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COMPILAÇÃO MATEMÁTICA
Criado por Hélvio R. Reis de Albuquerque
A seguir, você terá a sua disposição, um pequeno resumo das
derivadas, integrais, e algumas propriedades essenciais ao estudo do Cálculo
Diferencial Integral.
1. Derivadas das Funções Algébricas
䖓
䖓
䖓
䖓
䖓
䖓
䖓
⡰
ぁ
ぁ⡹⡩
䖓
⡰
ぁ
ぁ⡹⡩
2. Derivadas da Função Exponencial e Logarítmica
䖓
䖓
え
え
∙ ln ᡓ ∙ ᡳ′ ln ᡳ
え
え
∙ ᡳ′ log
〨
ᡳ ∙ ln ᡓ
3. Derivadas das Funções Trigonométricas
䖓
䖓
sin ᡳ cos ᡳ ∙ ᡳ′ cot ᡳ −
csc ᡳ
⡰
cos ᡳ − sin ᡳ ∙ ᡳ′ sec ᡳ sec ᡳ ∙ tan ᡳ ∙ ᡳ′
tan ᡳ
sec ᡳ
⡰
∙ ᡳ′ csc ᡳ − csc ᡳ ∙ cot ᡳ ∙ ᡳ′
4. Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas
䖓
䖓
sin
⡹⡩
⡰
cot
⡹⡩
⡰
cos
⡹⡩
⡰
∙ ᡳ′ sec
⡹⡩
⡰
tan
⡹⡩
⡰
∙ ᡳ′ csc
⡹⡩
⡰
5. Regra da Cadeia 6. Funções Inversas
7. Notação de Leibniz ou
Diferenciais
8. Aproximação Linear
䖓
䖓
䖓
9. Incrementos
⡰
⡩
⡩
⡩
⡰
⡩
⡰
⡩
- ∆ᡶ e ∆ᡷ são chamados de acréscimos ou incrementos das variáveis
ᡶ e ᡷ respectivamente;
10. Propriedades da Integral Definida
I Se ᡕ > ᡖ 㔅 ᡘ(ᡶ)ᡖᡶ = − 㔅 ᡖᡶ
〰
〱
〱
〰
II Se ᡘ
〨
〨
III Se ᡘ é contínua em 䙰ᡓ, ᡔ䙱 ᡘ é integrável em 䙰ᡓ, ᡔ䙱
IV Se ↅ ∈ ℝ
〩
〨
〩
〨
〩
〨
V 㔅 䙰ᡘ(ᡶ) + ᡙ(ᡶ)䙱ᡖᡶ =
〩
〨
〩
〨
〩
〨
VI
Se ᡘ(ᡶ) ≥ ᡙ(ᡶ), ∀ ᡶ ∈ 䙰ᡓ, ᡔ䙱 㔅 ᡘ(ᡶ)ᡖᡶ ≥ 㔅 ᡙ(ᡶ)ᡖᡶ
〩
〨
〩
〨
Se ᡘ
〩
〨
VII Se ᡓ ≤ ᡕ ≤ ᡔ 㔅 ᡘ(ᡶ)ᡖᡶ =
〩
〨
〰
〨
〩
〰
11. Teorema Fundamental do Cálculo (TFC)
(TFC- I)
け
〨
Se ᡘ é contínua em 䙰ᡓ, ᡔ䙱 e derivável em todo ponto ᡶ em 䙰ᡓ, ᡔ䙱, ou
seja:
け
〨
(TFC-II)
〩
〨
Se ᡘ é contínua em 䙰ᡓ, ᡔ䙱 e se ᠲ é qualquer primitiva de ᡘ em 䙰ᡓ, ᡔ䙱.
