aula de Círculo de Mohr, Exercícios de Engenharia Civil

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Círculo de Mohr

Círculo de Mohr

Solução gráfica e mais simples para resolver exercícios de estado plano tensão. Desenvolvidos pelo engenheiro alemão Otto Mohr.

Construção do círculo

1. Estabelecer um sistema de coordenadas onde a abcissa represente a tensão normal, positiva à direita e a ordenada represente a tensão de cisalhamento, positiva para baixo.

Construção do círculo

Usando a convenção de sinais, marcar o centro do círculo, localizado a uma distância Igual à tensão normal média da origem

𝜎𝑚𝑒𝑑 = 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 2

C

Construção do círculo

Unir os pontos C e A. Calcular o valor de CA por trigonometria. Este é o raio do círculo (R). Traçar o círculo.

𝜎𝑚𝑒𝑑

A

𝜎𝑥

𝜏𝑥𝑦

C

Tensões Principais

𝜎𝑚𝑒𝑑

A

𝜎𝑥

𝜏𝑥𝑦

C (^) R

As tensões principais (𝜎 1 𝑒 𝜎 2 ), onde 𝜎 1 ≥ 𝜎 2 , são representadas pelos pontos B e D, onde o círculo toca o eixo das tensões normais. Note que nestes pontos 𝜏 = 0.

B (^) D

𝜎 1 𝜎 2

Ângulos do plano principal

Somente um destes ângulos precisa ser calculado por trigonometria, pois 𝜃𝑃1 𝑒 𝜃𝑃2 estão defasados em 90º^.

𝜎𝑚𝑒𝑑

A direção de rotação no círculo 2 𝜃𝑃 (neste caso, sentido anti horário), é a mesma direção de rotação de 𝜃𝑃 a partir do eixo de referência (+x) para o plano principal (+x’)

Tensão de cisalhamento máxima no plano

• As componentes de tensão normal média e de tensão de cisalhamento máxima no plano são determinadas pelo círculo como as coordenadas do ponto E ou F.

Tensões em um plano qualquer

As componentes de tensão normal e de tensão de cisalhamento 𝜎𝑥′ e 𝜏𝑥′𝑦′ que agem sobre um plano especifico definido pelo ângulo 𝜃 (𝑓𝑖𝑔. 𝑒), podem ser obtidas pelo círculo usando trigonometria para determinar as coordenadas do ponto P (Fig a). Para localizar P, o ângulo conhecido 𝜃 para o plano (nesse caso, em sentido anti-horário) (Fig. e ), deve ser medido no círculo na mesma direção 2𝜃 (sentido anti-horário ), da linha de referência radial CA até a linha radial CP (fig a)

Exemplo 1 - Devido à carga aplicada, o elemento no ponto A sobre o

cilindro maciço na fig. a está sujeito ao estado de tensão mostrado na

figura. Determine as tensões principais que agem nesse ponto.

Construção do círculo:

Tensões principais

𝜎(Mpa)

𝜏(Mpa)

São indicadas pelos pontos B e D

Temos que 𝜎 1 > 𝜎 2 , onde:

MPa MPa

A orientação do elemento pode ser determinada pelo cálculo do ângulo em sentido anti-horário 2𝜃𝑃2, que define a direção 𝜃𝑃2 de 𝜎 2 e seu plano principal associado.

2,49MPa

Exemplo 2 - O estado plano de tensão em um ponto é mostrado no

elemento na Fig. a. Determine a tensão de cisalhamento máxima no

plano e a orientação do elemento sobre o qual ela age.

𝜎 2 𝜎^1

O ângulo em sentido anti-horário 𝜃𝑠1 pode ser determinado pelo círculo, identificado como 2𝜃𝑠

Esse ângulo em sentido anti-horário define a direção do eixo x' (Figura c).

Como o ponto E tem coordenadas positivas, ambas, a tensão normal média e a tensão de cisalhamento máxima no plano, agem nas direções x' e y ' positivas

Construção do círculo:

O estado plano de tensão em um ponto é mostrado no elemento na Figura. Represente esse estado de tensão em um elemento orientado a 30° em sentido anti-horário em relação à posição mostrada na figura.

Exemplo 3