Baixe Comunicações Móveis - codigo trellis e outras Provas em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity!
Comunicaciones de Datos 2001
por Cristóbal Jara Rodríguez ([email protected]), Pedro Melgarejo Rebolledo ([email protected]), Sergio Sobarzo Guzmán ([email protected])
Resumen En el presente trabajo se estudió la modulación en código de Trellis, junto con sus ventajas, desventajas y el por qué de su gran aceptación en la transmisión de datos en canales con ancho de banda limitado. Para comprender como se realiza esta modulación es necesario revisar una serie de conceptos relacionados con códigos y tipos de modulación, los que son presentados como conocimientos previos. Lugo de la adquisición de estos conocimientos se continua con la explicación propiamente tal de la modulación de código de Trellis, explicando como es que este mejora la probabilidad de errores en la transmisión y dando a conocer un ejemplo completo de codificación y decodificación de la transmisión. Finalmente se muestra una aplicación real de la modulación y análisis de error del código.
1. Introducción
Algunos de los códigos existentes disminuyen la probabilidad de bits erróneos (PB) aumentando el ancho de banda de la señal. En el caso de los códigos convolucionales y códigos de dos estados, el ancho de banda se aumenta reemplazando cada mensaje de tamaño k por una palabra codificada de tamaño n, donde n > K. En el caso de canales con ancho de banda limitado, la expansión del ancho de banda no es posible. Es por esto que en el pasado los códigos para canales con ancho de banda limitados, como el telefónico, nunca fueron muy populares. Recientemente, en cambio, ha crecido mucho el interés en algunos tipos de modulaciones combinadas y esquemas de codificación, llamados modulación de código de Trellis, este logra una ganancia de codificación sin ninguna expansión en el ancho de banda. Al principio puede parecer que esto viola algunos principios básicos de intercambio de potencia - ancho de banda - probabilidad de error. Sin embargo, esto se logra debido a que la modulación de código de Trellis logra un una ganancia de codificación a expensas de la complejidad del decodificador.
2. Desarrollo
2.1 Conocimientos Previos
2.1.1 Codificación M-aria
A pesar de que la comunicación binaria tiene ventajas significativas en términos de inmunidad al ruido y simplicidad en el equipamiento, muchas veces es deseable codificar la información en un formato que tenga más de dos estados posibles. La ventaja es que se disminuye la razón de transmisión en baudios, lo que implica una disminución del ancho de banda
necesario para transmitir una misma cantidad de bps dada. La desventaja es que ahora existen más estados posibles lo que incrementa la probabilidad de error y aumenta la complejidad del equipo.
Por ejemplo las técnicas de modulación BASK, BFSK y BPSK, son sistemas binarios; sólo hay dos condiciones posibles de salida, una representa un 1 lógico y la otra un 0 lógico; por tanto, son sistemas M-ario donde M = 2. Tanto con ASK, FSK, PSK o una combinación de ellos es posible realizar una codificación M-aria. Un sistema de PSK, con cuatro posibles fases de salida, es un sistema M-ario en donde M = 4. Si hubiera ocho posibles fases de salida, M= 8, etcétera. Matemáticamente,
N = log 2 M
en donde: N = número de bits M = número de condiciones de salida posibles con N bits
2.1.2 Constelaciones
La codificación M-aria tiene su representación en un diagrama de estado de la señal o constelación. En este diagrama se representa cada símbolo posible de ser transmitido con la amplitud correspondiente de la señal y su fase relativa mediante puntos ubicados en un esquema, como se muestra en la figura N°1.
Comunicaciones de Datos 2001
Fig. 1. Constelación 4-QAM
Fig. 2. Ejemplos de Constelación
Muchos investigadores han estudiado un gran número de posibles constelaciones en busca de diseños que resulten en un mejor desempeño del error para una razón señal a ruido dada. Las siguientes figuras muestran algunos ejemplos de constelaciones de símbolos para M = 4, 8, y 16. Los conjuntos circulares están designados por la notación (a, b, ...), donde hay una cantidad de a señales o símbolos en el círculo mas interno, b señales en el círculo siguiente y así sucesivamente.
