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Universidade de Bras´ılia Departamento de Matem´atica
C´alculo 1
Limite trigonom´etrico fundamental
Neste texto vamos nos concentrar em calcular o limite
lim θ→ 0 sen( θ θ). (1)
O limite acima apareceu em um texto anterior, quando quer´ıamos determinar o per´ımetro de um c´ırculo. Naquela oportunidade fizemos a tabela
θ = 1 θ = 0, 5 θ = 0, 1 θ = 0, 01 sen(θ)/θ 0,84147 0,95885 0,99833 0,
e deixamos nossa intui¸c˜ao livre para concluir que o limite era igual a 1. Queremos agora usar o Teorema do Confronto para confirmar a nossa intui¸c˜ao. O primeiro passo ´e verificar as seguinte igualdades
θlim→ 0 sen(θ) = 0,^ lim θ→ 0 cos(θ) = 1.^ (2)
Deixaremos para vocˆe a verifica¸c˜ao da primeira delas (veja a tarefa ao final do texto). Para a segunda, vamos lembrar que sen^2 θ + cos^2 (θ) = 1, de modo que cos(θ) = ±
1 − sen^2 (θ). Se θ ∈ (−π/ 2 , π/2), ent˜ao cos(θ) ´e positivo. Assim, para tais ˆangulos, vale
cos(θ) =
1 − sen^2 (θ).
Como limθ→ 0 sen(θ) = 0, obtemos
lim θ→ 0 cos(θ) = lim θ→ 0
1 − sen^2 (θ) =
lim θ→ 0 (1 − sen^2 (θ)) =
Vamos agora calcular o limite em ( 1 ) com a ajuda da figura ao lado. Observe que o triˆangulo retˆangulo OAB est´a contido no setor circular determinado pelo ˆangulo θ, que por sua vez est´a contido no triˆangulo retˆangulo OT B. Deste modo, temos que
´area(∆OAB) < ´area(setor circular) < ´area(∆OT B).
O
A T
B
θ
A altura do primeiro triˆangulo ´e exatamente sen(θ) e a sua base tem a mesma medida do raio do c´ırculo, ou seja, mede 1. Assim, a primeira ´area acima vale sen(θ)/2. Para o outro triˆangulo temos altura igual a tan(θ) e mesma base, de modo que
sen(θ) 2
< ´area(setor circular) < tan(θ) 2
Pode-se mostrar que a ´area do setor ´e proporcional ao ˆangulo central θ. Quando este ˆangulo vale 2π, a ´area ´e total ´e π, pois o c´ırculo tem raio igual a 1. Deste modo, se denotarmos por Aθ a ´area do setor circular, temos que
π Aθ
=^2 π θ
ou ainda Aθ = θ/2. Conclu´ımos ent˜ao que sen(θ) 2 <
θ 2 <^
tan(θ)
Lembre agora que, se 0 < x < y, ent˜ao (1/x) > (1/y). Assim, segue da express˜ao acima que
2 tan(θ) <^
θ <^
sen(θ).
Multiplicando todos os termos por sen(θ)/ 2 > 0, conclu´ımos que
cos(θ) < sen( θ θ)< 1 ,
para todo θ ∈ (0, π/2). Passando a express˜ao acima ao limite, usando ( 2 ) e o Teorema do Confronto conclu´ımos que
θlim→ 0 +^ sen( θ θ)= 1. Para o c´alculo do limite pela esquerda, vamos lembrar que a fun¸c˜ao seno ´e ´ımpar e usar a mudan¸ca de vari´aveis β = −θ para obter
θlim→ 0 −^ sen(θ) θ
= (^) βlim→ 0 +^ sen(−β) −β
= (^) βlim→ 0 +^ −^ sen(β) −β
= (^) βlim→ 0 +^ sen(β) β
Como os dois limites laterais existem e s˜ao iguais a um, conclu´ımos que
lim θ→ 0 sen( θ θ)= 1,
conforme esper´avamos. O limite acima ´e conhecido como Limite Trigonom´etrico Fundamental. Ele possui v´arias aplica¸c˜oes. Apresentamos duas delas nos exemplos a seguir.
Tarefa
Nesta tarefa vamos mostrar que
θlim→ 0 sen(θ) = 0,
utilizando a a figura ao lado.
- Lembrando que sen(θ) = AC, argumente como no texto para verificar que, se θ ∈ (0, π/2), ent˜ao
O
A
C B
θ
0 < sen(θ) < θ.
- Use o Teorema do Confronto para mostrar que (^) θlim→ 0 + sen(θ) = 0.
- Lembrando que o seno ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar, calcule o limite pela esquerda.
- Use os dois itens acima para concluir que lim θ→ 0 sen(θ) = 0.
