Conceitos e Cálculos de Juros Simples e Compostos, Esquemas de Matemática

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Matemática Financeira

Taxas De Juros

Brasília - 2015 Módulo

Fundação Escola Nacional de Administração Pública Presidente Gleisson Rubin Diretor de Desenvolvimento Gerencial Paulo Marques Coordenadora-Geral de Educação a Distância Natália Teles da Mota Teixeira Conteudista Ana Paula Cavalcanti (2013) Diagramação realizada no âmbito do acordo de Cooperação Técnica FUB/CDT/Laboratório Latitude e Enap.

Módulo 1 - TAXAS DE JUROS

Após concluir esta unidade, espera-se que você seja capaz de:

• Reconhecer a alteração de valor do dinheiro ao longo do tempo.
• Distinguir juros simples de juros compostos, a partir da explicitação de seu regime de capitalização.
• Calcular a capitalização de um montante, dada a taxa de juros.
• Distinguir equivalência e proporcionalidade de taxas de juros.
• Calcular taxas de juros equivalentes.
• Distinguir taxa nominal anual (TNA) e taxa efetiva anual (TEA).

1.1 Momento e Período

Antes de iniciarmos o módulo, é importante fazermos a distinção entre momento e período.

• Momento é um instante no tempo.
• Período é um intervalo de tempo decorrido entre dois pontos ou eventos do projeto. Dessa forma, embora os benefícios e os custos de um projeto sejam gerados ao longo de um período, eles ocorrem num determinado momento. Por exemplo, o salário mensal de um trabalhador para o mês de janeiro é gerenciado ao longo de todo esse mês (período), sendo que, normalmente, só é pago ao final do mês (momento). Logo, ao identificar os benefícios e custos de um projeto, deve-se determinar quando ocorreram. A importância desse procedimento está no fato de que o valor que se atribui hoje a R$ 1,00 é maior do que o valor dado ao mesmo R$ 1,00 disponível no futuro. Embora existam várias razões para que a mesma quantia de dinheiro seja avaliada de forma diferente, em momentos distintos, o mais importante é a existência de investimentos alternativos para esse dinheiro. Um real recebido hoje é mais valioso do que R$ 1,00 a receber no futuro, porque pode ser investido durante o período de tempo considerado.

Matemática Financeira

Para aqueles que desejam relembrar o tema sobre custos de oportunidade, sugere-se revisar esse conteúdo no curso Microeconomia Aplicada à Avaliação Socioeconômica de Projetos.

1.2 Taxa de Juros

O conceito de taxas de juros é considerado essencial para o tema da avaliação de projetos, pois será através dele que iremos apreçar o projeto. O rendimento financeiro gerado ao investidor por um recurso (capital) aplicado em uma opção de investimento, durante determinado período de tempo, é chamado juros. A taxa de juros ( i ) é proveniente da relação entre os juros ( j ) e o capital inicial (C). Vejamos o exemplo. Se o capital inicial é de R$ 100,00 e os juros são de R$ 30,00, qual é a taxa de juros ( i )? Para solucionar esse problema, utilizaremos a equação i = j/C. Então, i = 30/100 = 30% é a taxa de juros. Mas quando se menciona uma taxa de juros, é necessário indicar o período a que ela se refere: ao dia (ad), à quinzena (aq), ao mês (a/m), ao trimestre (at), ao semestre (as) ou ao ano (a.a.). No nosso caso, a taxa é 30% a.a., pois o rendimento de R$ 30,00 é obtido após um ano ; se fosse após um semestre ou um mês, seria ao semestre ou ao mês, respectivamente. Dessa forma, observa-se que a unidade da taxa de juros está intimamente relacionada ao período no qual os juros foram adquiridos. 1.2.1 Juros Simples As parcelas de juros simples são sempre iguais, uma vez que, sob o regime de capitalização simples, os juros para cada período resultam da aplicação da taxa de juros sobre o capital inicial , e ambas variáveis não mudam com o tempo. Considere o exemplo: Um capital emprestado (C) de R$ 100,00 é aplicado a uma taxa de juros de 10% a.a., durante cinco anos. O resultado são cinco parcelas iguais de R$ 10,00, e um valor, ao final do período, de R$150,00, fruto do somatório dos desembolsos ao principal. Solucionando o exemplo: na capitalização simples, os rendimentos rendem apenas sobre o capital inicial (C), ou principal, e i a taxa de juros cobrada em n períodos. Isto quer dizer que os juros são obtidos como resultado do produto entre o capital inicial, a taxa de juros e o período. Considere a fórmula j = C * i. Para o primeiro período (n = 1), temos j = R$100,00 * 0, = R$10,00; para o período seguinte (n=2), temos j = C * i, e como o capital inicial sempre é R$ 100,00 e a taxa continua a mesma i = 0,1, o juro é o mesmo j = R$ 100,00 * 0,1 = R$ 10,00. Isso

