Conceitos básicos de campos magnéticos e indução eletromagnética, Esquemas de Física

Baixe Conceitos básicos de campos magnéticos e indução eletromagnética e outras Esquemas em PDF para Física, somente na Docsity! PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA Professores: Edson Vaz e Renato Medeiros ELETRICIDADE E MAGNETISMO NOTA DE AULA IV Goiânia - 2013 MAGNETISMO As primeiras observações de fenômenos magnéticos são muito antigas. Acredita- se que estas observações foram realizadas pelos gregos, em uma região denominada Magnésia. Eles verificaram que existia, nesta região, certo tipo de pedra (minério de ferro atualmente denominado imã natural) que era capaz de atrair pedaços de ferro. Portanto, os primeiros fenômenos magnéticos observados foram associados aos chamados imãs naturais, fragmentos das rochas encontradas perto da cidade de Magnésia. Esses imãs naturais têm a propriedade de atrair ferro desmagnetizado, o efeito sendo mais pronunciado em certas regiões do imã conhecidas como polos. A Terra tem um campo magnético próprio, como mostra a figura abaixo. Nesta figura podemos observar que os polos Norte e Sul geográficos terrestre estão invertidos com relação aos polos Norte e Sul magnéticos. Devemos observar que os polos magnéticos e geográficos não são coincidentes, ou seja, o polo sul do campo magnético da Terra está situado nas proximidades do polo norte geográfico. Observa-se que um pedaço de ferro, depois de colocada perto de um imã, adquire as mesmas propriedades deste imã. Assim, foi possível obter-se os imãs artificiais. Os imãs (naturais ou artificiais) apresentam determinados fenômenos magnéticos, entre os quais destacamos:  Polos de um imã – os pedaços de ferro são atraídos com maior intensidade por certas partes do imã, as quais são denominadas polos do imã. Polo norte de um imã é aquela extremidade que, quando o imã pode girar livremente, aponta para o norte geográfico (sul magnético) da Terra. A extremidade que aponta para o sul geográfico (norte magnético) da Terra é o polo sul do imã.  Princípio da atração e repulsão – Polos de mesmo nome se repelem e polos de nomes contrários se atraem. ELETROMAGNETISMO Podemos considerar como princípio básico do eletromagnetismo, o fato de que: quando duas cargas elétricas estão em movimento, manifesta-se entre elas, além da força eletrostática, outra força, denominada força magnética. Ou seja, uma carga em movimento cria, no espaço em torno dela, um campo magnético que atuará sobre outra carga, também em movimento, exercendo sobre ela uma força magnética. Antes de iniciarmos o estudo do nosso próximo assunto (a força magnética), iremos discutir o conceito de produto vetorial. PRODUTO VETORIAL O produto vetorial entre dois vetores, a e b , representados por a x b , é um vetor c cujo módulo c é dado pela expressão c ab sen , Onde  é o menor dos ângulos entre as direções de a e b . A direção de c é perpendicular ao plano formado por a e b , o sentido ao longo desta direção pode ser dado pela regra da mão direita. Quando a e b forem paralelos ou antiparalelos ( 0 180º )ou   , 0a b  . EXERCÍCIO 1. Usando a regra do determinante, mostre que o produto vetorial entre dois vetores a e b pode ser escrito como: a x b ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )y z y z z x z x x y x ya b b a i a b b a j a b b a k      Força magnética sobre cargas elétricas em movimento Alguns aspectos da Força magnética sobre uma carga em movimento são análogos a propriedades correspondentes da força do campo elétrico. Ambos têm intensidade proporcional à carga. Além disto, ambos são proporcionais à intensidade ou ao módulo do campo. A dependência da força magnética com a velocidade da partícula é muito diferente do caso da força do campo elétrico. A força elétrica sobre uma carga não depende da velocidade; ela é a mesma quer a carga se mova ou não; já a força magnética tem um módulo que é proporcional à componente de velocidade perpendicular ao campo. A força magnética que atua em uma partícula com carga q, pode ser definida como o produto da carga q pelo produto vetorial da sua velocidade v pelo campo magnético B . F = q v B  F = q v B sen  onde: F  é o módulo da força magnética que atua na carga q v  é o módulo da velocidade de q B  é o módulo do campo magnético Direção e sentido da força magnética A força magnética tem direção perpendicular a v e a B , isto é , ao plano definido por v e B . O sentido de F é o mesmo do produto vetorial v B , se a carga q for positiva e contrária a este sentido se q for negativa. A direção e sentido da força magnética podem ser encontrados por várias regras práticas, entre elas podemos citar a regra da mão direita ou da mão esquerda. Observando a equação anterior podemos verificar que a força será igual a zero se a carga for nula ou se a partícula estiver em repouso. A mesma equação também nos diz que a intensidade da força será nula se v e B forem paralelos ( 0  ) ou antiparalelos ( 180  ), e a força atingirá seu valor máximo quando v e B forem perpendiculares um ao outro. Como a força magnética não possui uma componente paralela à v , ela não consegue alterar o valor da velocidade da partícula (portanto não consegue alterar a energia cinética da partícula). A força pode modificar apenas a direção da velocidade da partícula, mudando, portanto, a direção de sua trajetória. Regra da mão direita. Bdedão F dedos v B      Unidade de campo magnético A unidade do campo magnético no SI é o Newton. Segundo por Coulomb.Metro. Por conveniência, esta unidade e chamada de tesla ( ) . . 1 . N s C m = 1 tesla = 1 No eletromagnetismo é comum a representação de vetores perpendiculares ao plano da folha, portanto alguns alunos relacionam, equivocadamente, a representação de vetores entrando ou saindo da folha, apenas com grandezas estudadas no eletromagnetismo. Devemos lembrar que esta representação pode ser usada para qualquer grandeza vetorial. 2 2 2 r mv T v vqB m T qB       Observe que o período T não depende da velocidade. 