Fig. N°3. Ejemplos de constelaciones M-arias
En general, la regla de constelaciones, conocida como la regla de construcción Camponiano-Glazer, que dice que el conjunto de rendimiento óptimo de señales puede ser resumido como: De un arreglo de infinitos puntos encerrados en un arreglo rectangular seleccionar un subconjunto de puntos encerrados de 2k^ puntos como constelación. En este caso, el “óptimo” significa que se debe tener la mínima potencia media o peak para un probabilidad de error dada. En un espacio bidimensional de señales el contorno óptimo que encierras los símbolos tiende a ser un círculo. La siguiente figura muestra ejemplos de conjuntos de señales rectangulares 64-aria (k = 6) y 128-aria (k = 7). La forma de cruz es un compromiso con el círculo óptimo. La constelación con k = 6 fue usada en los modems
Comunicaciones de Datos 2001
Una señal QAM se entiende como una portadora de frecuencia wc modulada en fase por la señal θ(t) y en amplitud por R(t), o bien, como dos portadoras en cuadratura moduladas en amplitud por las señales I(t) y Q(t).
ν ( t ) = G 0 { I ( t ) cos( wc t ) − Q ( t ) sen( w (^) ct )}
La señal G 0 g(t) es la que contiene la información. (señal banda base). Ésta puede ser representada como un tren de pulsos:
= ∑ [ ] ( − ) k
G (^) 0 g ( t ) G 0 akst k T
a[k] representa un tren de impulsos multinivel, en tanto s(t) es la forma del pulso. Cada pulso representa m bits.
Figura N°6. Ejemplo de un tren de impulsos multinivel y su tren de pulsos equivalente
El factor G 0 determina la distancia entre los distintos niveles. En el caso de QAM, el tren de impulsos a[k] se representa en forma compleja, es decir, tanto la parte real como la compleja representan un tren de impulsos multinivel. De este modo, las señales modulantes I(t) y Q(t) representan cada un tren de pulsos multinivel, o dicho de otro modo, representan un conjunto discreto de valores en el tiempo. Cada par de valores en un instante determinado [I(t 0 ),Q(t 0 )] se denomina un símbolo QAM. El total de bits que representa un símbolo es la suma de los bits que representan I(t) y Q(t).
2.1.5 Probabilidad de error y Distancia Euclidiana
Fig. N°7. Constelación de una señal BPSK
Fig N°8. Constelación de una señal QPSK
La señal recibida real (ruidosa) tenderá a ser algún punto alrededor del punto “correcto” dentro de la constelación. El receptor escogerá el punto más cercano a la señal ruidosa recibida. Si más puntos se añaden a la constelación mientras la potencia se mantiene constante, la probabilidad de error aumenta, debido a que la distancia Euclidiana (distancia entre dos puntos adyacentes) “d” se disminuye y el receptor tiene que hacer un trabajo más complejo para realizar la decisión correcta. Así se observa que la distancia Euclidiana domina la expresión de probabilidad de error.
Ya que la potencia es la misma para ambas constelaciones, la energía requerida es la misma. Los puntos en BPSK están separados d = 2, mientras que en QPSK están separados d =
Entonces la probabilidad de error para BPSK es:
0 0
n
E
erfc
n
d E
Pe erfc
y para QPSK:
2 n 0
E
Pe erfc
Como se ve en los resultados, las expresiones de error dependen del espaciamiento entre señales “d”, por consiguiente la probabilidad para QPSK es mayor dado que la distancia “d” es menor. Trellis, mediante el incremento de la distancia Euclidiana nos permite recuperar este incremento de error.
Comunicaciones de Datos 2001
En general la probabilidad de error para una constelación dada es:
N
E
erfc
M
Pe b
en donde:
M
E
Eb
log 2
∑ ∈Ω
x
x
M
E con constelación Ω
M
E
d min
2
2 2
δ = log
2 ' ''
2
d minx ' x ''
x x
min = −
≠
2.1.6 Distancia Hamming
La distancia Hamming se define para dos palabras de códigos de igual largo. La distancia de Hamming es el número de posiciones de bits en el cual difieren dos palabras. Por ejemplo:
0000, 0011, 0101, 0110, 1001, 1010, 1100, 1111
se verifica que la mínima distancia entre palabras es de 2.
2.1.7 Códigos Convolucionales
En este tipo de código no se consideran los bloques individuales de bits como palabras de código. En cambio, Un flujo continuo de bits de información se opera en la forma de mensaje codificado. La fuente genera una secuencia continua de 1’s y 0’s y la secuencia transmitida se genera de esta secuencia. La secuencia transmitida no necesita ser más larga que los bits transmitidas, es decir, no añade bits de redundancia. Sin embargo, esta técnica introduce la capacidad de corrección de error al introducir memoria en el sistema. Los bits de mensaje son combinados de una manera particular con el fin de generar cada bit transmitido.