Assim, de maneira geral, as fórmulas para juros compostos são as seguintes: e como M = C + j, temos: ou substituindo temos: Veja os exemplos. Exemplo 1: O montante e os juros compostos obtidos em uma aplicação de um capital C = R$ 1.000,00, durante 4 anos, à taxa de 10% ao ano são dados por: Logo, como ou de outra maneira Exemplo 2: Suponha que uma pessoa peça um empréstimo de R$ 1.000,00 a um banco que cobra uma taxa de juros de 4% ao semestre, durante três semestres, em um regime de capitalização composto, ou seja, a taxa de juros incide sobre o montante acumulado no final período anterior. A tabela abaixo resume os juros acumulados, que são capitalizados semestralmente, e o montante a ser reembolsado após três semestres: Período Dívida ao início do semestre Juros semestrais Dívida ao final do semestre 1 R$1.000,00 R$40,00 R$1.040, 2 R$1.40,00 R$41,60 R$1.081, 3 R$1.081,60 R$43,26 R$1.124, Observe que os juros semestrais são crescentes (40,00; 41,60; 43,26), pois foram calculados sobre o capital inicial acrescido dos juros capitalizados no período anterior.

O montante total a ser pago no final de três semestres é de R$ 1.124,86, e pode ser obtido com a aplicação da seguinte fórmula: Em que M é o montante total a ser pago, C é o capital inicial e n é o número de períodos que decorre entre o momento em que se recebe o empréstimo e os prazos para ser reembolsado com juros. No nosso caso, n = 3. Considerando o exemplo utilizado para o regime de capitalização simples, no tópico 1.2.1, veja, na tabela abaixo, a evolução dos juros no regime de capitalização composto, para os mesmos cinco períodos (n=5 anos). O período utilizado nas fórmulas abaixo poderia ser em dias, ou meses, ou qualquer outro período. Apenas seria necessário que a taxa de juros estivesse expressa respectivamente para o mesmo período, ou seja, ao dia, ou ao mês, ou qualquer outro período. Temos as seguintes fórmulas para o regime de capitalização composto: Tempo Juros Montante Fórmula 0 0 100,00 M=C 1 10 110,00 M=C(1+i)^1 2 11 121,00 M=C(1+i)^2 3 12,1 133,10 M=C(1+i) 4 13,31 146,41 M=C(1+i)^4 5 14,64 161,05 M=C(1+i)^5

1.3 Juros Simples X Juros Compostos

Já vimos que existem duas modalidades diferentes de juros que incidem sobre o capital (juros simples e compostos). Na modalidade de juros simples, os juros nunca passam a formar parte do capital, e no caso, de juros compostos, os juros periodicamente passam a formar parte do capital, e com eles começam a ser gerados novos juros, conforme podemos constatar mais claramente nas figuras a seguir.