3 o Caso: A carga elétrica é lançada obliquamente às linhas de indução. Neste caso a componente v (paralela ao campo magnético) ocasiona um MRU e a componente v (perpendicular ao campo magnético) ocasiona um MCU. A composição destes dois movimentos é um movimento helicoidal uniforme e a trajetória é chamada de hélice cilíndrica. Na figura abaixo temos a representação de trajetória para o caso de um campo magnético uniforme (b) e de um campo não uniforme (c). Ver estudo mais detalhado sobre garrafa magnética, cinturões de radiação de Van Allen e aurora, no livro texto. O passo da hélice (p) pode ser encontrado da seguinte maneira: 2 cos 2 cos 2 cos m p v T v qB mv p r qB           Aceleradores de partículas Aceleradores de partículas podem usar campos elétricos e magnéticos para obter partículas com alta energia. O cíclotron e o sincrotron são aceleradores de partículas que utilizam um campo magnético para fazer a partícula passar repetidas vezes por uma região onde existe um campo elétrico, o qual gera um aumento no valor da velocidade da partícula. O cíclotron é um instrumento que foi desenvolvido em 1931 pelos físicos Lawrence e Livingston da Universidade da Califórnia. A teoria envolvida na descrição do funcionamento do cíclotron é bastante simples. A parte principal do acelerador é formada por um par de câmaras metálicas em forma de um semicírculo, algumas vezes denominadas de "D", por causa da sua forma. No caso do cíclotron, as partículas descrevem uma trajetória espiral, ganhando energia cada vez que atravessa a região onde existe um campo elétrico (o espaço entre os dês). O funcionamento do cíclotron se baseia no fato de que a frequência com a qual a partícula circula, sob o efeito do campo magnético, não depende da velocidade. Portanto podemos ter um oscilador que inverte o sentido do campo elétrico na mesma frequência que a partícula circula. No sincrotron a frequência de revolução das partículas varia com o tempo, mas permanece em fase com a frequência do oscilador. Neste caso a trajetória das partículas é circular em vez de espiral. E X E R C Í C I O 5. Quais são as funções fundamentais (a) do campo elétrico e (b) do campo magnético no cíclotron? 6. Uma partícula eletrizada positivamente, colocada em um campo magnético uniforme, é lançada para a direita com uma velocidade v , como mostra a figura abaixo. Desenhe, na figura, a trajetória que a partícula descreverá. 7. Considerando o esquema do exercício anterior, desenhe a trajetória da partícula supondo que sua carga seja negativa. 8. Uma partícula eletrizada positivamente é lançada horizontalmente para a direita, com uma velocidade v . Deseja-se aplicar à partícula um campo magnético B , perpendicular a v , de tal modo que a força magnética equilibre o peso da partícula. a) Qual devem ser a direção e o sentido do vetor B para que isto aconteça? b) Supondo que a massa da partícula seja m = 4,0 miligramas, que sua carga seja q = 2,0 .10 - 7 C e que sua velocidade seja v = 100 m / s, determine qual deve ser o valor de B . R: a)  B b) 1,96 T 9. Em um laboratório de Física Moderna, um dispositivo emite íons positivos que se deslocam com uma velocidade v muito elevada. Desejando medir o valor desta velocidade, um cientista aplicou na região onde os íons se deslocam os campos uniformes, E e B , mostrados na figura deste problema . Fazendo variar os valores de E e B ele verificou que , quando E = 1,0x10 3 N /C e B = 2,0x10 - 2 T , os íons atravessavam os dois campos em linha reta , como está indicado na figura . Com estes dados, o cientista conseguiu determinar o valor de v . Qual foi o valor encontrado por ele? Despreze a massa do íons. R: 5x104 m/s carregadas P e P´ sem serem desviados (ou seja, os que possuem uma velocidade E/B), entram em uma região onde existe um segundo campo magnético 'B que os faz descrever um semicírculo. Uma placa fotográfica (ou um detector moderno) registra a posição final dos íons. Mostre que a razão entre a carga e a massa dos íons é dada por '/ /q m E rBB , onde r é o raio do semicírculo. 20. Um elétron é acelerado a partir do repouso por uma ddp de 350 V. Ele penetra, a seguir, num campo magnético uniforme de módulo 200 mT com sua velocidade perpendicular ao campo. Calcular (a) a velocidade escalar do elétron e (b) o raio de sua trajetória no campo magnético. R: a) 1,11 x 10 7 m/s b) 3,16 x 10 -4 m Força magnética sobre um condutor retilíneo percorrido por uma corrente elétrica Se há interação entre campo magnético e partículas portadoras de carga elétrica, há uma interação entre campo magnético e um condutor percorrido por corrente elétrica, pois a corrente elétrica é constituída pelo movimento de portadores de carga elétrica. Se um segmento de fio retilíneo, de comprimento L, percorrido por uma corrente i, for colocado numa região onde existe um campo magnético uniforme B (como está representado na figura abaixo), sobre este segmento de fio atuará uma força magnética dada por F iL B F B i L sen    onde: F  é a força magnética que atua no fio L é o comprimento do segmento do fio, sendo que: L  é um vetor de intensidade L e está dirigido na mesma direção do segmento do fio no sentido (convencional) da corrente elétrica. ϕ  é o ângulo entre o campo magnético B e a corrente i ou o vetor L . Direção da força magnética A direção (e sentido) da força magnética é a do produto vetorial L x B . Então, a força magnética é sempre perpendicular ao plano definido pelos vetores L x B , e o sentido de F pode ser dado pela regra da mão direita ou da mão esquerda. Observação: Se o fio não for retilíneo ou o campo magnético não for uniforme, podemos imaginar o fio repartido em pequenos segmentos retos e calcular a força em cada segmento. A força sobre o fio como um todo e, então, a soma vetorial de todas as forças que agem sobre os segmentos que compõem o fio. No limite diferencial, podemos escrever o elemento de força sobre dL como: dF i dL B  Podemos determinar a força resultante sobre qualquer arranjo fornecido de correntes por meio da integração de dF sobre este arranjo. Torque em uma espira percorrida por corrente elétrica. O princípio de funcionamento dos motores elétricos é baseado no torque produzido por forças magnéticas. Na figura abaixo temos a representação de uma espira percorrida