La técnica para generar la secuencia transmitida es convolucionar la fuente con una secuencia binaria fija. Entonces, para un particular bit transmitido tn, se genera de una combinación de bits fuente, sn, sn-1, sn-2, ..., sn-k, de acuerdo a la ecuación de convolución:
∑ =−∞
n
k
tn skhnk
Las h’s en esta ecuación son 1’s o 0’s, y la adición es en módulo 2. La ecuación puede ser implementada con un registro de desplazamiento y un sumador modulo 2.
La siguiente figura muestra una implementación con registro de desplazamiento. Los switches de la figura están cerrados si la h asociada es 1 y abierto si es 0.
Fig N°9. Implementación de la convolución digital con un registro de desplazamiento
En la aplicación del código convolucional a menudo se transmite más de 1 bit por cada bit entrante. Entonces, refiriéndonos a la Fig N° 9, se puede ingresar 1 bit de entrada y setear los switches a un particular set de h’s y generar el primer bit de salida. Antes de alimentar el registro con otro bit, se pueden volver a setear los switches con otro set de h’s y transmitir un segundo bit. Si se transmiten 2 bits de salida por cada bit entrante, este código se denomina codigo convolucional de razón ½. Al enviar un código convolucional con una razón de ½, a veces se escoge el primer bit de cada bit transmitido con el fin de ser idéntico a la secuencia de información entrante. Este es equivalente a setear h 0 =1 y hn= para n≠0. En este caso, el código es conocido como código sistemático.
A continuación se presente un ejemplo de código convolucional no.sistemático de razón ½, se considera un registro de desplazamiento con el primer set de h’s dado por 101 y el segundo set de h’s en 011.
Comunicaciones de Datos 2001
performance del error. Ungerboeck investigo el incremento en la capacidad del canal que se podía lograr aumentando el conjunto de señales y concluyo que al doblar el numero de señales del canal ( p = 1 ), es posible al ganar casi toda la capacidad disponible del canal. Esto puede lograrse con un codigo de razón K/(K+1), y posteriormente mapeando grupos de K+1 bits dentro del conjunto de 2K+1^ símbolos.
2.2.2 Un Evento de Error
La figura N°12 muestra un evento de error en el código de Trellis, esta muestra una secuencia transmitida marcada U =.. ., U 1 , U 2 , U 3 ,... y una secuencia alternativa marcada como V=.. ., V 1 , V 2 , V 3 ,.. .Asumiendo decodificación Softdecision, un evento de error ocurre cuando el símbolo recibido esta mas cerca en distancia Euclidiana a alguna secuencia alternativa, V, que para la actual secuencia transmitida, U. Así la separación de U y V describen un evento de error. Esto implica que estas codificaciones para señales multilevel/phase deben ser diseñadas para lograr una máxima distancia libre Euclidiana mas que una máxima distancia libre Hamming; para decodificadores soft-decision, la mas grande distancia Euclidiana corresponde a la mas baja probabilidad de error. Por lo tanto, asignando puntos de señal para los bits codificados en una dirección se maximiza la distancia Euclidiana que es la clave para optimizar el código de Trellis. Ungerboeck investigo este problema de mapeo de bits-por-simbolos e ideó un procedimiento de asignación, llamado método de set partitioning, que siempre proporciona una ganancia en la codificación, dando una adecuada selección a los estados de Trellis. Las reglas de este mapeo bits- por-simbolos están basadas en el método de set partitioning , que pude ser resumido como sigue:
- Todas las transiciones paralelas en la estructura de Trellis son separadas por la máxima distancia Euclidiana posible. Transiciones paralelas se refieren a las palabras de rama resultantes de la transmisión de bits no codificados junto con los bits codificados (ver el ejemplo que sigue). La razón de esto esta basada en el hecho de que transiciones paralelas implican que solo eventos de signal-error pueden ocurrir. Esto limita la mínima distancia Euclidiana lograble a la mínima distancia en el subsets de señales asignadas a las transiciones paralelas.
- Todas las transiciones divergiendo de o emergiendo de un estado de Trellis son asignadas
a la próxima distancia Euclidiana de separación máxima posible.
Fig N°12. Ilustracion de un evento de error
En resumen, la codificación de Trellis para canales con ancho de banda limitados emplea grandes alfabetos de señales logrados a través de señalización multilevel/phase, tal que el ancho de banda del canal no se aumenta (Ej PAM M-ario, MPSK o QAM). Aunque el aumento en el set de señales reduce la mínima distancia entre símbolos, la distancia Euclidiana libre entre las secuencia de código Trellis se compensa ahora que los puntos de señales están más juntos. El resultado es una ganancia neta de performance de error de 3 a 6 dB sin ninguna expansión en el ancho de banda.