Assim, 1% a/m, se capitalizado mês a mês por juros compostos, é equivalente a 12,6825% a.a., e 1% a/m é equivalente a 12% a.a., se capitalizado mês a mês por juros simples. A equivalência entre as taxas pode ser visualizada nos exemplos de juros compostos, abaixo: Uma taxa semestral de 4%, aplicada a juros compostos sobre um capital de R$ 1.000,00, obtém, no prazo de três semestres, um montante total igual a: A fórmula utiliza a taxa semestral de 4% e o número de semestres de duração da operação igual a três. A taxa trimestral de 1,9804% aplicada a R$ 1.000,00 gera, após seis trimestres, mesmo período de três semestres, o mesmo montante: A fórmula considera uma taxa trimestral de 1,9804% e seis trimestres de duração da operação. Isso implica que as taxas de 4% ao semestre e 1,9804% ao trimestre são equivalentes. É importante notar que as taxas são efetivas, o que significa que são as verdadeiras taxas pagas pela pessoa que recebe o empréstimo. A fórmula geral que permite transformar uma taxa efetiva em outra equivalente é a seguinte: Em que: i1 é a taxa expressa em um período associado a n1, e i2 é a taxa equivalente expressa em outro período, associada a n2. É importante que os períodos n1 e n sejam iguais, apenas escritos de maneira diferente. Resolvendo, teremos O cálculo da taxa efetiva semestral (is), equivalente a uma taxa efetiva bimestral (ib), pode ser feito como segue:

A tabela abaixo relaciona a Taxa Efetiva Anual (TEA) com outras taxas efetivas expressas em períodos distintos: Fórmula Taxa Período Número de vezes 1+ia = (1+isem)^2 isem semestre 2 1+ia = (1+iquad)^3 iquad quadrimestre 3 1+ia = (1+itrim)^4 itrim trimestre 4 1+ia = (1+imes)^12 imes mês 12 1+ia = (1+iquinz)^24 iquinz quinzena 24 1+ia = (1+isemana)^52 isemana semana 52 1+ia = (1+idias)^365 idias dia 365 E a tabela a seguir apresenta um exemplo com 4 taxas equivalentes a juros compostos: C = R$ 100,00 e n = 1 ano Capital Taxa Prazo Juros R$ 100,00 0,1% ad 360 dias R$ 143 R$ 100,00 3,04% am 12 meses R$ 143 R$ 100,00 19,71% as 2 semestres R$ 143 R$ 100,00 43,31% aa 1 ano R$ 143

1.5 Proporcionalidade dos Juros

Adicionalmente ao conceito de juros equivalentes, existe o conceito de juros proporcionais. Consideramos que duas taxas são proporcionais, quando elas estão na mesma proporção em relação ao período de tempo. Por exemplo: uma taxa de juros de 12% ao ano é proporcional a uma taxa 1% ao mês, pois 12 está para 1 na mesma proporção que 1 ano ( meses) está para 1 mês. Note que a taxa de juros proporcional é igual à taxa equivalente apenas para o regime de capitalização simples, em que 1% a/m é equivalente a 12% a.a., pois geram o mesmo montante em um mesmo período de tempo, se utilizarmos juros simples. Entretanto, isso não é válido para o regime de capitalização composto, pois já vimos em exemplos anteriores que a taxa anual equivalente a juros composto da taxa 1% a/m é ((1+0,01)^12 -1 ) = 12,6825% a.a.

1.6 Taxas Nominal e Efetiva

Outro conceito importante é a taxa de juros nominal. A taxa nominal é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é geralmente fornecida em termos anuais (Taxa nominal anual - TNA), e os períodos de capitalização podem ser semestrais, trimestrais, mensais, diários, etc.

Finalizando, no último exemplo, temos TNA = 12% a.a., com capitalização semestral que está associada à taxa efetiva implícita de 6% as, e, portanto, para obter a TEA, basta calcular a taxa equivalente anual à taxa de 6% as. Logo: A tabela abaixo mostra um resumo comparativo entre a taxa nominal e a taxa efetiva: Item Taxa Nominal Taxa Efetiva Símbolo Inom i Definição Prazo não coincide com prazo de capitalização Prazo coincide ou trata- se de uma equivalente Exemplo 6,00% a.a. capit. mensal 10% a.a. Produto SFH, Poupança CDB, Empréstimos Observação Não paga ou cobra o que anuncia Aparentemente paga ou cobra o que anuncia