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Como ler e estudar matem´atica?
Ricardo Bianconi∗
Introdu¸c˜ao.
Matem´atica ´e uma disciplina dedutiva, ou seja, todas as propriedades das estruturas a serem estudadas s˜ao deduzidas a partir de propriedades elementares, usando argumentos l´ogicos para, passo a passo, chegarmos as propriedades desejadas. Raramente ´e f´acil descobrirmos quais s˜ao os passos a serem dados, mas, uma vez descobertos, devem ser “f´aceis” de serem lidos. Bom, “f´aceis” de serem lidos, desde que se esteja familiarizado com a linguagem e com o tipo de argumenta¸c˜ao. Infelizmente, esse tipo de linguagem e de argumenta¸c˜ao n˜ao s˜ao naturais para as pessoas. E preciso adquirir familiaridade com elas, mediante treinamento e desenvolvimento de´ um esp´ırito cr´ıtico muito sutil. Para tentar suprir esta necessidade para alunos que n˜ao tenham tido esse treino no segundo grau, e para esclarecer alguma d´uvida eventual para os que j´a tˆem pr´atica, proponho este guia de estudos. A aluna e o aluno que desejarem usar este guia devem evitar encar´a-lo como uma lei que deva ser seguidaa risca, cerceando a liberdade de pensamento e criatividade. Ele serve apenas como um guia, levando a clareza de pensamento e de express˜ao. Por favor, uma vez adquirida pr´atica, sejam audaciosos, visando a desenvolver seu pr´orpio estilo e criatividade, afiando seu esp´ırito cr´ıtico. Como usar este guia? Sugiro que fa¸cam uma primeira leitura (sem se preocupar com entendimento) para saberem do que se trata, quais s˜ao as partes do texto, os exemplos, enfim, o que atrair sua curiosidade. Depois partam para uma leitura mais s´eria. Este trabalho tentar´a mostrar como entender alguns dos jarg˜oes mais usados em matem´atica, e como analisar uma demonstra¸c˜ao (esta palavra ser´a uma ∗IME-USP, Caixa Postal 66281, CEP 05315-970, S. Paulo, SP, (e-mail: [email protected]), (homepage: http://www.ime.usp.br/∼bianconi) Agradecimentos: A id´eia deste texto nasceu de uma nescessidade de entender os enunciados formais, expressa pelos meus alunos do curso de Licenciatura em Matem´atica, aos quais eu lecionei a disciplina Introdu¸c˜aoa Teoria dos Conjuntos em 1997. Com eles fiz uma experiˆencia, mudando completamente o enfoque da disciplina, o que eles reconheceram ser muito mais proveitoso. Acredito que a experiˆencia teve sucesso. A eles todos devo um muito obrigado. Devo tamb´em agradecer as professoras Iracema Martin Bund e Elza Gomide e ao professor Paulo Ferreira Leite pelo encorajamentoa elabora¸c˜ao deste texto, sem o qual, este ficaria s´o na id´eia. Agrade¸co tamb´em ao colega Severino Toscano do Rego Melo que, al´em de dar sugest˜oes interessantes, ajudou-me com o LATEX.
constante durante seu curso, e ´e preciso superar a ojeriza inicial que ela possa causar). O estudo de um livro de matem´atica pode ser feito assim: fa¸cam o mesmo tipo de an´alise fina das demonstra¸c˜oes do livro (n˜ao sejam passivos e ap´aticos com o texto; extraiam mais do que ele traz escrito); fa¸cam os exerc´ıcios, n˜ao tenham medo de fazer contas; sejam modestos, n˜ao suponham que seja um trabalho f´acil; a evolu¸c˜ao pode ser lenta, mas repentinamente vocˆes peceber˜ao que est˜ao entendendo. Existe uma grande diferen¸ca de n´ıvel de dificuldade entre entender uma demonstra¸c˜ao e descobrir uma demonstra¸c˜ao. Durante seu curso, v˜ao ser encontrados muitos exerc´ıcios pedindo “mostre que ...” ou “demonstre ...” (ou “prove que ...”). N˜ao existe um receitu´ario infal´ıvel que funcione para todas as buscas de uma demonstra¸c˜ao.^1 Mas ´e poss´ıvel dar algumas dicas de como tentar e ter algum sucesso, o que ´e feito no fim deste texto. Passemos ent˜ao ao trabalho.
