Ciclo Trigonométrico: Compreendendo Ângulos, Arcos e Conversões, Slides de Matemática

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ENSINO MÉDIO

Ciclo trigonométrico

Chamamos de CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO (circunferência

trigonométrica ou ciclo trigonométrico) a circunferência orientada,

de centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas

ortogonais, cujo raio tem 1 unidade de comprimento e na qual o

sentido positivo é o anti-horário.

CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO LEMBRE-SE: Todo círculo trigonométrico tem início no ponto A (1,0) e gira sempre no sentido anti-horário, ou seja, sentido positivo.

QUADRANTES Os eixos x e y dividem a circunferência em 4 partes congruentes, chamadas de quadrantes. No círculo trigonométrico registramos as medidas dos ângulos que podem estar em graus ou em radianos. ATENÇÃO:

• Marque os quadrantes no seu ciclo trigonométrico.
• Marque o sentido positivo e negativo.

Dados dois pontos distintos A e B sobre uma circunferência, esta fica dividida em duas partes. Cada uma dessas partes, que incluem A e B, é denominado arco de circunferência AB. ARCOS Em particular, se os pontos A e B coincidem, eles determinam dois arcos: um deles é um ponto (denominado arco nulo) e o outro é a circunferência (denominado arco de uma volta).

1 ° (UM GRAU) corresponde a 1 / 360 da circunferência. A circunferência é dividida em 360 partes iguais ligadas ao centro, sendo que cada uma delas apresenta um ângulo que corresponde a 1 °. ÂNGULOS - grau: Transferidor: usado para medir ângulos.

Voltando ao seu Ciclo Trigonométrico: ÂNGULOS: 135 ° 45 ° 225 ° 315 ° NO SEU CICLO TRIGONOMÉTRICO:

• Usando um transferidor, marque todos os ângulos múltiplos de 10.
• Marque ainda os seguintes ângulos: 45 °, 135 °, 225 ° e 315 °.

Na conversão de graus para radianos utilizamos a REGRA DE TRÊS SIMPLES: TRANSFORMAÇÃO DE GRAUS PARA RADIANOS: 𝜋𝑟𝑎𝑑 = 180° EXEMPLOS: Transforme as medidas em graus abaixo para medidas em radianos: a) 30 o b) 45 o c) 240 o NO SEU CICLO TRIGONOMÉTRICO:

• Ao lado de cada ângulo marcado em graus escreva ele em radianos.

Na conversão de radianos para graus basta substituirmos 𝝅𝒓𝒂𝒅 por

180 °. TRANSFORMAÇÃO DE RADIANOS PARA GRAUS: 𝜋𝑟𝑎𝑑 = 180° EXEMPLOS: Transforme as medidas em radianos abaixo para medidas em graus:

a)

𝜋 15

b)

8 𝜋 9

c)

16 𝜋 3

Se uma circunferência de 3 m de raio contém um arco de 6 m de comprimento, tanto o ângulo central correspondente como o arco medem? ATENÇÃO: Para medir o comprimento de um arco, dado em graus o ângulo centraI correspondente, deve ser considerado o comprimento da circunferência da qual o arco faz parte e qual parcela do arco total (de 360 °) representa o ângulo central dado. Temos então que: EXEMPLOS: 𝑙 = 𝛼. 𝑟 𝑙 = 𝛼. 𝑟. 𝜋 180° 𝑙 = 𝛼. 𝑟. 𝜋 180°

Calcular o comprimento de um arco de 30 o , em uma circunferência de raio 4 cm. EXEMPLOS: 𝑙 = 𝛼. 𝑟 𝑙 = 𝛼. 𝑟. 𝜋 180°

Ache o raio da circunferência de centro O de cada caso: EXEMPLOS: 𝑙 = 𝛼. 𝑟 𝑙 = 𝛼. 𝑟. 𝜋 180°

Arcos côngruos são aqueles que ultrapassam de uma volta, ou seja, passam de 360 o

. Para determinar as características deste ângulo devemos determinar a sua correspondência na primeira volta POSITIVA. Se um arco mede α graus, podemos expressar todos os arcos côngruos a ele da seguinte forma: Caso a medida do ângulo do arco seja dada em radianos, representamos por: ARCOS CÔNGRUOS: 𝛼 + 360 °.k, com k ∈ Z 𝛼 + 2 π.k , com k ∈ Z

Determine o menor arco côngruo e o número de voltas

do arco de 420 °:

420 °= 60 ° + 1 volta ( 360 °)

EXEMPLOS: 𝛼 + 360 °.k, com k ∈ Z DICA IMPORTANTE: Para determinar o valor do ângulo na primeira volta, basta dividir por 360 o O seu resto é o arco congruo a ele. Número de voltas. Arco côngruo.

Determine o menor arco côngruo e o número de voltas do arco de 3280 °. EXEMPLOS: 𝛼 + 360 °.k, com k ∈ Z