por uma corrente elétrica, imersa em um campo magnético. As forças magnéticas produzem um torque na espira que tende a fazê-la girar em torno de um eixo central. Uma bobina na presença de um campo magnético uniforme experimente um torque dado por: B   , onde  é o momento magnético dado por: NiA  , onde N é o número de espiras e A é a área da espira (Ver a demonstração desta expressão no livro texto). Usando a definição de produto vetorial, temos: Bsen NiABsen        sobre um eixo de condução. Uma corrente passa debaixo de um dos trilhos, através de uma roda condutora, do eixo, da outra roda condutora e, então, volta à fonte pelo outro trilho. (a) Que corrente é necessário para fornecer uma força modesta de 10 kN? Suponha que o componente vertical do campo magnético da Terra seja igual a 10 μT e que o comprimento do eixo seja 3 m. (b) Quanta potência será dissipada para cada ohm de resistência nos trilhos? (c) Um trem como este é real. R: a)3,33x10 8 A; b) 1,11x10 17 W; c) não. Campo magnético gerado por corrente elétrica Já comentamos que a experiência de Oersterd levou à conclusão de que as cargas elétricas em movimento (corrente elétrica) criam campo magnético no espaço em torno delas. Em 1820, Hans Christian Oersted (1777-1851) mostrou que uma bússola sofria deflexão quando era colocada perto de um fio percorrido por corrente elétrica. Por outro lado era conhecido que campos magnéticos produzem deflexão em bússola, o que levou Oersted a concluir que correntes elétricas induzem campos magnéticos. Com isto ele havia encontrado, então, uma conexão entre eletricidade e o magnetismo. Iremos, agora, analisar a relação entre o campo magnético e as correntes elétricas que originaram este campo. Estudaremos os campos magnéticos que são estabelecidos por alguns tipos particulares de condutores percorridos por uma corrente elétrica. Devemos lembrar que o campo magnético é uma grandeza vetorial e que este campo pode ser representado por linhas de campo. Para facilitar a representação do campo magnético gerado por corrente elétrica podemos usar uma regra da mão direita que relaciona a corrente elétrica com o campo magnético gerado por esta corrente elétrica. Esta regra prática, muito usada, nos permite facilmente obter o sentido do campo magnético em torno de um fio. Dispondo o polegar da mão direita ao longo do fio condutor, no sentido da corrente elétrica, e os demais dedos envolvendo o condutor, estes dedos nos indicarão o sentido das linhas de campo magnético. O sentido das linhas de campo em cada pondo nos indica a direção e sentido do campo magnético neste ponto. Na figura abaixo temos a representação desta regra da mão direita e das linhas de campo magnético gerado por um fio reto percorrido por uma corrente elétrica i. No estudo do campo elétrico usamos duas leis para determinar este campo, a lei de Coulomb e a lei de Gauss. De modo semelhante vamos usar duas leis para estudar o campo magnético gerado por corrente elétrica, a lei de Biot - Savart e a lei de Ampère. Lei de Biot – Savart O campo magnético criado por um condutor transportando uma corrente elétrica pode ser encontrado pela lei de Biot – Savart. Para determinarmos o campo magnético gerado por um fio de forma arbitrária podemos dividir mentalmente o fio em elementos infinitesimais ds e definir para cada elemento um vetor comprimento ds de módulo ds e sentido da corrente em ds. Se definirmos um elemento de corrente i ds , a lei de Biot – Savart assegura que a contribuição dB do campo magnético, devido ao elemento de corrente i ds , num ponto P , a uma distância r do elemento de corrente, é dado por: 0 34 i d d r     s r B Podemos calcular o campo resultante B no ponto P somando, por meio de integração, as contribuições dB de todos os elementos de corrente. Na expressão acima, o é uma constante chamada de permeabilidade do vácuo, cujo valor é: o =4 x10 -7 T.m/A. Campo Magnético no centro de uma espira circular O campo magnético no centro de uma espira circular, percorrida por uma corrente elétrica i, é diretamente proporcional à corrente elétrica e inversamente proporcional ao raio da espira. 2 i B r   onde: r  é o raio da espira Direção e sentido de B  A direção do campo magnético é normal ao plano da espira.  O sentido de B pode ser dado pela regra da mão direita. Podemos usar a lei de Biot - Savart para demonstrar a expressão usada para o cálculo do campo magnético no centro de uma espira circular de raio r, percorrida por uma corrente i. Partindo da Lei de Biot-Savart, temos: 3 3 2 2 2 2 2 0 90 4 4 4 int : 4 2 4 4 2 o o o o o r o o o ids r idsrsen ids dB dB r r r egrando ids dB r i i B ds r r r i B r                            Com isso temos que o módulo do campo magnético em um fio retilíneo longo é dado por: 2 oiB r    Vamos usar a lei de Ampère para estudar o campo magnético no interior de um fio longo retilíneo percorrido por corrente elétrica distribuída uniformemente na seção reta do fio. int . 2 2 erior o o o o o o B ds i B r i i B r          . Como a corrente está uniformemente distribuída na seção reta do fio, a densidade de corrente tem o mesmo valor para a área no interior da curva amperiana e em toda a área do fio: 2 2 2 2 o o o o o i ii i J J A A R r ir i R        Substituindo, temos: 2 2 2 . 2 2 2 o o o i ir B r r R ir B R               Observe que no interior do fio o campo magnético é proporcional a r; o campo é nulo centro do fio e máximo na superfície, onde r = R. Campo magnético de um solenóide Denomina-se por solenoide um fio condutor enrolado em uma helicoidal com voltas de espaçamento muito próximo, ou seja, uma bobina helicoidal formada por espiras circulares muito próximas. Ele é considerado um solenoide ideal quando for infinitamente grande, com isto queremos dizer que ele é formado por um número muito grande de espiras. Se uma corrente percorre o solenoide ela induz campos magnéticos em seu entorno. Se o solenoide é considerado infinito (solenoide ideal) não teremos efeitos de bordas, portanto só existirão campos magnéticos no seu interior. Então, quanto mais longo for o solenoide mais uniforme é o campo magnético no seu interior e mais fraco é o campo magnético no seu exterior. Deste modo, o vetor campo magnético (ou indução magnética) B em qualquer ponto no interior de um solenoide ideal é o mesmo, ou seja, ele é uniforme. Este campo magnético tem as seguintes características: - O vetor B , no interior do solenoide é paralelo ao seu eixo central. - O sentido de B pode ser dado pela regra da mão direita. - O campo magnético no solenoide é equivalente ao campo criado por imãs, com polos Norte e Sul. - O campo magnético no interior do solenoide é uniforme e diretamente proporcional à intensidade da corrente nas espiras e ao número de espiras por unidade de comprimento do solenoide. 