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MATEMÁTICA FINANCEIRA

Professora Ms. Beatriz V. Vaccari

SUMÁRIO

1 PORCENTAGEM

A porcentagem é muito utilizada na prática. Ela é usada no cálculo de comissões, abatimentos, lucros, descontos, reajustes, etc.

Elementos básicos:

Principal (C): Valor sobre o qual se calcula a porcentagem. O principal corresponde sempre a 100% da operação.

Porcentagem (p): É a parte do principal que corresponde à taxa.

Taxa percentual (r): É a razão representada pela fração de denominador 100.

Cálculo da porcentagem: Por ser um sistema proporcional, para o cálculo da porcentagem utiliza-se a seguinte regra de três:

Principal ----------- 100% Porcentagem ------- taxa percentual

1.1 FUNÇÕES DE PORCENTAGEM NA HP 12C

1.1.1 Para calcular a porcentagem : C enter r % Caso em seguida for clicada a tecla +, o valor da porcentagem será somado ao principal. Se for pressionada a tecla -, o valor será subtraído do principal.

1.1.2 Para calcular o principal: r enter p %T

1.1.3 Para calcular a diferença de percentual entre dois valores a e b: a enter b %

1.1.4 Para calcular a taxa de porcentagem: C entre p %T

Exemplo 1: Um empregado que ganha R$ 1.800,00 recebeu um aumento R$ 360,00. Qual foi a taxa percentual desse aumento?

1.800 ---------- 100% Na HP 12 C 360 ---------- x 1. enter x 360

x = 20% %T

Exemplo 2: Um investidor comprou um terreno por R$ 50.000,00 e vendeu-o, um ano depois, por R$ 62.500,00. Qual o lucro, em porcentagem, do preço de custo?

50.000 ----------- 100% Na HP 12 C 62.500 ----------- x 50.

enter

x= 125% 62.

O lucro foi de 25%.

Exemplo 3: Calcular 10% de 12.

12 -------- 100% Na HP 12 C x -------- 10% 12 enter x = 1,2 10 %

Exemplo 4: Calcular que taxa percentual 8 representam de 80.

80 -------- 100% Na HP 12 C 8 -------- x 80 enter x = 10% 8 %T

Exercícios propostos

1) O número de funcionários de uma agência bancária passou de 80 para 120. Em relação

ao número inicial, o aumento no número de funcionários foi de; a) 50% b) 55% c) 60% d) 65% e) 70%

2) Uma escola tem 600 alunos dos quais 40% são meninas e os demais meninos.

Sabendo-se que apenas 10% dos meninos ainda não aprenderam a ler, indique quantos meninos já sabem ler.

3) No transporte de frutas, determinada transportadora registra uma perda média de 1,7%.

Para uma carga de 15.000 kg, qunato será a perda esperada?

4) Uma pessoa comprou um automóvel por determinado valor e vendeu-o com um lucro de

R$ 680,00, correspondente a 3,4% do preço de compra. Qual foi esse preço de compra?

5) Um livro que custava R$ 43,00 foi vendido numa liquidação com abatimento de 15%.

Qual o valor do abatimento?

6) Um televisor foi comprado numa liquidação por R$ 420,75, já deduzidos os 6,5% de

abatimento. Qual o valor do televisor antes do abatimento?

7) Num depósito, há dois tipos de refrigerantes. O refrigerante A representa 36% do total,

e do refrigerante B há 1.296 garrafas. Qual o número total de garrafas existentes no depósito?

8) Um comerciante adquiriu 2.000 cadernos a R$ 3,60 cada um. Vendeu ¼ por R$

2.000,00 e o restante por R$ 6.000,00. De quanto por cento foi o lucro.

No meio comercial é muito comum o uso de abatimentos sucessivos, isto é, calcular os abatimentos sobre os valores líquidos encontrados anteriormente.

