Círculo de Mohr, Notas de estudo de Engenharia Civil

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CÍRCULO DE

MOHR

PARA

TENSÕES

CÍRCULO DE

MOHR

PARA

TENSÕES

Resistência dos Materiais XI

x

y

z

σσσσ

x

σσσσ

x

σσσσ

y

σσσσ

y

ττττ

yx

τ

xy

Num certo ponto da superfície de um corpo carregado

são conhecidas as tensões em dois planos

perpendiculares

Estado Plano de Tensões

Marque as tensões normais detração à direita da origem

Marque as tensões normais decompressão à esquerda da origem

Marque para CIMA as

tensões tangenciais que giram

o elemento no sentido

HORÁRIO

Marque para BAIXO as

tensões tangenciais que giram

o elemento no sentido

ANTI-HORÁRIO

Unindo os dois pontos obtém-se a posição do centro do círculo

de Mohr

σσσσ

C

σσσσ

x

σσσσ

y

Observe o

triângulo

assinalado

Observe o

triângulo

assinalado

Trace o círculo

com centro em

C e passando

pelos dois

pontos

Trace o círculo

com centro em

C e passando

pelos dois

pontos

C

Os catetos do triângulo valem:

xy

xy

σσσσ

x

σσσσ

y

) = ½ [50-(-10)] = 30

σσσσ

x

σσσσ

y

) = ½ [50-(-10)] = 30

C

A hipotenusa é o raio R do Círculo de Mohr

R = 50

σ

máx

σ

c

+ R

σ

máx

σ

c

+ R

máx

= R = 50

máx

= R = 50

PORTANTO:

σ

mín

σ

c

- R

σ

mín

σ

c

- R

As tensões principais ficam assim determinadas:

máx

[½ (

x

y

)]

2

xy

2

máx

[½ (

x

y

)]

2

xy

2

p

c

+ R

=

x

y

[½ (

x

y

)]

2

xy

2

= 20+50=

p

c

+ R

=

x

y

[½ (

x

y

)]

2

xy

2

= 20+50=

p

c

- R =

x

y

[½ (

x

y

)]

2

xy

2

= 20-50=-

p

c

- R =

x

y

[½ (

x

y

)]

2

xy

2

= 20-50=-

A interseção dessas direções é o chamado

PÓLO

x

y

20

A direção que une o pólo ao ponto do círculo

correspondente à tensão

σ

1

é a direção 1

A direção que une o pólo ao ponto do círculo

correspondente à tensão

σ

2

é a direção 2

x

y

20

Observe que o ângulo inscrito, entre as

direções “1” e “x”, mostrado na figura :

θθθθ

1

... é igual à metade do ângulo central

assinalado:

2θ2θ2θ2θ

1111

Sendo:

tg 2

1111

xy

x

y

ττττ

xy

σ σ

σ σ

x

σσσσ

y

Para o estado de tensão em análise teremos portanto

x

y

70

70

- -

50

40

10

40

70

-

σσσσ

P

20

Alguns exemplos de estados de tensão comuns

Tração

Pura

Compressão

Pura

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

Semi

hidrostático

σ

τ

σ

τ

Corte

Puro

Flexão

Simples

Vaso de

pressão

σ

τ

Tubo sob

pressão e

torção

Tarefa: em cada caso exemplificado

indique a posição ocupada pelo pólo.

fim