0B in onde: n  é o número de espiras por unidade de comprimento. Podemos usar a lei de Ampère para demonstrar e expressão do campo magnético no interior de um solenoide.   0 0 0 0 . . . . . . o env b c d a o env a b c d B ds B B ds b o env a o env o o B ds i B ds B ds B ds B ds i B ds i Bh i Bh inh B in                               A importâcia de estudarmos modêlos ideais, se justifica na aproximação destes modêlos ideais com modêlos reais. Em pontos bem afastados das extremidades de um solenóide real (quando o comprimento deste solenóide for muito maior do que o seu diâmetro) podemos aplicar as mesmas propriedades de um solenóide ideal. Um solenóide fornece uma forma prática de se criar um campo magnético uniforme conhecido, da mesma forma que um capacitor de placas paralelas fornece uma forma prática de criar um campo elétrico uniforme conhecido. Estes campos têm importantes aplicações para experimentos. na leitura da bússola? O componente horizontal do campo magnético da Terra no local é de 20 μT. R:a) 3,33x10 -6 T; b)sim. 30. Um fio retilíneo longo transporta uma corrente de 50 A horizontalmente para a direita. Um elétron está se movendo a uma velocidade de 1,0 × 10 7 m/s ao passar a 5 cm deste fio. Que força atuará sobre o elétron se a sua velocidade estiver orientada (a) verticalmente para cima e (b) horizontalmente para a direita? 31. Na figura abaixo estão representados dois fios retos e longos, percorridos pelas correntes elétricas i1 e i2. Considerando o meio, o vácuo, determine o módulo, a direção e o sentido do campo magnético resultante no ponto P. R: 1,0x10-5 T  i1 = 3A i2 = 4A P 2 cm 4 cm 32. Duas espiras circulares, concêntricas e coplanares, de raios R1 = 6 cm e R2 = 24 cm são percorridas por correntes elétricas i1 e i2 respectivamente. R: a) i2 = 4i ; b) anti- horário a) Determine a relação entre i1 e i2, sabendo-se que o campo magnético resultante no centro das espiras é nulo. b) Se i1 tem sentido horário, qual o sentido de i2. 33. Duas bobinas (solenoides 1 e 2), cada uma com 100 espiras e cujos comprimentos são L1 = 20cm e L2 = 40cm, são ligadas em série aos polos de uma bateria. R: a) igual ; b) maior c) B2 = 3x10-3 T a) A corrente que passa na bobina (1) é maior, menor ou igual àquela que passa na bobina (2)? b) O campo magnético B1 no interior da bobina (1), é maior, menor ou igual ao campo magnético B2 no interior da bobina (2)? c) Sabendo-se que B1 = 6,0 . 10 - 3 T, qual é o valor de B2? 34. Módulo do campo magnético a 88,0 cm do eixo de um fio retilíneo longo é 7,3 T . Calcule o valor da corrente que passa no fio. R: 32,12 A 35. Um fio retilíneo longo transportando uma corrente de 100 A é colocado num campo magnético externo uniforme de 5,0 mT como está representado na figura abaixo. Localize os pontos onde o campo magnético resultante é zero. R: nos pontos sobre uma reta a 4 . 10 -3 m abaixo do fio. 36. Dois fios longos e paralelos estão separados uma distância de 8,0 cm. Que correntes de mesma intensidade devem passar pelos fios para que o campo magnético a meia distância entre eles tenha módulo igual a 300 μT? R: 30A em sentidos opostos 37. Dois fios, retilíneos e longos, separados por 0,75 cm estão perpendiculares ao plano da página, como mostra a figura abaixo. O fio 1 transporta uma corrente de 6,5 A para dentro da página. Qual deve ser a corrente (intensidade e sentido) no fio 2 para que o campo magnético resultante no ponto P seja zero? R: 4,33 A p/ fora da página. 38. Dois fios longos e paralelos, separados por uma distância d, transportam correntes i e 3i no mesmo sentido. Localize o ponto ou os pontos em que seus campos magnéticos se cancelam. R: nos pontos sobre uma reta, entre os fios, a uma distância d/4 do fio que transporta a corrente i. 39. Na figura abaixo dois arcos de circunferência têm raios R2 = 7,80 cm e R1 = 3,15 cm, submetem um ãngulo θ = 180 o , conduzem uma corrente i = 0,281 A e têm o mesmo centro de curvatura C. determine (a) o módulo e (b) o sentido (para dentro ou para fora do papel) do campo magnético no ponto C 40. Na figura abaixo, um fio é formado por uma semicircunferência de raio R = 9,26 cm e dois segmentos retilíneos (radiais) de comprimento L = 13,12 cm cada um. A corrente no fio é i = 34,8 mA. Determine (a) o módulo e (b) o sentido (para dentro ou para fora do papel) do campo magnético no centro de curvatura C da semicircunferência. 41. Na figura abaixo um fio retilíneo longo conduz uma corrente i1 = 30,0 A e uma espira retangular conduz uma corrente i2 = 20,0 A. Suponha que a = 1,00 cm e b = 8,00 cm e L = 30,0 cm. Em ermos dos vetores unitários, qual é a força a que está submetida a espira?  