2.2.3 Ejemplo de código Trellis
Un codificador convolucional de razón 2/3 con longitud de contención K = 3 en mostrado en la figura N°13. El codificador de razón 2/3 es logrado transmitiendo un bit sin modificar de cada par de bits de la secuencia de entrada, y codificando el otro bit en dos bits usando un codificador de razón 1/2. El diagrama de Trellis resultante es mostrado en la figura N°14, donde las transiciones paralelas son debidas al bit sin codificar m 1 mostrado como el bit mas a la izquierda en cada rama de Trellis. Las dos ramas superiores emergiendo de cada estado representan transiciones debido a que m 1 m 2 pueden ser 00 y 10 respectivamente, las dos ramas inferiores representan transiciones debido a que m 1 m 2 pueden ser 01 y 11, respectivamente. La técnica de Viterbi para la decodificación será mostrada paso a paso en un ejemplo posterior. El segundo bit decodificado del par corresponde a la entrada m 2 este produce la transición de estados de la rama al ser decodificada. En la figura N°14 una rama con líneas sólidas corresponde a m 2 = 0 y una rama con líneas segmentadas corresponde a m 2 = 1.
Comunicaciones de Datos 2001
Fig N°13. Encoder convolucional de razón 2/3.
Fig N°14. Diagrama de Trellis.
2.2.4 Ganancia de codificación para codificación Trellis
Considerar el ejemplo anterior. Se asume una simple señal unidimencional con modulación de pulsos de distintos niveles de amplitud (PAM), como el mostrado en la figura N°15. En la figura N°15a se muestra una señal 8-aria PAM. Puesto que se asume softdecisions, la distancia métrica apropiada es la Euclidiana. La distancia Euclidiana de cada señal, tomada desde el centro, es mostrada en unidades arbitrarias. También se muestra la asignación de bit-to-symbol de acuerdo
con el conjunto de reglas de partición. Se puede notar la adherencia a estas reglas, por medio de la comparación de la figura N°15 con la N°14. Todas las transiciones paralelas son separadas por una distancia de ocho unidades, y todas las ramas divergen de un estado dado que esta separado por lo menos cuatro unidades.
La potencia promedio de la señal, Sav, se calcula de ña siguiente forma:
M
d d d
S av M
2 2 2
2
=^1 + +....^ +
Donde di es la distancia Euclidiana de la iesima señal del centro del espacio, y M es la numero de palabras codificadas del conjunto de símbolos. Para el conjunto de señales mostrado en la figura N°15a, donde M = 8, al usar la ecuación anterior se obtiene Sav = 21. La figura N°15b muestra un conjunto de señales PAM 4-aria que no codificado equivale a una razón de 2/3 del conjunto codificado; la distancia Euclidiana fue escogida para obtener la misma potencia promedio de la señal que en el caso de la codificación de la figura N°15a.
Fig N°15. Conjunto de señales PAM 8-ario y 4-ario.
La figura N°16 muestra la mínima distancia de un evento de error para el encoder mostrado en la figura N°13. La secuencia transmitida se asume que corresponde a todos los caminos de ceros. Cada una de las palabras correspondientes a las ramas en este camino poseen una distancia Euclidiana de 7 unidades desde el centro del espacio. El evento de error diverge del camino de puros ceros por la primera transición al estado 10, luego al estado 01 y finalmente reemerge al estado 00. En cada una de las ramas del evento de error esta escrita su distancia Euclidiana desde el centro del espacio, asumiendo el bit no codificado m 1 = 0; esta suposición asegura que la distancia entre todos los
Comunicaciones de Datos 2001
codificación actual depende de los datos que se envían ahora y que se enviaron en el pasado.
Un código convolucional queda especificado por tres parámetros a saber:
(n,k,m), donde:
n es el número de bits de la palabra codificada k es el número de bits de la palabra de datos m es la memoria del código o longitud restringida
Ejemplo de este código son:
Código (2,1,3):
Esto quiere decir que la palabra codificada tiene 2 bits de longitud, la entrada son bloques de 1 bit y la salida depende de los dos bloques anteriores y del actual.
Código (4,2,3):
Esto quiere decir que la palabra codificada tiene 4 bits de longitud, la entrada son bloques de 2 bit y la salida depende de los dos bloques anteriores y del actual.
A continuación se explica el proceso de codificación para un código convulocional:
Proceso de Codificación:
El proceso de codificación de estos códigos se realiza utilizando un dispositivo lógico en el codificador.
