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Problemas do Capítulo 2 - Física da Matéria Condensada (2013/2)
Data de entrega: 02/09/ (Faça apenas os problemas 1, 3, 4 e 5)
1. Cálculo quântico da interação de Van de r Waals. Consideremos um modelo simples em que os átomos são representados por osciladores harmônicos unidimensionais, com apenas um elétron ligado a um núcleo positivo por uma “mola” de constante K , como mostra a figura abaixo.
Considere inicialmente dois átomos idênticos, infinitamente afastados um do outro. A Hamiltoniana H 0 deste sistema desacoplado é dada por
2 2 2 1
2 (^22) 2 1 1
2 1 (^0 2 2) m Kx
p Kx m
p H .
a) Mostre que a energia U 0 do estado fundamental deste sistema desacoplado é
U 0 2 12 0 , onde^ 0 ( K / m ) 1 2/.
b) Iremos calcular agora a energia do estado fundamental quando estes dois átomos se aproximam de uma distância r um do outro. Consideremos uma interação Coulombiana entre as cargas do sistema. A Hamiltoniana H 1 desta interação é
2
2
1
2
1 2
2 2
0
1 4
r x
e r x
e r x x
e r
e H
Suponha que a distância r seja muito maior do que as dimensões atômicas, | x (^) 1 |,| x 2 | r. Desta forma, mostre que pode-se expandir H 1 , obtendo
3 0
1 2
2 1 2 r
e xx H
c) Precisamos agora encontrar os autovalores da Hamiltoniana total (^) H H (^) 0 H 1. Como é usual em sistemas de duas partículas, o problema se resolve se fizermos a transformação para coordenadas relativas e do centro-de-massa:
x (^) cm x x
( 1 2 ) ; x (^) rel x x
p (^) cm p p
( 1 2 ) ; p (^) rel p p
(^1 2 ).
x 1
x 2
r
+ -^ + -
Reescreva a Hamiltoniana total em termos destas novas coordenadas e mostre que as
novas frequências normais do sistema são e dadas por
(^12)
3 0
2
(^2)
m r
e K
d) Mostre que, para valores grandes de r , a energia do novo estado fundamental é
2
3 0
2 2 0
(^1) Or Kr
e U
de modo que a variação de energia com relação à situação onde os átomos estão infinitamente afastados é dada por
6
2 3 0
2 (^0 )
r
A
Kr
e U U U
Note o sinal negativo, indicando uma interação atrativa, e a dependência com r -6. Repare também que a origem da interação é quântica. Isto fica claro no fato de U ser proporcional a . Porém, em sala de aula, obtivemos uma expressão clássica para a interação de Van der Waals com a mesma dependência com r -6. Mas, naquele caso, tivemos que supor incialmente que havia uma flutuação do dipolo elétrico em um dos átomos, fato difícil de explicar classicamente mas que sai naturalmente do cálculo quântico.
2. Propriedades elásticas: módulo de bulk No Capítulo 2, mostramos que o potencial de interação entre dois átomos de gases nobres (da coluna VIII da Tabela Periódica), em função da distância de separação r , pode ser bem descrito pela forma analítica de Lennard-Jones:
12 6 ( ) 4 r r
U r
onde e são constantes. Ao formar um sólido, os átomos se agrupam espacialmente em um
arranjo geométrico conhecido como rede fcc (“cúbica de face centrada”). Nesta rede cristalina, dividindo-se todo o espaço em células cúbicas, os átomos ocupam (a T=0K) os vértices e os centros das faces de cada cubo, como mostra a figura abaixo. a) Seja R a distância mínima (conhecida como distância entre primeiros vizinhos ) entre dois átomos nesta estrutura, como mostrado na figura. Convença-se que, em um sólido infinito, cada átomo tem exatamente 12 primeiros vizinhos. Assumindo-se que apenas as interações entre primeiros vizinhos são relevantes (o que é justificado pelo fato do potencial ser de curto alcance), mostre que a energia de coesão por átomo é
12 6 24
N R R
Uc R R
b) Para longas distâncias entre os átomos de hidrogênio, pode-se mostrar que S e V’ decaem exponencialmente com a distância de separação. Neste caso, pode-se usar as aproximações (^) S 1 e
V s. Mostre então que, como foi dito em sala, E l , a s V , com V V sS.
5. A partir da expressão (2.10) e incluindo interações até segundos vizinhos, calcule o parâmetro de rede de equilíbrio e o módulo de bulk de um cristal hipotético onde os átomos interagem por um potencial de Lennard-Jones e ocupam as posições de uma rede cúbica simples. 6. Energia de ponto zero da molécula de He 2 - Comentamos em aula que o He não forma um sólido a temperatura zero por causa do movimento de ponto zero. Neste problema, vamos entender este resultado a partir da análise da molécula de He 2. (a) A massa do átomo de hélio é igual a 6,68 × 10-27^ kg. Calcule a massa reduzida da molécula hipotética de He 2. (b) Para interação entre átomos de He, os parâmetros do potencial são ε = 1,403 × 10-22^ J e σ = 0,256 nm. Por minimização da energia potencial, obtenha a distância interatômica de equilíbrio da molécula e o valor da energia potencial no ponto de equilíbrio. (c) Obtenha a frequência de oscilações para pequenas vibrações da molécula em torno do equilíbrio. (d) Qual a energia de ponto zero do sistema? Perceba que a energia de ponto zero é maior que a profundidade do poço de energia potencial em que a molécula se encontra, calculada no item (b). Assim, as oscilações de ponto zero impedem, de fato, a formação da molécula. É pelo mesmo motivo que o He, ao contrário das demais substâncias, não se solidifica mesmo a temperatura zero, permanecendo no estado líquido.