3 ˆ: 3,2 10R x N j 42. Os oito fio da figura abaixo conduzem correntes iguais de 2,0 A para dentro ou para fora do papel. Duas curvas estão indicadas para a integral de linha B d s . Determine o valor da integral (a) para a curva 1; (b) para a curva 2. : a)2 b)0oR  Fluxo do campo magnético Para entender o Fenômeno da Indução eletromagnética é necessário introduzir o conceito de fluxo de campo magnético. Semelhante ao conceito de fluxo do campo elétrico (estudado na lei de Gauss), o fluxo do campo magnético está relacionado ao número de linhas de campo magnético que atravessam determinada superfície. Na Figura abaixo está representada uma espira retangular envolvendo uma área A, colocada em uma região onde existe um campo magnético B . O fluxo magnético através desta espira é .B d  B A Como no estudo do fluxo do campo elétrico, o vetor dA é perpendicular a uma área diferencial dA . A unidade de fluxo magnético, no SI é o tesla-metro quadrado, que é chamado e weber (abreviado por Wb) 1 weber = 1wb = 1T.m 2 Para o caso particular onde o campo B tem o mesmo módulo por toda uma superfície de área A e que o ângulo  seja constante, temos que: cosB B A  onde: B - é o fluxo magnético através da superfície de área A  - é o ângulo entre dA (normal à superfície) e B (campo magnético uniforme) dA B  Lei de Faraday da Indução Eletromagnética Quando ocorrer uma variação do fluxo magnético através de uma espira condutora, aparece nesta espira uma força eletromotriz induzida. A intensidade desta fem é igual à taxa de variação do fluxo magnético através dessa espira. Bd dt     Para uma taxa de variação constante no fluxo (  constante), temos que: B t       Se variarmos o fluxo magnético através de uma bobina de N voltas, enroladas de forma compacta de modo que o mesmo fluxo magnético B atravesse todas as voltas, a fem total induzida na bobina é: BNd dt     Apresentamos a seguir algumas maneiras, por meio das quais podemos variar o fluxo magnético que atravessa uma bobina. 1. Variando a intensidade B do campo magnético no interior da bobina. 2. Variando a área da bobina, ou a porção dessa área que esteja dentro de uma região onde existe campo magnético (por exemplo, deslocando a bobina para dentro ou para fora do campo). 3. Variando o ângulo  entre B e dA (por exemplo, girando a bobina de modo que o campo B esteja primeiramente perpendicular ao plano da bobina e depois esteja paralelo a esse plano). No esquema representado na figura abaixo, quando o imã em forma de barra se aproximar ou se afastar da espira, o fluxo magnético através da espira sofre uma variação e, portanto aparece uma corrente induzida na espira. No entanto, se o imã permanecer em repouso em relação à espira, não haverá variação no fluxo magnético e, portanto não teremos corrente induzida na espira. LEI DE LENZ O sinal negativo na lei de Faraday indica que a força eletromotriz se opõe à variação do fluxo magnético. Este sinal é frequentemente omitido, pois geralmente esta lei é usada para se obter o módulo da força eletromotriz induzida. Para determinar o sentido da corrente induzida podemos usar uma regra proposta por Heinrich Friedrich Lenz, a qual é conhecida como lei de Lenz. A lei de Lenz pode ser enunciada da seguinte maneira: A corrente induzida em uma espira tem um sentido tal que o campo magnético produzido por esta corrente se opõe à variação do fluxo magnético através da espira. Exemplo: Vamos usar o caso em que uma espira retangular passa por uma região onde existe um campo magnético uniforme para aplicar a lei de Lenz. Considerando que na região limitada pelo retângulo tracejado tenha um campo uniforme B , e que fora desta região não tenha campo magnético, represente o sentido da corrente induzida, na espira, em cada caso, ou seja, quando a espira penetra no campo magnético, quando ela está completamente imersa neste campo e quando ela está saindo da região onde existe o campo magnético: E X E R C Í C I O 47. Qual é o sentido da corrente induzida no amperímetro da bobina Y representada na figura abaixo (a) quando a bobina Y é movida na direção da bobina X e (b) quando a R v B B B antena e, num dado instante, seu módulo está variando na taxa de 0,16 T/s. O campo é uniforme. Qual é a fem na antena? R: 1,5x10-3 V 54. O fluxo magnético através da espira mostrada na figura abaixo cresce com o tempo de acordo com a relação 26,0 7,0 ,B t t   onde B é dado em miliwebers e t em segundos. (a) Qual é o módulo da fem induzida na espira quando t = 2,0s? (b) Qual é o sentido da corrente em R? R: a) 31mV ; b) esquerda 55. A figura abaixo mostra uma barra condutora de comprimento L sendo puxada ao longo de trilhos condutores horizontais, sem atrito, com um velocidade constante v . Um campo magnético vertical e uniforme B , preenche a região onde a barra se move. Suponha que L = 10 cm, v = 5,0 m/s e B = 1,2 T (a) Qual é a fem induzida na barra? (b) Qual é a corrente na espira condutora? Considere que a resistência da barra seja 0,40  e que a resistência dos trilhos seja desprezível. (c) Com que taxa a energia térmica está sendo gerada na barra? (d) Que força um agente externo deve exercer sobre a barra para manter seu movimento? (e) Com que taxa este agente externo realiza trabalho sobre a barra? Compare esta resposta com a do item (c). R: a) 0,6V; b) 1,5ª; c) 0,9W; d) 0,18N; e) 0,9W 56. Uma barra metálica está se movendo com velocidade constante ao longo de dois trilhos metálicos paralelos, ligados por tira metálica numa das extremidades, como mostra a figura do exercício 55. Um campo magnético B= 0,350T aponta para fora da página. (a) Sabendo-se que os trilhos estão separados em 25,0 cm e a velocidade escalar da barra é 55,0 cm/s, que fem é gerada? (b) sabendo-se que a resistência elétrica da barra vale 18,0 e que a resistência dos trilhos é desprezível, qual é a corrente na barra? R: a) 4,8x10 -2 V b) 2,67 x 10 -3 A INDUTORES Assim como os capacitores podem ser usados para produzir um campo elétrico numa determinada região os indutores podem ser usados para produzir um campo magnético. O tipo mais simples de indutor é um solenoide longo. Um indutor pode ser representado pelo símbolo da figura abaixo. Indutância Quando uma corrente i percorre as N espiras de um indutor (por exemplo, um solenóide), um fluxo magnético  é produzido, pela corrente elétrica, no interior do indutor. A indutância L do indutor é dada por: N L i   Unidade de indutância no SI . 1 T m 2 / A = 1 henry (H) Indutância de solenóide A indutância L por unidade de comprimento l, na região central, de um solenóide longo, de seção transversal de área A e com n espiras por unidade de comprimento, é dada por (ver demonstração no livro texto): 2 0 1 L n A Observações:  Para um solenóide de comprimento muito maior do que o seu raio, a equação acima fornece a sua indutância com uma boa aproximação.  Assim como a capacitância de um capacitor a indutância de um indutor depende apenas das características (forma geométrica) deste dispositivo. 