Un canal del codificador es el siguiente:
Fig. N°17. Canal Conmutador Convolucional
Un ejemplo de la codificacion convulocional y su interacción con el conmutador se muestra a continuación:
Ejemplo: Codificador convolucional (4,3,5)
El canal conmutador es el siguiente (fig.18):
Fig. N°18. Canal Conmutador
El conmutador con las dos entradas hace el papel de un registro de desplazamiento de dos estados. El código convolucional es generado introduciendo un bit de datos y dando una revolución completa al conmutador. Inicialmente se supone que los registros intermedios contienen ceros.
En este ejemplo la palabra codificada se obtiene como resultado de sumas módulo-2 entre los bits indicados que están almacenados en los registros intermedios.
Las secuencias de salida para el código anteriormente descrito son las siguientes:
Entrada (S3,S2,S3)
Salida (O1,O2)
000 00 001 11 010 01 011 10 100 10 101 01 110 11 111 00 Tabla N°3.
Ahora como ejemplo de funcionamiento del codificador anterior se supondrá el envió de la secuencia de bits 0101 (donde los bits más a la derecha son los más antiguos). El proceso de codificación es el siguiente:
- Se introduce el primer bit de la secuencia en el codificador, de esta manera se obtiene el siguiente canal:
Fig. N°19.
Comunicaciones de Datos 2001
- Se introduce el segundo bit de la secuencia en el codificador:
Fig. N°20.
- Se introduce el tercer bit de la secuencia en el codificador:
Fig. N°21.
- Se introduce el cuarto bit de la secuencia en el codificador:
Fig. N°22.
Siguiendo las secuencia respectivas de las figuras se observa que al final del proceso de codificación se obtiene que la secuencia codificada es: 01 01 01 11.
Debido a que el código convolucional es un código que requiere memoria es necesario disponer de medios gráfico adecuados para determinar la salida asociada a una determinada entrada.
Existen 3 métodos gráficos apropiados:
Diagrama árbol o árbol del código: representación mediante un árbol binario de las distintas posibilidades.
Diagrama de estados: es la forma menos utilizada.
Diagrama de Trellis o enrejado: es la forma más utilizada porque es la que permite realizar la decodificación de la forma más sencilla
Para el ejemplo del codificador (2,1,3) anteriormente especificado se tiene el siguiente Arbol de código:
Fig. N°23.
La profundidad genérica de un árbol es
2 ( m − 1 ), y el número de estados es
( m 1 ) k
−
. La interpretación del árbol del código es la siguiente: Hay dos ramas en cada nodo. La rama superior corresponde a una entrada de un 0. La rama inferior corresponde a la entrada de un 1. En la parte exterior de cada rama se muestra el valor de salida. El número de ramas se va multiplicando por dos con cada nueva entrada. A partir del segundo nivel el árbol se vuelve repetitivo. Si se
Comunicaciones de Datos 2001
Descripción del algoritmo de Viterbi:
Paso 1: en el nivel j, se calcula la distancia de Hamming de cada camino entrante en cada nodo (estado) desde el nodo del nivel j-1 hasta el nodo del nivel j a través del camino superviviente.
-Paso 2: para cada nodo (estado) del diagrama de Trellis en el nivel j, se descartan todos los caminos que entran en el nodo, excepto el de distancia mínima. Cuando a un nodo llegan dos caminos con la misma distancia se toma el superior.
Paso 3: Se pasa al nivel j+1 y repiten los pasos 1 y 2.
Los pasos anteriores se aplican para j mayor o igual que 2. Hasta ese valor se expanden los caminos.
Se mostrará a continuación un ejemplo de aplicación de este algoritmo sobre una cadena codificada con el codificador (2,1,3) del ejemplo de codificación que se ha seguido en el desarrollo de esta sección.
El codificador envía la secuencia: 11 01 10 11 10 00 11
correspondiente a la codificación de la cadena 1 0 0 1 1 1 0
El receptor recibe la secuencia: 11 01 0 0 11 1 1 00 11
Se aprecia que con respecto del original se han producido dos errores (posiciones 5 y 10).
El Algoritmo de Viterbi permitirá corregir los error, a continuación se muestran los pasos que se siguen:
Paso 1 El cálculo de las distancias entrega:
d(11,00) = 2 , d(11,11) = 0
Fig. N°26.
Paso 2
El cálculo de las distancias entrega:
2+d(01,00)=2 + 1 = 3 , 0 + d(01,01) = 0 + 0 = 0 2+d(01,11)=2 + 1 = 3 , 0 + d(01,10) = 0 + 2 = 2
En este momento se encuentra el análisis en el nivel 2. A partir de ahora se comienza a aplicar el algoritmo.