Come¸cando com um exemplo: resolver equa¸c˜oes
Vamos tentar motivar o tipo de racioc´ınio dedutivo usado em matem´atica analisando uma resolu¸c˜ao da seguinte equa¸c˜ao.
Resolver: 2 x + 5 = 3x − 2. A t´ecnica consiste em isolar a vari´avel x de um lado da igualdade, obtendo-se o valor que resolve a equa¸c˜ao. Para isto, passamos o termo 2x para o lado direito, mudando seu sinal, e o termo −2 para o lado esquerdo, obtendo 5 + 2 = 3x − 2 x, ou seja, x = 7.
An´alise da resolu¸c˜ao: vamos agora tentar explicitar todos os passos de racioc´ınio usados. Primeiramente, o que significa a equa¸c˜ao? A letra x est´a representando um n´umero desconhe- cido. A equa¸c˜ao est´a dando uma condi¸c˜ao sobre esse n´umero desconhecido. A resolu¸c˜ao desta equa¸c˜ao ´e feita atrav´es de algumas transforma¸c˜oes que nos permitem chegar ao valor de x. O que significa passar termos de um lado para o outro da igualdade?
Estrutura de uma teoria matem´atica
Toda teoria matem´atica tem um contexto de trabalho. Este ´e determinado por alguns pressupos- tos b´asicos, que costumamos chamar de axiomas. Estes dizem quais s˜ao as defini¸c˜oes e propriedades (^1) Na verdade, o matem´atico alem˜ao Kurt G¨odel provou em 1931 que ´e imposs´ıvel escrever um programa de computador que prove todos os teoremas da matem´atica (na verdade, nem mesmo todos os teoremas da aritm´etica). (Ufa! Pelo menos os matem´aticos n˜ao ser˜ao demitidos e substituidos por um computador. A criatividade e intui¸c˜ao humanas ainda s˜ao indispens´aveis.)
Mas, preste a aten¸c˜ao! Se A n˜ao valer, n˜ao posso concluir que B tamb´em n˜ao valha! Vejamos um exemplo do C´alculo:
Se f for uma fun¸c˜ao deriv´avel em x 0 , ent˜ao f ser´a cont´ınua em x 0.
A condi¸c˜ao “f ´e deriv´avel em x 0 ” ´e mais restritiva do que “f ´e cont´ınua em x 0 ”, pois existem fun¸c˜oes cont´ınuas que n˜ao s˜ao deriv´aveis. Portanto, n˜ao podemos concluir que se f n˜ao fosse deriv´avel em x 0 , f n˜ao seria cont´ınua naquele ponto. Agora, poderia acontecer de f n˜ao ser cont´ınua, mas ser deriv´avel em x 0? A resposta ´e n˜ao, pois o teorema citado acima diz que se f for deriv´avel em x 0 , for¸cosamente f ser´a cont´ınua em x 0. Da´ı conclu´ımos que:
Se f n˜ao for cont´ınua em x 0 , ent˜ao f n˜ao ser´a deriv´avel em x 0.
Resumindo, as afirma¸c˜oes “se A ent˜ao B” e “se n˜ao B ent˜ao n˜ao A” dizem a mesma coisa de duas maneiras diferentes. Com isto, poderemos entender as express˜oes “condi¸c˜ao necess´aria” e “condi¸c˜ao suficiente”. Dizer que “A ´e condi¸c˜ao suficiente para B” ´e o mesmo que dizer que “basta A para concluirmos B.” Isto ´e o mesmo que dizer “A implica B.” Dizer que “C ´e condi¸c˜ao necess´aria para D” ´e o mesmo que dizer que “sem C n˜ao pode ocorrer D,” ou seja, “n˜ao C implica n˜ao D,” ou ainda, “D implica C.” Voltando aos exemplos acima, podemos reescrevˆe-los assim:
“f ´e deriv´avel em x 0 ” ´e condi¸c˜ao suficiente para que “f seja cont´ınua em x 0 .” “f ´e cont´ınua em x 0 ” ´e condi¸c˜ao necess´aria para que “f seja deriv´avel em x 0 .”