1 2 1 1 1 eqL L L   (b) Por que a separação entre os indutores tem de ser grande para que a relação acima seja válida? (c) Qual é a generalização do item (a) para N indutores em paralelo? 63. Um solenóide cilíndrico longo com 100 espiras/cm tem um raio de 1,6 cm. Suponha que o campo magnético que ele produz seja paralelo ao eixo do solenóide e uniforme em seu interior. (a) Qual é a sua indutância por metro de comprimento? (b) Se a corrente variar a um taxa de 13 A/s, qual será a fem induzida por metro? R: a) 0,1 H/m ; b) 1,3 V/m. Circuitos RL (Resistor – indutor) No estudo do circuito RC (resistor capacitor), vimos que se introduzirmos subitamente uma fem  em um circuito contendo um resistor R e um capacitor C, a carga sobre o capacitor não aumenta imediatamente até o seu valor final de equilíbrio C  , mas dele se aproxima de forma exponencial. E quando removermos a fem deste mesmo circuito, a carga não cai imediatamente para zero, mas se aproxima de zero de forma exponencial. Um atraso semelhante ocorre no crescimento (ou na queda) da corrente se introduzirmos (ou removermos) uma fem  em um circuito de malha simples contendo um resistor R e um indutor L (circuito RL). Todo indutor tem necessariamente uma resistência. Para distinguir entre os efeitos da resistência e da indutância, é comum representar um indutor como um indutor ideal sem resistência, em série com um resistor não-indutivo. O mesmo diagrama também pode representar um resistor em série com um indutor, sendo R, agora, a resistência total da combinação, como está representado na figura a seguir. Suponha que a chave ch no circuito, representado na figura acima, seja subitamente fechada na posição a. Por causa da fem auto-induzida /L Ldi dt E , a corrente não cresce imediatamente até seu valor final, no instante em que o circuito é fechado, mas cresce numa taxa que depende da indutância e da resistência do circuito. Aplicando a lei das malhas, de kirchhoff, podemos escrever para este circuito: 0 di iR L dt   E Esta é uma equação diferencial que pode determinar a corrente i no circuito como uma função do tempo. A solução para esta equação diferencial é: /(1 )t Li e R   E Onde: L = L / R (é a constante de tempo indutiva) Substituindo t = 0 na equação acima temos i0 = 0, o que indica que a corrente é inicialmente nula. Para um longo tempo após a chave ter sido fechada ( )t  podemos verificar que a corrente tende ao seu valor de equilíbrio i R  E . Agora, suponha que após a corrente ter atingido o seu valor final ( i R  E ) a chave ch seja ligada na posição b. Aplicando a lei das malhas e este novo circuito teremos outra equação diferencial: 0 di L iR dt   Cuja solução é: / Lt i e R    De acordo com a equação anterior a corrente decai de um valor inicial 0 ( 0)i em t R   E , para um valor final nulo ( )t  . Devemos observar que inicialmente, um indutor atua se opondo a variações na corrente que passa por ele. Muito tempo depois, ele atua como um fio de ligação comum. EXERCÍCIOS 64. Esboce o gráfico i  t, para os dois casos do circuito RL citados anteriormente, corrente aumentando e diminuindo com o tempo. 65. Um solenóide de indutância igual a 6,30 H está ligado em série a um resistor de 1,20 K. (a) Ligando-se uma bateria de 14 V a esse par, quanto tempo levará para que a corrente através do resistor atinja 80,0% de seu valor final? (b) Qual é a corrente através do resistor no instante t =1,0 L? R: a) 8,85x10 –9 s ; b) 7,37 x 10 –3 A. 66. Quanto tempo, após a remoção da bateria, a diferença de potencial através do resistor num circuito RL (com L = 2,00 H, R = 3,00 ) decai a 10,0% de seu valor inicial? R : 1,53 s 67. Um solenóide tem uma indutância de 53 mH e uma resistência de 0,37  . Sendo ligado a uma bateria, em quanto tempo a corrente atingirá metade do seu valor final de equilíbrio? R : 9,93x10 -2 s. Do ponto de vista de energia, oscilações de um circuito LC, consiste numa transferência de energia do campo elétrico para o magnético e vise-versa, de modo que a energia total permaneça constante. Isto é análogo à transferência de energia num sistema mecânico oscilante (massa-mola), transferindo energia cinética em potencial e vice-versa. Num circuito LC oscilante (sem resistência), como está representado na figura acima as energias armazenadas no campo elétrico do capacitor UE e no campo magnético do indutor UB , são dadas por : 2 2 E q U C  e 2 2 B Li U  Onde: U = UE + UB é a energia total. Usando a condição de que a energia total permanece constante, podemos encontrar a equação diferencial que descreve as oscilações de um circuito LC sem resistências. 2 2 1 0 d q q dt LC   Cuja solução geral é: equação como  cosmq q t   onde: qm é a amplitude da carga   é a constante de fase UE C UB L  é a frequência angular das oscilações A constante de fase  é determinada pelas condições existentes em um determinado instante, e a frequência angular é dada por: 1 2 f LC    Oscilações da energia elétrica e magnética num circuito LC. A energia elétrica armazenada no circuito LC é:   22 21 cos 2 2 m E qq U t C C     E a energia magnética é   2 2 21 s 2 2 m B q U Li en t C     Somando a energia elétrica e a energia magnética, obtemos a energia total do circuito LC:     2 2 2 1 2 cos s 2 2 m m q U t en t C q U C             OSCILAÇÕES AMORTECIDAS NUM CIRCUITO RLC Num circuito LC real, as oscilações não continuam indefinidamente porque sempre existe alguma resistência presente, dissipando energia dos campos elétrico e magnético. É possível sustentar as oscilações eletromagnéticas providenciando um meio de fornecer, periodicamente, de uma fonte externa, energia capaz de compensar a dissipada como energia térmica. Ver estudo mais aprofundado no livro texto. 