Se ve que a cada estado del nivel 2 llega un único camino, por lo tanto el análisis indica que deben quedarse todos los caminos hasta el momento.
Fig. N°27.
Paso 3
El Cálculo de las distancias indica: 3 + d(00,00) = 3 + 0 = 3 0 + d(00,10) = 0 + 1 = 1 3 + d(00,11) = 3 + 2 = 5
Para cada estado del nivel 3 se debe quedar con el camino de menor peso que llegue a él. Los caminos que se han seleccionado hasta el momento aparecen marcados con un color azul.
Comunicaciones de Datos 2001
Fig. N°28.
Paso 4
Fig. N°29.
Paso 5
Fig. N°30.
Paso 6
Fig. N°31.
Paso 7
Fig. N°32.
Una vez que se ha llegado al final, se escoge el camino que da la distancia más corta en el último nivel. Una vez seleccionado el camino, se elige el bit que provoca la transición de estado entre dos niveles comenzando desde el primer nivel hasta el último. La secuencia de bits obtenida es la cadena decodificada.
Para el ejemplo que se analiza, se tiene que la distancia más corta en el último nivel es 2 y viene dada por:
Fig. N°33.
Ahora se selecciona en cada nivel el bit de entrada que provoca la transición de estados que se refleja según el camino obtenido. De esta forma se obtiene:
Nivel bit
1 1 2 0 3 0 4 1 5 1 6 1 7 0 Tabla N°4.
Por lo tanto, la secuencia decodificada obtenida es 1 0 0 1 1 1 0. Se Aprecia que coincide con la cadena codificada por el codificador y enviada al decodificador. Por lo tanto el código
Comunicaciones de Datos 2001
la mínima distancia en código convolucional). Para el caso anterior dE=1.608.
Dado que DE es una medida de la cercanidad espacial entre puntos de estado adyacentes (y por consiguiente también con más probabilidad para causar errores), ello dicta el límite más bajo para la probabilidad de error para el Trellis de la siguiente manera:
Pe a dE ercf dE ⋅ E ⋅ n 0
Donde, a(dE) es el número de caminos erróneos a una distancia dE. En un Trellis de 2 estados, hay 2 caminos erróneos a una distancia de dE. Por consiguiente la probabilidad de error es:
Pe ≥ ercf ( ( 1. 608 / 2 )/( E / n 0 ))
Comparando, la probabilidad de error para un QPSK regular, se tiene:
Pe ≥ ercf (( 1. 404 / 2 )/( E / n 0 ))
Por lo tanto la mejora de código Trellis de dos estados sobre QPSK es por lo tanto 1.608/1.414 o 1.1 dB.
2.3 Módem de 9600 bps
2.3.1 Modulacion en V.32 Utilizando Código de Trellis:
La normalización V.32 utiliza decodificación Trellis para comunicaciones de 9600 bps. En V.32 se utiliza un canal codificador TCM con una ganancia de 4dB, utilizada en V.32 para modems de Banda Vocal Full duplex de dos-hilos utiliza una decisión de decodificación suave (como se mostrará en los párrafos siguientes). Así, se logra una más alta confiabildiad.
2.3.2 TCM por modem de 9600 bps de Banda Vocal.
El código TCM se usa en V.32 para los módem de 9600bps para obtener inmunidad del ruido más alta por sobre la de la transmisión no- codificada a la misma tasa de transferencia de los datos, potencia de la transmisión y límite del Ancho de Banda.
Generalmente, el TCM combina la codificación y la modulación juntos al fin de del envió del mensaje, el canal de codificación es normalmente un código convolucional. El canal de la modulación es de alto-orden QAM o PSK. Mientras al extremo del receptor, no se realizan la decodificación y demodulación en pasos del separados, sino entrelazó en un solo paso.
Debido a estos procesos combinados de decodificación y demodulacion, el parámetro que domina el perfromace es la “Distancia Euclidiana libre” entre las secuencia de codificado de la señal, no lo “Distancia de Hamming Libre” como se utiliza en los sistemas tradicionales de decoding/demodulation. También, la decisión hecha es un proceso de decisión suave en lugar de uno duro, es decir, las señales recibidas se procesan antes de las decisiones e haga, cuando los símbolo que se estén transmitiendo corresponden.
2.3.3 La necesidad de TCM.
Generalmente hablando, los parámetros que afectan el performance de un canal de transmisión digital no codificado son:
R: Razón de la información B: Ancho de Banda del Canal SNR: Razón señal a ruido P(e): Probabilidad de Error.
