^3 = 220 2 ∠ π/ 3
f( t) =Re[ 220 2 ej^ π/^3 .ej^120 πt ]
Exemplo 2 - Calcular a função no domínio do tempo cujo fasor amplitude é F = 110 √ 2 ∠- π/3.
Solução - Dos desenvolvimentos anteriores: ( )
[ 110 2 ( / 3 ) 110 2 ( / 3 ) ]
( ) [ 110 2 /^3 ] [ 110 2 /^3 ]
π ω ω π
= − + −
Re cos t j sen t
f t Re e j .ejt Re ej t
f(t)= 110 2 cos(ω t− π/ 3 )
Exemplo 3 - Calcular o fasor de f( t)= 110 2 sen( 2 π. 60 t− π/ 2 ).
Solução - Transformando a função em cosseno, tem-se: f (t)= 110 2 cos ( 2 π. 60 t−π/ 2 −π/ 2 ) = 110 2 cos( 2 π. 60 t−π) =− 110 2 cos( 2 π. 60 t)
I
Z = V (1.17)
A unidade de impedância é ohm (Ω). Apesar de ser um número complexo igual à razão entre dois fasores, a impedância não é um fasor, pois não representa uma grandeza que varia senoidalmente com o tempo.
Considerando o mesmo elemento de circuito, define-se admitância como a relação entre o fasor corrente e o fasor tensão, ou seja, o inverso da impedância:
V Z
Y = I =^1 (1.18)
A unidade de admitância é o Siemens ( S ).
4.2 Impedância de um Resistor
No domínio do tempo, tem-se para o resistor: v( t)= Ri(t ) (1.19)
i( t)= Re[ I ej^ ωt ] (1.20) Como o operador Re é linear, tem-se: v( t)= R.Re[I ej^ ωt^ ]=Re[R.Iejωt]=Re[Vej^ ωt ] (1.21) Assim, resulta: V = R I (1.22) Considerando o ângulo de fase da corrente igual a φ, vê-se na Fig. 1.5 que, no caso do resistor, os fasores tensão e corrente acham-se em fase.
Fig. 1.5. Fasores tensão e corrente no caso de um resistor. Como Z = V / I, a impedância do resistor é numericamente igual à sua resistência (número real), ou seja:
Z (^) R= R (1.23) A admitância do resistor é:
G R (^) R R
= 1 =^1 =
Z
Y (1.24)
A grandeza G recebe o nome de condutância, expressa em siemens (S ).
4.3 Impedância de um Indutor
Para o indutor, pode-se escrever no domínio do tempo:
[Re ej^ t ] Re[ j L ejt] Re[ ejt] dt
L^ d dt
v(t )= Ldi(^ t)= (I. ω) = ω I. ω = V.^ ω
V = j ωL I (1.26)
L = I =j^ ωL=jX L
Z V
Vê-se que a impedância de um indutor é um número imaginária puro. A grandeza XL = ω L é
denominada reatância indutiva, expressa em ohms (Ω). Fazendo o ângulo de fase de V igual a φ, tem-se V = Vm ∠φ e I = Im ∠θ. o problema consiste em calcular a defasagem entre a corrente e a tensão; assim:
φ= ω θ= 1 π/ 2 ω θ = ω j(θ+ π/ 2 )
m
j m
j j m
j Vm e j LI e e LI e LI e (1.28)
Assim, tem-se θ + π /2 = φ ou θ = φ - π /2. É mostrado na Fig. 1.6 que, no caso do indutor, a
corrente acha-se atrasada de 90o^ da tensão.
Fig. 1.6. Fasores tensão e corrente no caso de um indutor.
A admitância do indutor é:
L L
L = =j ωL=−j ωL=jB
Z
Y (1.29)
A grandeza BL = - 1 / ωL é denominada susceptância indutiva, expressa em siemens (S).
4.4 Impedância de um Capacitor
Para o capacitor, tem-se:
[ (^) Re ej^ t ] (^) Re[ (^) j C ejt] (^) Re[ (^) ejt] dt
C^ d dt
i(t )= Cdv(^ t)= (V. ω)= ω V. ω = I.^ ω
I = j ωC V (1.31)
C = = j ωC=−j ωC=jX C
I
Z V
Através de desenvolvimento análogo ao anterior, chega-se à conclusão de que a lei de Kirchhoff dos nós também permanece válida no domínio da frequência, ou seja:
I 1 + I 2 +...+In= 0 (1.39)
Neste ponto, conclui-se que os conceitos de fasor, impedância e admitância proporcionam notável simplificação na análise de circuitos em regime estacionário com excitação senoidal, pois as equações integrodiferenciais que descrevem os circuitos com capacitores e indutores podem ser substituídas por equações algébricas de variáveis e coeficientes complexos.