1 OSCILAÇÕES FORÇADAS E RESSONÂNCIA Considere um circuito LC amortecido contendo uma resistência R. Se o amortecimento é pequeno, o circuito oscila com uma frequência ω = (LC) −1/2 , que é chamada de frequência natural do sistema. Suponha agora que uma fem ( ) variável no tempo é aplicada ao circuito dada por ''cosm t   através da utilização de um gerador externo. Nesta equação, ω′′ é a frequência da fonte externa. Dizemos neste caso que o sistema executa oscilações forçadas. “Qualquer que seja a frequência natural do circuito, as oscilações da carga, corrente ou da diferença de potencial no circuito ocorrerão com a frequência da fonte externa”. A corrente no circuito será dada pela expressão  ''smi i en t   Onde im é a amplitude da corrente. O valor de im será máximo quando a frequência da fonte externa ω′′ for igual à frequência natural do circuito, isto é, quando: '' 1 LC    Que chamamos de condição de ressonância. Uma aplicação prática da ressonância ocorre quando sintonizamos uma estação de rádio. Quando giramos o botão de sintonia, estamos ajustando a frequência natural ω de um circuito LC interno, de modo que ela se torne igual à frequência ω′′ do sinal transmitido pela antena da estação que queremos sintonizar; estamos procurando por uma ressonância. EXERCÍCIOS 71. Qual é a capacitância de um circuito LC, sabendo-se a carga máxima do capacitor é 1,6 C e a energia total é 140 J ? R : 9,14x10 – 9 F 72. Um capacitor de 1,5 F é carregado a 57 V. A bateria que o carrega é, então, retirada, e uma bobina de 12 mH é ligada aos terminais do capacitor , de modo que ocorram 4 CIRCUITO RESISTIVO ( R ) Na figura abaixo está representado um circuito contendo um resistor R e um gerador de CA com a fem alternada dada por: R Rv V sen t R A corrente instantânea no resistor é dada por: ( ) R R v V sen t R R R i A corrente máxima (amplitude da corrente) é: R R V I R  R Ri I sen t  Observação: A relação entre as amplitudes de voltagem e corrente (VR = IR R) se aplica a um resistor distinto em qualquer circuito de corrente alternada, não importando quão complexo seja. Tanto a voltagem como a corrente varia com sen t , de modo que a corrente está em fase com a voltagem, o que significa que os seus máximos (e mínimos) correspondentes ocorrem ao mesmo instante e os fasores de corrente e de voltagem giram juntos, como está representado nas figuras abaixo. Na figura abaixo estão representados o gráfico (iR e vR) com t e o diagrama de fasores. vR vR . iR iR 2 0  wt IR VR vR iR t 5 CIRCUITO CAPACITIVO (C) Suponha, agora, que um capacitor de capacitância C esteja ligado entre os terminais da fonte de fem alternada, como está representado na figura abaixo: A carga instantânea no capacitor é dada por: C C Cq Cv CV sen t  Como, c dqc i dt   cosC Ci CV t  Temos que: cos ( 90º )t sen t   Definindo uma quantidade XC, chamada reatância capacitiva do capacitor, como: 1 1 C C X C C X      Podemos escrever a equação da corrente ( / ) ( 90º ) ( 90º )C C C C Ci V X sen t i I sen t       Onde, a relação entre as amplitudes de voltagem e corrente C C CV I X se aplica a um capacitor distinto em qualquer circuito de corrente alternada, não importando quão complexo seja. Observação: A unidade de reatância capacitiva XC, no SI, é o ohm, mesma unidade de resistência elétrica. Para este circuito a corrente e a voltagem não estão em fase, elas estão defasadas em 90º. Como a corrente está adiantada em relação à voltagem, os picos de corrente ocorrem um quarto de ciclo antes dos picos de voltagem. No diagrama de fasores o vetor corrente está 6 adiantado do vetor voltagem por um quarto de ciclo ou 90º, como está representado nas figuras seguintes: Na figura abaixo estão representados o gráfico (iC e vC) com t e o diagrama de fasores. CIRCUITO INDUTIVO ( L ) No circuito indutivo, vamos supor que um indutor de resistência nula e indutância L, seja ligado a uma fonte de fem alternada, como está representado na figura abaixo: Da definição de indutância, temos que: ( / ) ( / )cos L L L L L di di di v L v sen t L v L sen t dt dt dt i v L t             Usando, cos ( 90º )t sen t     e definindo que LL X  , onde XL é a reatância indutiva do indutor temos que: ( / ) ( 90º ) ( 90º )L L L L Li v X sen t i I sen t       9 84. Um gerador de CA tem uma fem sen t d E = E m , com E m 25,0 V e d  =377 rad/s. Ele está ligado a um indutor de 12,7 H. (a) Qual o valor máximo da corrente? (b) Qual a fem do gerador quando a corrente é máxima? (c) Qual a corrente quando a fem do gerador é de -12,5 V e está aumentando em módulo? R: a) 5,22x10 -3 A; b)0; c) -4,52 mA 85. O gerador de CA do problema 28 está ligado a um capacitor de 4,15 μF. (a) Qual o valor máximo da corrente? (b) Qual a fem do gerador quando a corrente é máxima? (c) Qual a corrente quando a fem do gerador é igual a -12,5V e está aumentando em módulo? R: a) 39 mA; b)0; c) 34mA O circuito RLC Em muitas situações, os circuitos de corrente alternada incluem resistência, reatância indutiva e reatância capacitiva. Na figura abaixo está representado um circuito LCR em série com um gerador de fem alternada. Quando aplicamos uma fem alternada ( sen t   ) no circuito RLC acima, uma corrente alternada dada por ( )i Isen t   é estabelecida no circuito. Nossa tarefa é determinar a amplitude de corrente I e a constante de fase . A análise desse circuito é facilitada pelo uso do diagrama de fasores, que inclui os vetores voltagem e corrente para os vários componentes. Como a corrente tem um mesmo valor em todos os pontos do circuito, um único fasor I, é suficiente para representar a corrente no circuito. Aplicando a lei das malha no circuito acima, temos que: v v v R LC  E (soma algébrica) 10 Os diagramas de fasores para I , VR , VC , VL e E m , está representado nas figuras abaixo O fasor mE é igual à soma (vetorial) dos fasores VR, VC e VL, dada por: 2 2 2 2 2 2 2 2 1/ 2 ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] m R L C m L C M L C V V V IR IX IX I R X X            E E E onde: 1/ 2 2 2( )L CR X X Z     , é chamado de impedância do circuito .  