Deixamos aos leitores a tarefa de convencerem-se que dizer “A sempre que B” ´e o mesmo que dizer que “B implica A.” (Se facilitar, leia-se a frase “A sempre que B” como “A ocorre sempre que B ocorrer.”) Passemos a equivalˆencia. As vezes, uma mesma propriedade pode ser escrita de diversas manei- ras. Por exemplo, dizer que “x + a = b” ´e o mesmo que dizer que “x = b − a.” Podemos expressar isto usando a frase:
x + a = b se, e somente se, x = b − a.
Dito de outro modo, uma frase “A se, e somente se, B” fica assim:
A se B, e A somente se B. Ou, se preferirem: A ocorre se B ocorrer, e A ocorrer´a somente se B ocorrer.
O primeiro peda¸co ´e f´acil: “se B ent˜ao A.” Para entendermos o segundo peda¸co (A somente se B), observemos que ela afirma que a condi¸c˜ao A n˜ao pode ocorrer sem condi¸c˜ao B. Mas isto ´e o mesmo que dizer que “se n˜ao B ent˜ao n˜ao A,” o que ´e o mesmo que “A implica B.” Portanto “A se, e somente se, B” ´e o mesmo que “A implica B e B implica A.” Novamente, leitores, fica como exerc´ıcio convencerem-se de que “A se, e somente se, B” ´e o mesmo que “A ´e equivalente a B,” ou ainda, “A ´e condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para B.” Em que situa¸c˜oes uma implica¸c˜ao “A implica B” ´e verdadeira (ou plenamente aceit´avel) ou falsa (ou inaceit´avel)? Uma primeira restri¸c˜ao ´e que, a partir de coisas verdadeiras, n˜ao possamos concluir coisas falsas. Portanto, aquela implica¸c˜ao ser´a considerada falsa quando A for verdadeira, mas B falsa. Por outro lado, se partirmos de uma pressuposi¸c˜ao A falsa, poderemos concluir o que quisermos. Por isto, a implica¸c˜ao “A implica B” ser´a verdadeira (aceit´avel) se A for falsa, n˜ao importando o que seja B. Com esta argumenta¸c˜ao, podemos construir uma “tabela verdade” da implica¸c˜ao, simplesmente tabelando os casos poss´ıveis de veracidade ou falsidade de A, B e da implica¸c˜ao A implica B (que denotaremos A ⇒ B; note que esta tem os memos valores de verdade que “(n˜ao A) ou B”), e observemos como ´e diferente o resultado da tabela para n˜ao A implica n˜ao B:
A B A ⇒ B n˜ao A (n˜ao A) ou B V V V F V V F F F F F V V V V F F V V V
A B n˜ao A n˜ao B n˜ao A ⇒ n˜ao B V V F F V V F F V V F V V F F F F V V V
Os leitores s˜ao convidados a fazerem tabelas verdade das v´arias proposi¸c˜oes que porventura aparecerem nos textos lidos.
Elementos gen´ericos e particulares: a “quantifica¸c˜ao”
Voltemos a uma varia¸c˜ao do exemplo j´a visto acima:
Se f for uma fun¸c˜ao deriv´avel ent˜ao f ser´a cont´ınua.
Agora pergunto: a qual f este enunciado se refere? Na verdade, a nenhuma fun¸c˜ao em particular, mas se refere a qualquer fun¸c˜ao f. Este s´ımbolo, f , representa um elemento gen´erico ou arbitr´ario, sem especifica¸c˜ao que o particularize. O enunciado acima descreve uma propriedade que vale para cada fun¸c˜ao f. Podemos, ent˜ao, reescrevˆe-lo assim:
Para cada f , se f for uma fun¸c˜ao deriv´avel ent˜ao f ser´a cont´ınua.
O processo de demonstrar um resultado basicamente ´e partir dessas hip´oteses e, mediante ra- cioc´ınios elementares, ir obtendo conclus˜oes intermedi´arias, at´e chegar a conclus˜ao desejada. Este processo ´e parecido com as exposi¸c˜oes de evidˆencias que Sherlock Holmes apresentava ao Dr. Wat- son para explicar como ele tinha chegadoas suas conclus˜oes. Mas quais s˜ao esses racioc´ınios elementares? Como devem ser apresentadas as evidˆencias da veracidade de um enunciado? Vamos tentar descrevˆe-los a partir de alguns exemplos, e depois faremos um sum´ario com todos eles. (1) A primeira t´ecnica ´e passar do geral para o particular:
Todos os homens s˜ao mortais. S´ocrates ´e um homem. Portanto S´ocrates ´e mortal.