6. Associações de Elementos no Domínio da Frequência
São mostradas na Fig. 1.8 n impedâncias ligadas em série. Para a tensão V, pode-se escrever: V = Z 1 I +Z 2 I+... +Zn I= ( Z 1 +Z 2 +...+Zn) I=ZabI (1.40)
Fig. 1.8. Associação de impedâncias em série. A impedância equivalente vista dos terminais ab é:
Z ab = Z 1 +Z 2 +...+Z n (1.41)
Assim, a impedância equivalente a várias impedâncias ligadas em série é igual à soma dessas impedâncias.
Em termos de admitâncias, a associação em série é feita da seguinte forma:
Yab Y Y Y n
1 2
Uma associação de n impedâncias ligadas em paralelo é mostrada na Fig. 1.9.
Fig. 1.9. Associação de impedâncias em paralelo. Para a corrente I, tem-se:
n n Z ab
V V
Z Z Z Z
V
Z
V
Z
I V =
= + +...+ =^1 +^1 +...+^1
Zab Z Z Z n
1 2
Esta impedância indica que, numa associação em paralelo de impedâncias, o inverso da impedância equivalente é igual à soma dos inversos das impedâncias individuais.
Pela definição de admitância, conclui-se que:
Yab = Y 1 +Y 2 +...+Y n (1.45)
Na Fig. 1.10 são mostradas associações RL e RC em série.
( a ) ( b ) Fig. 1.10. ( a ) Associação RL em série; ( b ) Associação RC em série. No caso da Fig. 1.10 (a) e da Fig. 1.10 (b) tem-se, respectivamente, as seguintes impedâncias: Z (^) RL=R+j ω L (1.46)
ωC
Z (^) RC=R − j^1 (1.47)
Para as admitâncias, pode-se escrever:
( )^2 ( )^2 ( )^2
R ωL
j L R ωL
R
R ωL
R j L RL (^) R j L (^222) +
=^ −
=^ ω^ ω
Y (1.48)
ωC
R
j ωC
ωC
R
R
ωC
R
C
R j
C
R j^222
RC^ ω ω
Y (1.49)
Na Fig. 1.11 são mostradas associações RL e RC em paralelo.
( a ) ( b ) Fig. 1.11. ( a ) Associação RL em paralelo; ( b ) Associação RC em paralelo.
o
IL = 5 ∠− 45
o
X L L 2 000 x 5 x 1010 L j 10 10 90
= ω = −^3 = Ω ∴ Z = = ∠
V= ZL IL= ( 10 ∠ 90 o)( 5 ∠− 45 o) = 50 ∠ 45 o
R o^ o R
I = V=^50 ∠^45 = ∠
o o o IT = IR+IL= 5 ∠ 45 + 5 ∠− 45 = 5 2 ∠ 0
iT = 5 2 sen( 2000 t )
Exemplo 6 – O capacitor de 35 μF da Fig. 1.13 está em paralelo com um certo elemento. Identificar o elemento, sabendo que a tensão e a corrente total são, respectivamente, v = 150 sen(3000t) e iT = 16,5 sen(3000t + 72,4o).
Fig. 1.13. Circuito do Exemplo 5. Solução – Neste caso, os fasores são determinados a partir da função seno; assim:
V= 150 ∠ 0 o^ , IT= 16 , 5 ∠ 72 , 4 o
o C j^ C j 3000 x 35 x 10 j^9 ,^529 ,^5290
Z = − ω =− − 6 =− = ∠−
o o
o C (^9) , 52 90 15 ,^7590
Z C
I V
I (^) Z = IT−IC= 16 , 5 ∠ 72 , 4 o− 15 , 75 ∠ 90 o= 5 , 06 ∠ 0 o ∴ = = ∠ = 29 , 6 Ω 5 , 06
150 0 o IZ
Z V
O elemento é um resistor. Isso poderia ser concluído de imediato, pois os elementos são ideais e v e iT apresentam defasagem de 72,4o.
7. Diagramas Fasoriais
Os diagramas fasoriais são representações dos fasores tensão e/ou correntes no plano complexo, de modo a reproduzirem graficamente as leis de Kirchhoff. Na Fig. 1.14, Fig. 1.15 e Fig. 1.16 são mostrados esses diagramas para os circuitos RL, RC e RLC em série. Na Fig. 1.17, Fig. 1.18 e Fig. 1.19 são considerados os circuitos RL, RC e RLC em paralelo.
Fig. 1.14. Associação RL em série e diagrama fasorial.
Fig. 1.15. Associação RC em série e diagrama fasorial.
Fig. 1.16. Associação RLC em série e diagrama fasorial – ( a ) ||||XL|||| < ||||XC||||; ( b ) ||||XL|||| > ||||XC||||.
Uma regra a ser seguida é que a grandeza de referência deve ser aquela que seja comum ao maior número possível de circuitos. Para os elementos em série, foi tomada a corrente. Para os elementos em paralelo, foi tomada a tensão. Por simplicidade, atribui-se a essa grandeza o ângulo de fase 0o.
Exemplo 7 – Em relação ao circuito da Fig. 1.20, determinar a corrente fornecida pela fonte, a queda de tensão sobre cada elemento do circuito e esboçar o diagrama fasorial. Considera-se o fasor eficaz.