O cálculo do valor líquido ou valor final é dado pela seguinte fórmula:

Sendo: VF = valor real a ser pago C = principal, ou seja, valor de 100% i = taxas unitárias sucessivas

Exemplo 1: Sobre uma fatura de R$ 124.000,00 são dados os seguintes descontos sucessivos: 20% + 10% + 5%. Qual o valor líquido a ser pago?

VF = 124.000 (1- 0,2) (1- 0,1) (1- 0,05) Na HP 12C VF = 124.000 x 0,8x 0,9 x 0,95 124000 enter 20% - 10% - 5% VF = R$ 84.816,

Exemplo 2: Por uma mercadoria foi pago R$ 70,00. Sabendo-se que sobre o preço constante na tabela foram dados descontos sucessivos de 30%+ 20%, qual era o preço da tabela?

70 = C (1- 0,3) (1 – 0,2)

70= C x 0,7 x 0, 70 = C x 0, C= 70/ 0, C= R$ 125,

Taxa única no sistema de abatimentos sucessivos:

Exemplo : Sobre os valores constantes numa tabela de preços são dados os descontos sucessivos de 50%+ 30%+ 20%. Na realidade qual o desconto oferecido pela empresa?

i= 1- (1- 0,5) (1- 0,3) (1 – 0,2) i= 1 – 0,5x 0,7x 0,8) i= 1- 0, i=0,72 x100 = 72%

3 ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS

O cálculo do valor líquido ou valor final é dado pela seguinte fórmula:

Exemplo 1: O preço de uma mercadoria era de R$ 8,00, no início de um determinado mês. Durante o mês sofreu aumentos sucessivos de 2,5% + 5%. Qual o preço final dessa mercadoria?

VF= 8 (1+ 0,025) (1+0,05) Na HP 12C VF = 8 x 1,025 x 1,05 8 enter 2,5% + 5% + VF = R$ 8,

Exemplo 2: Uma mercadoria sofreu aumentos sucessivos de 20% + 15%., pagando o comprador R$ 144,90, qual era o valor da mercadoria?

144,90 = C (1+0,2) (1+0,15)

144,90 = C x 1,2 x 1, 144,90 = C x 1, C = 144,90/ 1, C = R$ 105,

Taxa única no sistema de acréscimos sucessivos:

Exemplo: Qual a taxa total de aumento no exemplo anterior?

i= (1+ 0,2) ( 1+ 0,15) – 1 i= 1,2 x 1,15 - i= 0,38 x 100= 38%

8).)b Qual foi o percentual total de aumento?

9) O preço da gasolina foi aumentado, sucessivamente 11,5%+7,2%+4,5% passando a

custar R$ 1,30. Qual era o preço antes dos aumentos?

10) Uma mercadoria sofreu aumentos sucessivos de 14%+9%. Na venda foi concedido um

desconto de 10%, pagando o comprador R$ 239,32. Qual era o preço inicial desta mercadoria?

11) Um operário ganhou um salário líquido de R$ 515,97. Sabendo-se que recebeu um

aumento de 5% em relação ao salário anterior e lhe foi descontado 9% referente a impostos previdenciários, qual era o salário deste operário?

5 OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS

Utilizando o processo da porcentagem pode-se facilmente calcular, partindo do preço de custo, o preço de venda de mercadorias considerando o lucro sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda.

5.1 LUCRO SOBRE O PREÇO DE CUSTO

Para calcular o preço de venda com lucro sobre o preço de custo, considera-se o preço de custo como o valor correspondente a 100%. O preço de venda será equivalente a 100%+ r.

Fórmula:

Exemplo 1: Uma mercadoria foi comprada por R$ 120,00. Por quanto deverá ser vendida se o lucro desejado é de 40% sobre o preço de compra?

V= 120 (1+0,4) Na HP 12C V= 120 x 1,4 120 enter 40% + V= R$ 168,

5.2 LUCRO SOBRE O PREÇO DE VENDA

Para calcular o preço de venda com lucro sobre o preço de venda, considera-se o preço de venda como o valor correspondente a 100%. O preço de custo será equivalente a 100% - r.