Todos j´a devem ter ouvido estas trˆes frases. A primeira ´e uma afirma¸c˜ao geral sobre os homens, dando uma propriedade que vale para todos os homens, de serem mortais. A segunda d´a um exemplo particular de homem, S´ocrates. E a terceira conclui que este exemplo particular tamb´em tem a propriedade de ser mortal. Vejamos um exemplo mais matem´atico, j´a visto:
Toda fun¸c˜ao deriv´avel ´e cont´ınua. O seno ´e fun¸c˜ao deriv´avel. Portanto o seno ´e fun¸c˜ao cont´ınua.
Ou, usando um outro enunciado:
Para cada fun¸c˜ao f , se f for deriv´avel ent˜ao f ser´a cont´ınua. Seno ´e uma fun¸c˜ao. Conclus˜ao: se o seno for deriv´avel ent˜ao o seno ser´a cont´ınuo.
(2) A segunda seria o oposto, generalizando uma propriedade. Aqui temos que ter mais cuidado. N˜ao basta termos verificado uma afirma¸c˜ao para um caso particular para concluir o geral. Por exemplo, se obtivermos uma propriedade que valha para a func˜ao seno, n˜ao podemos deduzir que valer´a para todas as fun¸c˜oes. (Um exemplo mais espec´ıfico: sabemos que a fun¸c˜ao seno tem a propriedade sen (x+2 π) = sen (x); deste caso particular seria errado concluir que toda fun¸c˜ao f tem a propriedade f (x+2 π) = f (x). Poderemos apenas concluir que existe f tal que f (x+2 π) = f (x).) Mas se chegarmos a uma conclus˜ao usando um s´ımbolo para um elemento arbitr´ario, que n˜ao seja espec´ıfico, ent˜ao poderemos concluir que valer´a para todos os elementos no contexto em quest˜ao.
Por exemplo, para provar que toda fun¸c˜ao deriv´avel ´e cont´ınua, consideramos uma fun¸c˜ao arbitr´aria f , e faremos as contas que permitem concluir que f ser´a cont´ınua. Da´ı vem a famosa frase: “como f ´e arbitr´aria, isto vale para toda f .” N˜ao foi especificado qual era tal f , mas foi usado este s´ımbolo para denotar cada f deriv´avel.
(3) A terceira permite concluir a tese a partir de uma implica¸c˜ao e a verifica¸c˜ao de sua hip´otese. Se valer uma implica¸c˜ao “Hip´otese implica Tese” e se valer a “Hip´otese” ent˜ao conclu´ımos que vale a “Tese.” Vejamos um exemplo:
Hav´ıamos concluido anteriormente que: se o seno for deriv´avel ent˜ao o seno ser´a cont´ınuo. Hav´ıamos tamb´em concluido que: o seno ´e deriv´avel. Portanto, conclu´ımos que: o seno ´e cont´ınuo.
(4) Equivalˆencias l´ogicas. Aqui, basicamente, substituimos uma frase por outra equivalente. Por exemplo:
A frase: “se f ´e deriv´avel ent˜ao f ´e cont´ınua” ´e equivalente a “ou f ´e cont´ınua ou f n˜ao ´e deriv´avel.”
Analisando demonstra¸c˜oes
Vamos, agora, juntar tudo o que vimos anteriormente para analisar e entender uma demons- tra¸c˜ao. Primeiro, devemos encarar uma demonstra¸c˜ao como um conjunto organizado de evidˆencias de que o enunciado do teorema em quest˜ao est´a correto. Nos livros omitem-se muitos passos conside- rados ´obvios pelo autor (ou, pelo menos, f´aceis de serem descobertos). Cada passo da demonstra¸c˜ao deve ser uma das seguintes:
- Citar uma hip´otese.
- Citar um axioma ou teorema anterior.
- Citar uma defini¸c˜ao.
- Usar uma das quatro t´ecnicas descritas acima para as conclus˜oes intermedi´arias.
