Estado Plano de Tensões
Nota de aula 9 - Estado
Plano de Tensões -
Resistência dos Materiais
II
Flávia Bastos (retirado da apostila do Prof. Elson Toledo)
MAC - Faculdade de Engenharia - UFJF
2o. semestre de 2010
Flávia Bastos RESMAT II 1/16
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Plano de Tensões: Círculo de Mohr, Notas de aula de Mecânica
Aulas de resistência de materiais ii sobre o plano de tensões e o círculo de mohr, incluindo as equações para determinar as tensões normais e tangenciais em um plano qualquer, casos particulares, e a decomposição do tensor de tensão.
Tipologia: Notas de aula
2020
1 / 16
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Estado Plano de Tensões
Nota de aula 9 - Estado
Plano de Tensões -
Resistência dos Materiais
II
Flávia Bastos (retirado da apostila do Prof. Elson Toledo)
MAC - Faculdade de Engenharia - UFJF
2o. semestre de 2010
Informações sobre este documento: Estes slides servem para auxiliar no desenvolvimento expositivo durante as aulas de resistência dos materiais II ministradas pela professora Flávia Bastos e são baseados na apostila do Prof. Elson Toledo.
Círculo de Mohr
Elevando cada um dos termos das igualdades anteriores ao quadrado e somando-os obtém-se:
(σn − σm)^2 + τ (^) n^2 =
σxx − σyy 2
- τ (^) xy^2 (3)
Chamando σn = σ; τn = τ e R =
σxx−σyy 2
- τ (^) xy^2 , chegamos a:
(σ − σm)^2 + τ 2 = R^2 (4) que é a equação de uma circunferência no plano (σ, τ ) com centro sobre o eixo σ no ponto σ = σm = σxx+ 2 σyye cujo raio é o valor de R acima descrito.
Círculo de Mohr
M -> Ponto que repre- senta as tensões em torno de P na direção α.
Da figura constata- mos novamente que a máxima tensão tan- gencial vale:
τmax = R =
σξ − ση 2 (5)
Expressão do círculo de Mohr a partir
das tensões principais
Chamando σm = σξ^ + 2 ση, σn = σ, τn = τ e elevando ambas as expressões ao quadrado e somando-as resulta em:
(σ − σm)^2 + τ 2 =
σξ − ση 2
ou (^) ( σ − σξ + ση 2
- τ 2 =
σξ − ση 2
que descreve o mesmo círculo desenvolvido anteriormente já que: (^)
σxx + σyy = σξ + ση σξ −ση 2 =
σxx−σyy 2
- τ (^) xy^2 = R
Casos Particulares
i) Estado de tração simples Todas as tensões normais em torno do ponto (em qualquer direção) são de tração. Neste caso: τmax = σ 2 ξ já que ση = 0!
Casos Particulares
iii) Estado de cisalhamento simples Todas as tensões principais são iguais e de sinal contrário. τmax = |ση| = σξ.
Casos Particulares
iv) Estado de tensão uniforme ou hidrostático Neste caso σξ = ση = σ e τ = τmax = 0.
Decomposição do tensor de tensão
- Determinação das componentes σh ˜˜
e σD ˜˜
Se escolhemos as direções principais de σ para sua descrição temos:
σ ˜˜
σ 1 0 0 0 σ 2 0 0 0 σ 3
Logo podemos escrever:
σ ˜˜
σ 1 0 0 0 σ 2 0 0 0 σ 3
(^) = p
σ 1 − p 0 0 0 σ 2 − p 0 0 0 σ 3 − p
Decomposição do tensor de tensão
Verificação: pela invariância da soma da diagonal principal do tensor de tensão temos que:
σ 1 + σ 2 + σ 3 = 3p + (σ 1 − p) + (σ 2 − p) + (σ 3 − p) (14) Escolhendo para σD ˜˜
tensor com traço nulo (soma da diagonal principal), temos que:
σ 1 + σ 2 + σ 3 = 3p (15) e que
p = σ 1 + σ 2 + σ 3 3
Decomposição do tensor de tensão
Concluindo, podemos afirmar que, se σ ˜˜
σxx τxy τxz τyx σyy τyz τzx τzy σzz
então:
σh ˜˜
σxx + σyy + σzz 3
e:
σD ˜˜
σxx − p τxy τxz τyx σyy − p τyz τzx τzy σzz − p
(^) com p = σxx^ +^ σyy^ +^ σzz 3
(20)