Si se utiliza el canal de la modulación donde la constelación de la señal consiste en de M’ estados (el conjunto completo es llamado O’). Asumiendo que cada uno de estos estados es independiente de los otros, es decir, cada uno es una señal transmitida igualmente aceptable. Entonces el dmin, la mínima Distancia Euclidiana entre dos secuencias del vector de la señal aceptables, se dará (como se mostró en la sección anterior) por:
2 2
d min =min x '− x ''
Comunicaciones de Datos 2001
Una relación entre los parámetros del canal es dada por:
N
E
erfc
M
p e b
donde erfc ( x )= 1 / 2 − erf ( x ), Eb / N 0
( N 0 / 2 la varianza del ruido Gaussiano) es la
razón señal a ruido y se tiene que:
log '
2 M
E
Eb =
2
' = (^) ∑ x
M
E
log '
2
2
2 min M
E
d
De la ecuación anterior para P(e), se puede ver que para mejorar el performance del sistema, se puede aumentar M', dmin, o Eb/No. Sin embargo, cuando se aumenta M', disminuye dmin, y disminuye E', dada la disminución de Eb. Esto en la practica es desalentador. Como un ejemplo, si se compara un sistema no-codificado 4-PSK y un modulador codificado 8-PSK con razón de codificación 2/3. Ambos sistemas transmiten 2bit/sec/Hz. Si el sistema 4-PSK opera a P(e) = 10E-5, al mismo SNR, el 8-PSK excederá 10E-2 debido al valor de dmin disminuido.
2.3.4 Particiones del conjunto.
Así, la manera correcta de mejorar el performance del canal no es usar simplemente un alto-orden la constelación de la señales, en cambio, la idea correcta viene de restringir las secuencias transmitidas a un subconjunto de O mientras se incrementa M' a M, es decir, O' extendida a O. Este concepto es de significado central para un TCM, y se conoce como Partición Fija. Dos ejemplos de partición de conjunto se muestran a continuación.
Fig. N°38. Partición de Conjunto de una constelación 8-PSK.
Fig. N°39. Partición de Conjunto de una contelación 16-QAM
Con esta práctica, como se muestra en las figuras anteriores, se aumenta esencialmente dmin, la distancia mínima se llama dfree, que se obtiene de la ganancia de una distancia. Por otro lado, una pérdida de energía es asociada con un aumentó M'. El efecto total es un codificador con ganancia asimtotica definido por:
d E
d E
2 min
2
γ = min
En la implementación V.32, un codificador con ganancia asimtótica de 4db se obtienen por el uso de un canal de código convolucional propio.
2.3.5 Modulador TCM y la codificación convolucional V.32.
Con la introducción de interdependencias entre las señales y la expansión del conjunto señalado, se puede construir un modelo general para el sistema de Codificación Modulación Trellis. Un diagrama de un modelo semejante se muestra en figura a continuación.
Comunicaciones de Datos 2001
- Basado en el diagrama de Trellis, computar la distancia para cada una de las ramas que se conectan a cada estado en el diagrama;
- Evaluar el camino o distancia mínima.
Asumiendo que se quiere transmitir una sucesión de símbolos M-ario:
x = (x(0), x(1), ..., x(K-1))
Debido al ruido agregado durante la transmisión, se recibe:
y = (y(0), y(1), ..., y(K-1))
Ahora el demodulador decidirá una sucesión X, como la mejor estimación de la secuencia transmitida X. Esto es hecho a través del cálculo de una probabilidad condicional, que escoge el x con el máximo P[y(t)|x]:
Para un canal AWGN (Canal con ruido Blanco Gaussiano Adicionado), esto terminará con el cálculo de una distancia asociada con y(t). no se da el detalle de este cálculo aquí.
En el próximo paso, se utiliza una algoritmo de Viterbi para encontrar el distancia mínimo, este paso se muestra a través de dos ejemplos abajo (fue analizado detenidamente en una sección anterior):
En la figura abajo, la distancia de rama esta dada, el camino métrico parcial mostrado es acumulado desde el punto de la profundidad de Trellis, un paso más de Trellis dará un mínimo de -2.0, para que el camino de fondo sea el camino del sobreviviente o el más adecuado.
Fig. N°43. Decodificador TCM para un paso único de Trellis.
En este segundo ejemplo , el Trellis original se da a lo largo de todas las ramas métricas. Desde el principio de el estado k= hasta el final el estado k=4, el camino mínimo se cierne fuera y se muestra al fondo.
Fig. N°44. Decodificador TCM.