Uma demonstra¸c˜ao pode ser de dois tipos: direta ou por contradi¸c˜ao. Uma demonstra¸c˜ao direta parte das hip´oteses do teorema (se estiverem expl´ıcitas) e axiomas e resultados anteriores, vai usando aqueles tipos de argumenta¸c˜oes intermedi´arias, at´e chegarmos `a conclus˜ao final, que ´e a tese do teorema. Uma demonstra¸c˜ao por contradi¸c˜ao pode ser de dois tipos: prova-se que a nega¸c˜ao da tese implica a nega¸c˜ao da(s) hip´otese(s), ou prova-se que a nega¸c˜ao do teorema implica uma contradi¸c˜ao
e (x − 1)(x − 6) < 0. (3) Se (x − 1)(x − 6) > 0, conclu´ımos que ou (x − 1) > 0 e (x − 6) > 0 donde x > 6, ou (x − 1) < 0 e (x − 6) < 0, donde x < 1. Portanto, se x > 6 ou x < 1, multiplicando ambos os membros da desigualdade por (x − 1)(x − 6), conclu´ımos que
(x + 1)(x − 6) < (x + 2)(x − 1).
(4) Ainda sob as hip´oteses x < 1 ou x > 6, vamos resolver a desigualdade acima. Usando a propriedade distributiva, conclu´ımos que
x^2 − 5 x − 6 < x^2 + x − 2.
(5) Somando-se oas dois lados −x^2 + 5x + 2, conclu´ımos que
− 4 < 6 x.
(6) Multiplicando-se ambos os membros por 1/6, obtemos que x > − 2 /3. Como estamos sob as hip´oteses x < 1 ou x > 6, podemos refinar a conclus˜ao de que ou − 2 / 3 < x < 1 ou x > 6. (Aqui argumento assim: como vale “A implica B,” ent˜ao tamb´em vale “A implica A e B.”) (7) Agora trataremos do caso em que (x−1)(x−6) < 0, ou seja, em que (x−1) > 0 e (x−6) < 0, donde 1 < x < 6. Observe que a outra possibilidade, em que (x − 1) < 0 e (x − 6) > 0 n˜ao ocorre, pois, neste caso, x deveria ser ao mesmo tempo maior que 6 e menor que 1. (8) Sob a hip´otese de que 1 < x < 6, (x−1)(x−6) < 0, donde −(x−1)(x−6) > 0. Multiplicando ambos os membros da desigualdade por −(x − 1)(x − 6) obtemos:
−(x + 1)(x − 6) < −(x + 2)(x − 1).
(9) Pela propriedade distributiva, conclu´ımos que:
−x^2 + 5x + 6 < −x^2 − x + 2.
(10) Somando aos dois membros x^2 + x − 6, obtemos:
6 x < − 4.
(11) Multiplicando por 1/6, obtemos x < − 2 /3. Como estamos sob a hip´otese de que 1 < x < 6, e como − 2 / 3 < 1, conclu´ımos que n˜ao h´a solu¸c˜oes `a desigualdade neste intervalo. (12) Acabamos de provar que se x ´e um n´umero real que satisfaz a desigualdade x + 1 x − 1 <
x + 2 x − 6
ent˜ao x deve satisfazer uma das desigualdades
−^2 3
< x < 1 ou x > 6 ,
(que ´e a solu¸c˜ao procurada). Na verdade, pode ser provado que, para cada x ∈ IR ,
x + 1 x − 1 <
x + 2 x − 6 se, e somente se,^ −^
3 < x <^1 ou^ x >^6. Obviamente, n˜ao ´e necess´ario escrever tudo isto para resolver uma desigualdade. Isto s´o foi feito aqui para explicitar o racioc´ınio dedutivo que ´e usado para resolver qualquer tipo de problema, tanto “num´erico” quanto “te´orico.” Neste exemplo vemos porque s˜ao omitidos v´arios detalhes “triviais” de uma dedu¸c˜ao. Com todos estes detalhes a leitura torna-se mais enfadonha e complicada.
Agora, um exemplo mais sofisticado. Vamos deduzir destes axiomas que todo n´umero real positi-
vo tem raiz quadrada. Observemos que n˜ao explicitamos nestes axiomas quase nehuma propriedade de n´umeros reais que estamos acostumados a usar!