12. Identidades Trigonométricas
sin
⡰
ᡶ + cos
⡰
sin ᡶ ∙ cos ᡷ =
sin
1 + tan
⡰
⡰
sin ᡶ ∙ sin ᡷ =
䙰cos(ᡶ − ᡷ) − cos(ᡶ + ᡷ)䙱
1 + cot
⡰
ᡶ = csc
⡰
cos ᡶ ∙ cos ᡷ =
cos
sin
⡰
䙰 1 − cos 2 ᡶ䙱 1 − cos ᡶ = 2 ∙ sin
⡰
cos
⡰
1 + cos 2 ᡶ
䙱 1 + cos ᡶ = 2 ∙ cos
⡰
sin ᡶ ∙ cos ᡶ =
∙ sin 2 ᡶ 1 ± sin ᡶ = 1 ± cos 㐶
16. Integração Por Partes
- A parte escolhida como ᡖᡴ deve ser
facilmente integrável;
- ᔖ ᡴᡖᡳ deve ser mais simples do que ᔖ ᡳᡖᡴ. 17. Substituição Trigonométrica
I) Expressão no integrando
⡰
⡰
Usa-se ᡶ = ᡓ ∙ sin ‖
⡰
⡰
Usa-se ᡶ = ᡓ ∙ tan ‖
⡰
⡰
Usa-se ᡶ = ᡓ ∙ sec ‖
II) Substituição
‖ = sin
⡹⡩
tan ‖ =
‖ = tan
⡹⡩
sec ‖ =
‖ = sec
⡹⡩
18. Frações Parciais
Seja ℎ(ᡶ) =
〳(け)
〴(け)
, onde ᡘ e ᡙ são polinômios e ᡕ ∈ ℝ:
a) Para ↈ(∆) = ↅ
ᠲᡰᡓçãᡧ
ᠲᡰᡓçãᡧ
ᠲᡰᡓçãᡧ
ᠲᡰᡓçãᡧ
b) Para ↉∀Ↄ∃ ↆↇ ↈ(∆) ≥ ↉∀Ↄ∃ ↆↇ ↉(∆)
Algoritmo da divisão:
ᡘ(ᡶ) = ᡩ(ᡶ) ∙ ᡙ(ᡶ) + ᡰ(ᡶ) ÷ ᡙ(ᡶ)
c) Para ↉∀Ↄ∃ ↆↇ ↈ(∆) < ᡙᡰᡓᡳ ᡖᡗ ᡙ(ᡶ)
⡩
⡩
ぁ
⡩
⡩
⡩
⡰
⡩
⡩
⡰
ぁ
⡩
⡩
ぁ
⡰
⡰
⡱
⡱
19. Outras Integrais Úteis
〨け
〨け
〨け
〨け
ln ᡔ
ᡙ(ᡶ) h
⡰
⡰
⡰
⡰
⡰
⡰
〨け
〨け
⡰
ぁ
〨け
ぁ
〨け
ぁ⡹⡩
〨け
ぁ
〨け
ぁ
ᡔ^ᡓᡶ
ᡓ ∙ ln ᡔ
ᡓ ∙ ln ᡔ
ぁ⡹⡩
〨け
㔅 ln ᡓᡶ ᡖᡶ = ᡶ ∙ ln ᡓᡶ − ᡶ + ᠩ
ぁ
(ln ᡓᡶ)
ぁ⡸⡩
(ln ᡓᡶ)
ぁ
(ln ᡓᡶ)
⡹⡩
ᡶ ∙ ln ᡓᡶ
= ln|ln ᡓᡶ| + ᠩ
ぁ
ぁ⡸⡰
⡰
⡰
ぁ
⡰
⡰
ぁ
⡰
⡰
⡰
ぁ⡹⡰
⡰
⡰
ぁ
⡰
⡰
⡰⡹ぁ
⡰
⡰
⡰
⡰
ぁ⡹⡰
⡰
⡰
ぁ
⡰
⡰
ぁ⡸⡰
㔅 sin ᡓᡶ ∙ cos ᡔᡶ ᡖᡶ = −
cos(ᡓ + ᡔ)ᡶ
cos(ᡓ − ᡔ)ᡶ
⡰
⡰
㔅 sin ᡓᡶ ∙ sin ᡔᡶ ᡖᡶ =
sin
sin
⡰
⡰
㔅 cos ᡓᡶ ∙ cos ᡔᡶ ᡖᡶ =
sin(ᡓ − ᡔ)ᡶ
sin(ᡓ + ᡔ)ᡶ
⡰
⡰
㔅 sin ᡓᡶ ∙ cos ᡓᡶ ᡖᡶ = −
cos 2 ᡓᡶ
cos ᡓᡶ
sin ᡓᡶ
ln|sin ᡓᡶ| + ᠩ
sin ᡓᡶ
cos ᡓᡶ
ln|cos ᡓᡶ| + ᠩ
㔅 sin
⤤
ᡓᡶ ∙ cos ᡓᡶ ᡖᡶ =
sin
⤤⡸⡩
㔅 cos
⤤
cos
⤤⡸⡩
㔅 sec
⤤
ᡓᡶ ∙ tan ᡓᡶ ᡖᡶ =
sec
⤤
㔅 csc
⤤
ᡓᡶ ∙ cot ᡓᡶ ᡖᡶ = −
csc
⤤
1 + cos ᡓᡶ
∙ tan
1 − cos ᡓᡶ
∙ cot
㔅 ᡶ sin ᡓᡶ ᡖᡶ =
⡰
sin ᡓᡶ −
cos ᡓᡶ + ᠩ
㔅 ᡶ cos ᡓᡶ ᡖᡶ =
⡰
cos ᡓᡶ +
sin ᡓᡶ + ᠩ
ぁ
sin ᡓᡶ ᡖᡶ = −
ぁ
cos ᡓᡶ +
ぁ⡹⡩
cos ᡓᡶ ᡖᡶ
ぁ
cos ᡓᡶ ᡖᡶ =
ぁ
sin ᡓᡶ −
ぁ⡹⡩
sin ᡓᡶ ᡖᡶ
㔅 sec ᡓᡶ ᡖᡶ =
ln|sec ᡓᡶ + tan ᡓᡶ| + ᠩ
㔅 csc ᡓᡶ ᡖᡶ = −
ln|csc ᡓᡶ + cot ᡓᡶ| + ᠩ
〨け
∙ sin ᡔᡶ ᡖᡶ =
〨け
⡰
⡰
(ᡓ sin ᡔᡶ − ᡔ cos ᡔᡶ) + ᠩ
〨け
∙ cos ᡔᡶ ᡖᡶ =
〨け
⡰
⡰
(ᡓ cos ᡔᡶ + ᡔ sin ᡔᡶ) + ᠩ