3 Resultados
El resultado más relevante logrado con la codificación Trellis es la ganancia de código que se obtiene frente a un esquema no codificado. Como ejemplo, se compara la codificación PAM 4-aria con la codificación Trellis en la siguiente tabla:
Numero de estados de Trellis
K
Ganancia de potencia promedio (dB) 4 3 3. 8 4 3. 16 5 4. 32 6 4. 64 7 5. 128 8 5. 256 9 5.
4 Conclusiones
La codificación M-aria permite un incremento sustantivo en la capacidad del canal sin aumentar el ancho de banda, sin embargo en estos momentos la codificación Trellis es la que más se acerca al límite establecido por la Ley de Shannon, la cual está regida principalmente por la razón señal a ruido propia del canal.
Las constelaciones son también objeto de estudio con el fin de lograr cada vez mayores desempeños en el error para una razón señal a ruido dada.
Comunicaciones de Datos 2001
La distancia Euclidiana es la mínima distancia entre puntos pertenecientes a una constelación, la que cuando disminuye aumenta la probabilidad de error ya que la constelación se hace más compleja y el receptor tiene más trabajo para ubicar el punto correcto.
La modulación con código de Trellis logra disminuir la probabilidad de errores en una transmisión sin aumentar el ancho de banda del canal, lo que la hace muy importante para canales de ancho de banda limitado como el telefónico.
Al aumentar los estados de Trellis se disminuye aún más la probabilidad de errores, esto con la desventaja de que se aumenta considerablemente la complejidad de la decodificación, es decir, se necesitan decodificadores difíciles de implementar.
Existen otras técnicas de modulación que permiten una disminución del error en la transmisión, pero Trellis es la más usada debido a que ésta permite la decodificación con le algoritmo de Viterbi.
Se presentó una análisis del diagrama de Trellis, explicando la forma de obtención de estos diagramas, para ello se hizo uso de los métodos gráficos normales como lo es el árbol del código, con el ejemplo analizado se comprobó la forma de obtención del diagrama de Trellis. Los método gráficos son necesarios al evaluar código de Trellis, debido a que este es un código convolucional que requiere memoria.
Para la decodificación de código Trellis se precisa encontrar o buscar un camino en el diagrama de Trellis (o en el árbol del código) de manera tal de encontrar una secuencia de bits más probable, de no haber errores en la transmisión, entonces la decodificación encontrará la secuencia exacta transmitida.
La capacidad correctora de los códigos convolucionales como Trellis se debe a que los codificadores convolucionales añaden una estructura a la secuencia de bits. Para la decodificación en Trellis se utiliza el Algoritmo denominado Viterbi, este algoritmo se basa en el principio de la optimabilidad , lo que implica que el mejor camino a través del diagrama de Trellis que pasa por un determinado nodo, necesariamente incluye el mejor camino desde el principio del diagrama de Trellis hasta este nodo,
esto permite la eliminación de algunas posibles rutas o caminos innecesarias. Por lo tanto el algoritmo de Viterbi se procede mediante el cálculo reiterados de distancias, para distintos niveles, eligiéndose el de distancia más corta.
Como muestra de una aplicación de código Trellis se analizó el módem V.32 de 9. bps, este módem utiliza un esquema codificador TCM con una ganancia de 4dB; este código se utiliza para obtener una mayor inmunidad al ruido sobre una transmisión codificada en otros códigos o no-codificada. Debido a los procesos combinados de decodificación y demodulación en el módem, el parámetro que regula el performance de la transmisión es la distancia Euclidiana Libre y no la Distancia de Hamming Libre como en los sistemas tradicionales. La teoría de decisión involucrada es suave, es decir las señales recibidas se procesan antes de que la decisión se haga cuando los símbolos que se estén transmitiendo correspondan.
La manera correcta de mejorar el performance del canal, no es simplemente aumentar el orden de la constelación, si no más bien restringir las secuencias trasmitidas a un subconjunto menor que el conjunto completo mientras se incrementa los estados de la constelación , este concepto se conoce como partición fija; sin embargo un aumento de los estados de la constelación implica una pérdida de energía. El código TCM V.32 utiliza m= símbolos de salida binarios, tiene un conjunto de señales 2(m+1)=32 vectores de señales en la costelación ; también utiliza un encoder no-lineal (es decir que el código es invariante a una rotación de 90° mientras mantenga la misma ganancia de código de 4db) convolucional con 2 entradas 3 salidas e implementada una memoria v=3.
Un modelo encoder TCM se describe completamente haciendo uso de la variable de estado de un modelo de Modulacion/Codificación Ungerboeck (que es una familia muy importante de TCM), tanto para el instante actual, como para el estado siguiente y de la salida en el instante considerado; unido al concepto de partición de conjunto.