Prova de que todo n´umero real positivo tem raiz quadrada: Bom, comecemos com a ∈ IR , a > 0. Vamos usar a propriedade do supremo, definindo o conjunto A = {x ≥ 0 : x^2 < a}. Como a > 0 e 0^2 = 0 < a, vemos que A n˜ao ´e vazio (pois exibimos um elemento dele). Vamos mostrar que A ´e limitado superiormente. Para isto, usaremos as propriedades da ordem. Se x > 1 ent˜ao x > 0 e por isso, x^2 > x e se x > 0 e x ≤ 1 ent˜ao x^2 ≤ x. Da´ı, se a > 1 e x^2 < a, ent˜ao x < a e se a ≤ 1 e x^2 < a ent˜ao x ≤ 1. Portanto, se M = max { 1 , a}, ent˜ao, para todo x ∈ A, x ≤ M. Ou seja, A ´e limitado superiormente, donde conclu´ımos que A tem supremo, que chamaremos de s. Mostraremos que s^2 = a (ou seja, s ´e uma raiz quadrada de a). Para isto, teremos que provar que nem s^2 < a e nem s^2 > a, argumentando por contradi¸c˜ao. Se s^2 > a, tome ε = (s^2 − a)/(3s). Ent˜ao 0 < ε < (s^2 − a)/(2s); portanto, (s − ε)^2 = s^2 − 2 sε + ε^2 > s^2 − 2 sε > a (lembrando que ε^2 > 0), donde s − ε < s ´e limitante superior de A, contradizendo que s seja o supremo de A. Se s^2 < a, tome ε = min { 1 / 2 , (a − s^2 )/(2s + 2)}. Ent˜ao 0 < ε^2 < ε < (a − s^2 )/(2s + 1); da´ı, (s + ε)^2 = s^2 + 2sε + ε^2 < s^2 + 2sε + ε = s^2 + (2s + 1)ε < s^2 + (2s + 1)(a − s^2 )/(2s + 1) = a, ou seja, s + ε ∈ A, contradizendo que s seja o supremo de A. Portanto, s^2 = a. Tal s ´e denotado por
a.
An´alise da demonstra¸c˜ao acima: Vamos detalhar as argumenta¸c˜oes da demonstra¸c˜ao. Este tipo de detalhamento pode ser feito pelos leitores em qualquer demonstra¸c˜ao de qualquer texto.
equa¸c˜ao, obteremos:
a
( x + b 2 a
) 2 = −c + b
2 4 a
donde, isolando-se x, obteremos o resultado.
An´alise da dedu¸c˜ao: Foram usadas apenas as propriedades da soma e produto de n´umeros reais. Detalhemos esta dedu¸c˜ao: (1) Citemos a equa¸c˜ao: ax^2 + bx + c = 0. (2) Somamos aos dois lados o termo −c + b^2 / 4 a, obtendo ax^2 + bx + c − c + b^2 / 4 a = 0 − c + b^2 / 4 a. (Aqui usamos a propriedade da soma: se a, b, c ∈ IR e a = b, ent˜ao a + c = b + c.) (3) Rearranjamos os termos, conclu´ımos que: ax^2 + bx + b^2 / 4 a = −c + b^2 / 4 a. (4) Novamente rearranjamos os termos: a(x + b/ 2 a)^2 = (b^2 − 4 ac)/ 4 a. (Usando v´arias vezes a propriedade distributiva.) (5) Multiplicando os dois lados da equa¸c˜ao por 1/a, conclu´ımos que: (x+b/ 2 a)^2 = (b^2 − 4 ac)/ 4 a^2. (6) Usando o desafio aos leitores acima, temos duas solu¸c˜oes `a equa¸c˜ao em (5): (x + b/ 2 a) = (±
b^2 − 4 ac)/ 2 a. (7) Finalmente, somamos aos dois lados da equa¸c˜ao em (6) o termo −b/ 2 a, obtendo: x = (−b ±
b^2 − 4 ac)/ 2 a.
Por fim, vamos apresentar uma demonstra¸c˜ao por redu¸c˜ao ao absurdo. Teorema: Se x, y ∈ IR e x > 0 ent˜ao existe n ∈ IN tal que nx > y. Demonstra¸c˜ao: Suponhamos, por absurdo, que para todo natural n, valha nx ≤ y. Conside- remos o conjunto A = {nx : n ∈ IN }. O conjunto A ´e n˜ao vazio, pois x = 1x ∈ A, e ´e limitado superiormente por y, logo admite supremo. Seja s o supremo de A. Sabemos que 0 < x, donde s−x n˜ao ´e limitante superior de A. Portanto existe m ∈ IN tal que s − x < mx. Mas, da´ı, s < (m + 1)x, contradizendo o fato de s ser o supremo de A.