mI Z   Devemos observar que a unidade de impedância é a mesma de resistência (ohm). Para determinar a constante de fase, temos que: tan L R V Vc V     tan LX Xc R     Dependendo da relação entre as reatâncias indutiva XL e capacitiva XC, o circuito será mais indutivo (o fasor I gira atrás do fasor mE ) ou mais capacitivo (o fasor I gira à frente do fasor mE ). Observação 11 Nos circuitos estudados, foi considerado o estado estacionário, isto é, a condição que prevalece depois que o circuito foi ligado à fonte por algum tempo, logo que a fonte é ligada, podem existir breves correntes e voltagens adicionais chamadas transientes. Ressonância As reatâncias indutivas XL e capacitiva XC dependem da frequência da fem aplicada ao circuito RLC, consequentemente a impedância Z e a amplitude de corrente I também dependem desta frequência. Teremos uma impedância mínima e uma amplitude de corrente máxima quando 1 1 0L C L CX X X X L C LC            . Esta frequência angular  é a frequência natural ou de ressonância do circuito. Portanto a impedância tem o menor valor possível, e a amplitude de corrente o maior valor possível, quando a frequência da fem do gerador for igual à frequência natural do circuito. Nesta frequência, se diz que o circuito está em ressonância com o gerador. EXERCÍCIOS 86. Num circuito RLC, considere R = 160  , C = 15 F , L = 230 mH , f = 60 Hz e m = 36V. R: a) 183,7 . b) 196 mA c) – 29,4º a) Determine a impedância do circuito. b) Determine a amplitude de corrente I. c) Determine a constante de fase . 87. Determine Z,  e I para a situação do exercício 30 com o capacitor removido do circuito e todos os demais parâmetros permanecendo inalterados. R: 182Ω; 28,4º; 198mA 88. Determine Z,  e I para a situação do exercício 30 com o indutor removido do circuito e todos os demais parâmetros permanecendo inalterados. R: 238Ω; -48º; 151mA 14 Para um transformador suposto ideal (são desprezadas as perdas de energia) a relação entre a voltagem no primário VP e no secundário VS é dada por: P P S S V N V N  Onde, NP e NS, são, respectivamente, o número de voltas na bobina primária e secundária. Se NS > NP, dizemos que o transformador é um transformador elevador porque ele eleva a tensão do primário VP para uma tensão mais alta VS. Analogamente, se NS < NP, o dispositivo é um transformador abaixador. Para obtermos a relação entre as correntes na bobina primária e secundária de um transformador ideal, podemos aplicar o princípio da conservação de energia. A taxa com que o gerador transfere energia para o primário é igual à taxa com que o primário transfere então energia para o secundário, ou seja: ISVS=IPVP. EXERCÍCIOS 95. Um gerador fornece 100V à bobina primária de um transformador de 50 voltas. Se a bobina secundária tiver 500 voltas, qual será a tensão no secundário? R:1000V 96. Um transformador possui 500 voltas no primário e 10 voltas no secundário. (a) Se VP for igual a 120V(eficaz), qual será Vs, com um circuito aberto? (b) Se o secundário tiver agora uma carga resistiva de 15Ω, quais serão as correntes no primário e no secundário? R:a) 2,4V; b) 3,2mA; c) 0,16A 15 Propriedades magnéticas da matéria Discutimos os campos magnéticos criados por corrente em condutores, quando os condutores estão no ar (ou vácuo). Quando mergulharmos o condutor em um meio material, o valor do campo magnético em torno do condutor é diferente daquele que existiria se o condutor estivesse situado no ar. Para estudar as modificações no campo magnético, provocadas pela presença de um meio material, vamos usar o conceito de imã elementar. No interior de qualquer substância, existem correntes elétricas elementares, constituídas pelos movimentos dos elétrons nos átomos destas substâncias. Estas correntes elementares criam pequenos campos magnéticos, de modo que cada átomo pode ser considerado como um pequeno imã, isto é, um imã elementar. No interior de um material não magnetizado, estes imãs elementares encontram-se orientados inteiramente ao acaso, de modo que os campos magnéticos criados pelos átomos da substância tendem a se anular. Entretanto, se este material for colocado numa região onde existe um campo magnético, este campo atuará sobre os imãs elementares, tendendo a orientá- los. Dependendo da orientação dos imãs elementares, na presença de um campo magnético externo, as substâncias podem ser classificadas em paramagnéticas, diamagnéticas e ferromagnéticas. Substâncias Paramagnéticas São aquelas que, na presença de um campo magnético, se imantam muito fracamente, fazendo com que o valor do campo magnético seja ligeiramente aumentado. Nestas substâncias, os imãs elementares tendem a se orientar no mesmo sentido do campo aplicado. Exemplos: alumínio, a platina. Substâncias Diamagnéticas Na presença de um campo magnético se imantam também fracamente, fazendo, porém, com que o valor do campo magnético se torne ligeiramente menor. Nestas substâncias, os imãs elementares tendem a se orientar em sentido contrario ao do campo aplicado. Exemplos: o cobre, a prata, o ouro, a água. 16 Substâncias Ferromagnéticas Grande parte das substâncias existentes na natureza. São paramagnéticas ou diamagnéticas. Somente uma pequena parte apresentam propriedades ferromagnéticas. Sob a ação de um campo magnético externo, as substâncias ferromagnéticas se imantam fortemente, fazendo com que o campo magnético resultante seja muitas vezes maior que o campo aplicado. Nas substâncias ferromagnéticas os imãs elementares se orientam no mesmo sentido do campo aplicado. O ferro, cobalto, níquel e as ligas que contêm esses elementos são exemplos de substâncias ferromagnéticas. Histerese magnética É a propriedade que algumas substâncias possuem de “guardar imantação“, isto é, de permanecerem magnetizadas mesmo após cessar a ação do campo magnetizador. Exemplos: aço temperado  histerese magnética muito acentuada. ferro doce  histerese magnética muito reduzida. E X E R C Í C I O 97. Um imã permanente pode perder totalmente sua imantação se for muito aquecido. Por quê? R: porque a elevação da temperatura provoca um aumento da agitação térmica dos átomos, desfazendo a orientação dos imãs elementares. 98. Explique, por que um imã atrai um pedaço de ferro. R: o pedaço de ferro fica imantado Equações de Maxwell As equações de Maxwell são um grupo de equações diferenciais parciais que, juntamente com a lei da força de Lorentz, compõe a base do eletromagnetismo clássico no qual está embebido toda a óptica clássica. O desenvolvimento das equações de Maxwell, e o entendimento do eletromagnetismo, contribuíram significativamente para toda uma revolução tecnológica iniciada no final do século XIX e continuada durante as décadas seguintes.