Fórmula:

Exemplo 1: Por quanto deverá ser vendida uma mercadoria, comprada por R$20,00, desejando-se obter um lucro de 20% sobre o preço de venda?

Exercícios propostos:

1) Uma mercadoria foi comprada por R$ 24,00. Por quanto deverá ser vendida para que o

lucro seja de 30% sobre o preço de compra?

2) Uma mercadoria foi vendida por R$ 50,75, com um lucro de 45% sobre o preço de

compra. Quanto custou esta mercadoria?

3) Uma casa foi vendida por R$ 54.000,00, com um lucro de R$ 6.000,00. A quanto por

cento corresponde este lucro?

6 JUROS SIMPLES

Juro é:

a) valor pago pelo uso de dinheiro emprestado, ou seja, custo do capital de terceiros

colocado à nossa disposição;

b) remuneração do capital empregado em atividades produtivas;

c) remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas aplicados;

d) remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido, de forma

simplificada, como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro.

Se aplicarmos um capital durante determinado período de tempo, ao fim do prazo obteremos um valor (montante) que será igual ao capital aplicado acrescido da remuneração obtida durante o período de aplicação. A diferença entre o montante e a aplicação é denominada remuneração, rendimento do capital ou juros. No regime de juros simples, os juros de cada período são calculados sempre sobre o mesmo capital, portanto os rendimentos em cada período são os mesmos e os montantes crescem linearmente.

Observe o cálculo a seguir:

Cálculo dos juros simples Período Capital Juros do período Juros Montante inicial (i= 10%a.p.) acumulados 0 1.000,00 0,00 0,00 1.000, 1 1000 x 0,10= 100 100 1.100, 2 1000 x 0,10= 100 200 1.200, 3 1000 x 0,10= 100 300 1.300,

6.1 ELEMENTOS BÁSICOS

Capital (C): É a quantia empregada no início da aplicação.

Juro (j): É o valor pago pelo empréstimo do dinheiro.

Taxa de juro (i): É a unidade de medida dos juros. Nas fórmulas de cálculo utiliza-se a taxa na forma unitária. (divide-se a taxa percentual por 100 para transformá-la em unitária).

Tempo(t): É o tempo de duração do empréstimo. Deverá ser sempre representado em relação ao período da taxa.

Montante (M): É o valor total a ser pago ou recebido com a finalidade de quitar ou encerrar um empréstimo.

Fórmula Fundamental de Juros Simples é:

j = Cit

Exemplo 1: João assumiu o compromisso de restituir a Pedro a importância de R$ 200.000,00 que havia tomado emprestado, a uma taxa de juros simples de 2,5% ao mês, a ser restituído em 9 meses. Calcule o valor dos juros que Pedro receberá de João.

j = 200.000,00 x 0,025 x 9 Na HP 12C j = R$ 45.000,00 200000 enter 2,5% 9 x

Exemplo 2: Calcule o capital necessário para que uma aplicação financeira produza rendimentos iguais a R$ 148.612,61, à taxa de juros simples de 12% ao ano, durante 3 anos.

148.612,61 = C x 0,12 x 3 C = 148.612,61/ 0, C = R$ 412.812,

Exemplo 3: Um título de R$ 22.000,00 vencido em 24/06 e liquidado em 08/08 do mesmo ano, foi penalizado com um juro de R$ 1.650,00. Qual foi a taxa mensal de juros simples cobrada?

1.650,00 = 22.000,00 x 45/30 x i i = 1650,00/33.000, i = 0,05 x 100 = 5%

Obs: Os dias são contados de data a data, através do ano civil.

Exemplo 4: Qual o tempo necessário, para que um capital de R$ 20.000,00 renda juros de R$ 4.000,00, a uma taxa simples de 12% ao ano?