An´alise da demonstra¸c˜ao: Esta ´e uma demonstra¸c˜ao por redu¸c˜ao ao absurdo, como ´e indi- cado no in´ıcio. Ent˜ao vamos mostrar que a nega¸c˜ao do teorema implica (ou seja, permite concluir) uma coisa falsa. Primeiramente, reconhe¸camos qual ´e a nega¸c˜ao do teorema: ele ´e da forma hip´otese implica tese. A hip´otese ´e: x, y ∈ IR e x > 0; a tese ´e existe n ∈ IN tal que nx > y. Como fica a nega¸c˜ao disto? Dizer que A n˜ao implica B ´e dizer que pode valer A e n˜ao valer B. Ou seja, a nega¸c˜ao do teorema fica sendo: hip´otese e n˜ao a tese. Vamos provar que isto implica uma contradi¸c˜ao (ou absurdo). Ou seja, a nega¸c˜ao do teorema ser´a usada como nova hip´otese. (1) Citamos a hip´otese: para todo natural n, vale nx ≤ y. (Isto ´e a nega¸c˜ao da tese.)
(2) Definimos o conjunto A = {nx : n ∈ IN }. (Novamente usaremos a propriedade do supremo, particularizada a este A, etc.) (3) Mostramos que A n˜ao ´e vazio, exibindo um elemento dele: x = 1x ∈ A. (Escrevemos x = 1x para evidenciar que o pr´oprio x satisfaz a condi¸c˜ao para pertencer a A.) (4) De (1), conclu´ımos que A ´e limitado superiormente (por y). (5) Citamos a propriedade do supremo: se A n˜ao for vazio e for limitado superiormente ent˜ao possuir´a supremo (que ´e o menor limitante superior de A). (6) Conclu´ımos, de (3), (4) e (5), que existe o supremo (ou menor limitante superior) de A, que chamamos de s. (7) Citamos outra hip´otese: x > 0. (8) Conclu´ımos que s − x < s, (somando-se s aos dois lados da desigualdade; aqui usamos a propriedade da desigualdade que diz: se a, b, c ∈ IR e a < b ent˜ao a + c < b + c). (9) Conclu´ımos (da defini¸c˜ao de supremo) que s − x n˜ao ´e limitante superior de A. (10) Conclu´ımos que existe algum elemento de A, que deve ser da forma mx, para algum m ∈ IN , tal que s − x < mx. (11) Conclu´ımos que s < (m + 1)x, (somando-se x aos dois lados da desigualdade; novamente usamos a propriedade citada em (8)). (12) A conclus˜ao acima est´a dizendo que s n˜ao ´e limitante superior de A. Isto nega que s seja o supremo de A. Ou seja, conclu´ımos que existe um n´umero real que ´e e, ao mesmo tempo, n˜ao ´e limitante superior de A! Portanto, da nega¸c˜ao do teorema conclu´ımos uma contradi¸c˜ao. Da´ı conclu´ımos que o teorema tem que ser verdadeiro.
Bom, os leitores est˜ao convidados a usar este tipo de an´alise de todas as demonstra¸c˜oes que
encontrarem pelo caminho, tornando o estudo de um texto ou de uma disciplina mais proveitoso.
Algumas dicas para demonstrar teoremas
Como j´a foi dito, n˜ao ´e f´acil descobrir uma demonstra¸c˜ao. Isto depende de experiˆencia. Mas podem ser dadas algumas sugest˜oes que talvez ajudem a descobri-las. Primeiro, pode-se tentar imitar demonstra¸c˜oes j´a vistas. Segundo, tentem caminhar “ao contr´ario,” ou seja, partam da tese, busquem transforma¸c˜oes ou resultados anteriores que permitam concluir esta tese. Verifique quais as hip´oteses que levam a tal tese. Olhe cada hip´otese como uma conclus˜ao intermedi´aria, buscando resultados anteriores que permitam conclui-las, e assim por diante, at´e chegarmos `as hip´oteses do que queremos demonstrar. Depois ´e s´o passar a limpo, na ordem certa.
a desigualdade 2sε + ε^2 < 2 sε + ε = (2s + 1)ε < a − s^2 , n˜ao esquecendo de impor que ε < 1.