Fig. 1.20. Circuito do Exemplo 7. Solução – A impedância total do circuito é: o
ZT = 3 +j 8 −j 4 = 3 +j 4 = 5 ∠ 53 , 1
= ∠ o o
o 20 53 , 1 5 53 , 1
I 100 0 o o
VR = R I= 3 x 20 ∠− 53 , 1 = 60 ∠− 53 , 1
VL = jX LI=j 8 x 20 ∠− 53 , 1 o= 160 ∠( 90 o− 53 , 1 o)= 160 ∠ 36 , 9 o
o o o VC = −jXC I= 4 x 20 ∠(− 90 − 53 , 1 )= 80 ∠− 143 , 1
O diagrama fasorial do circuito é mostrado na Fig. 1.21.
Fig. 1.21. Diagrama fasorial do Exemplo 7. Uma observação importante é que a tensão da fonte é 100 V, enquanto a tensão no indutor é 160 V (explicar). Ainda mais, por que o diagrama da Fig. 1.21 mostra-se mais complicado que o da Fig. 1.16 (b), se o circuito considerado é o mesmo?
Exemplo 8 – No circuito da Fig. 1.22, os valores medidos das correntes i, i 1 e i 2 são, respectivamente, 29,9/√2A, 22,3/√2A e 8//√2A. Determinar os valores de R e L para f = 60 Hz.
Fig. 1.22. Circuito do Exemplo 8. Solução - Os valores de pico de i, i 1 e i 2 são, respectivamente, 29,9 A, 22,3 A e 8 A. Arbitran- do a fase de i 2 em 0 o, tem-se para o fasor amplitude de v:
= 15 = 15 x 8 ∠ 0 o= 120 ∠ 0 o
V I 2
Como os elementos se acham ligados em paralelo, é mais conveniente trabalhar com admitâncias. Assim, tem-se para o ramo RL:
0 , 1858 , 0 120 0
1 22 ,^3 = ∠− >
= = ∠^ −^ θ θ θ
V^ o
Y I
Y= 0 , 1858 (cos θ −jsen θ )
No diagrama fasorial da Fig. 1.23, tem-se:
0 , 932 2 22 , 3 8
2 29 ,^9222 ,^3282
1 2
2 2
2 1
x x
I I I I I cosθ cos θ
Fig. 1.23. Diagrama fasorial do Exemplo 8.
Assim, obtém-se θ = 21,25o. A admitância do ramo RL é, então:
L
j R
cos o j sen o
Y= 0 , 1858 21 , 25 − 0 , 1858 21 , 25 =^1 −^1
x
R
39 , 4 mH 0 , 1858 0 , 363 2 60
x x x
L
2 (^2 1)
= +^ −
ωC
Z R ωL (1.55)
ωRC
arctg ωLC- Z
2 2 1
+^ −
ωC
R ωL
Y (1.57)
ωRC
arctg ωLC- Y
São mostradas na Fig. 1.26 e a Fig. 1.27 as variações dos módulos e dos ângulos da impedância Z e da admitância Y vistas dos terminais de entrada do circuito.
Fig. 1.26. Variações do módulos e dos ângulo da impedância Z.
Fig. 1.27. Variações do módulos e do ângulos da admitância Y.
8.2 Considerações sobre Energia
Na análise a seguir, o circuito RLC em série é interpretado como um oscilador, cujo critério de avaliação de desempenho é estabelecido em termos de energia. Caso a resistência seja pequena, a energia dissipada em forma de calor também é pequena. Assim, o oscilador apresentará um comportamento próximo do ideal se as perdas ôhmicas forem muito menores que a energia armazenada. Com isso, ao se fornecer energia ao circuito, o mesmo será capaz de manter uma troca ou oscilação de energia entre capacitor e indutor durante um longo período, com um amortecimento mínimo nas amplitudes das ondas de tensão e de corrente.
Diante do exposto, é necessário estabelecer um parâmetro de avaliação do grau de influência da resistência R no processo de amortecimento das oscilações. Esse critério é expresso em termos do fator de qualidade, Q, o qual é proporcional à relação entre a energia armazenada nos elementos armazenadores de energia, em qualquer instante, durante o fenômeno de ressonância, e a energia dissipada no resistor, considerando o intervalo de um ciclo, ou seja:
ENERGIADISSIPADAPOR CICLO
Q = 2 πENERGIAARMAZENADAEMRESSONÂNCIA
Se a corrente é I = Im ∠ 0 o, então: i (t )=Imcos ω t (1.60)
A energia armazenada no indutor é:
W Lt Lit^2 LIm^2 cos^2 ω t
()^1
No capacitor, o fasor tensão é:
C
I
C
VC j I m (1.62)
No domínio do tempo:
sen t C
cos t I C
V t Im m
C(^ )=^ ω (ω −π/^2 )=ω^ ω (1.63)
A energia armazenada no capacitor é dada por:
sen t C
W t Cv t^ Im
C C ω^ ω
2 2
2 2 2
()^1
A energia total armazenada em qualquer é dada por:
= + = ^ + sen t LC