4.000,00= 20.000,00 x 0,12 x t t = 4.000,00/ 2.400, t = 1,67 x 12 = 20 meses ou 1 ano e 8 meses

Exemplo 5: Que capital deve ser empregado em juros simples a taxa de 60% ao ano, para que se obtenha um juro de R$ 240,00 em 72 dias?

240,00 = C x 0,6 x 72/ C= 240,00/ 0, C = R$ 2.000,

A taxa mensal de juros simples será:

r = (9,6/48) x 30 r= 6% a.m.

Exercícios propostos:

1) Calcular os juros produzidos por uma aplicação de R$ 2.000,00, à taxa de 30% a.a. de

juros simples, durante 4 meses e 18 dias.

2) Que capital aplicado em juro simples produz um juro de R$ 24.000,00 à taxa de 30%

a.a. em 2 anos?

3) A que taxa anual de juros simples deve-se empregar o capital de R$ 80.000,00 para se

obter um juro de R$ 32.000,00 durante 8 meses?

4) Durante quanto tempo deve-se empregar o capital de R$ 50.000,00 para se obter um

juro simples de R$ 35.000,00, sendo a taxa de 30% a.m.?

5) Calcule os rendimentos referentes a uma aplicação financeira R$ 1.470,00, durante 95

dias, à taxa de juros simples de 21%a.a..

6) Qual o valor do resgate de uma aplicação, sabendo-se que o investimento inicial foi de

R$ 32.500,00, o prazo de 118 dias e a taxa de juros simples de 2,3% ao mês?

7) Um aplicador deseja transformar o capital de R$ 23.000,00 em R$ 29.997,88, em 556

dias. Qual a taxa anual de juros simples que o aplicador deverá conseguir para alcançar seu objetivo?

8) Um investidor fez uma aplicação em juro simples durante 2 meses. No fim deste tempo

retira o montante de R$ 159.000,00 e reaplica tudo por mais 3 meses a mesma taxa. Sabendo-se que o valor do resgate final é de R$ 173.310,00 Qual a importância inicialmente aplicada?

9) Seu José aplicou R$ 200.000,00, em juro simples por 5 meses, a taxa de 96%a.a.. Qual

o valor do resgate?

10) Uma pessoa aplicou certa quantia, a juros simples de 5% ao semestre, durante 45 dias.

Após este prazo, recebeu R$ 897.343,87. Calcular o capital aplicado.

11) Um título no valor R$ 22.500,00, vencido em 18/03 foi liquidado no dia 12/04, do mesmo

ano. Se o valor pago na liquidação foi de R$ 23.287,50, qual a taxa mensal de juro simples?

12) Uma TV em cores é vendida nas seguintes condições:

Preço à vista = R$ 1.800,00; Condições à prazo = 30% de entrada e R$ 1.306,00 em 30 dias. Determinar a taxa de juros simples cobrada na venda a prazo.

13) Uma aplicação de R$ 15.000,00 é efetuada pelo prazo de 3 meses à taxa de juros

simples de 26% ao ano. Que outra quantia deve ser aplicada por 2 meses à taxa linear de 18% ao ano para obter o mesmo rendimento financeira?

14) Uma mercadoria é oferecida num magazine por $ 130,00 à vista, ou nas seguintes

condições: 20% de entrada e um pagamento de R$106,90 em 30 dias. Calcular a taxa linear mensal de juros que está sendo cobrada.

15) Um certo capital, aplicado por três trimestres, a uma taxa de juro simples de 24% a.a.,

rende R$ 900,00 de juro. Determine o montante.

16) Uma pessoa contrai um empréstimo de R$ 75.000,00 à taxa linear de 3,3% ao mês. Em

determinada data líquida este empréstimo pelo montante de R$ 92.325,00 e contrai nova dívida no valor de R$ 40.000,00 pagando uma taxa de juros simples mais baixa. Este último empréstimo é resgatado 10 meses depois pelo montante de R$ 49.600,00. Pede-se calcular:

16).)a o prazo do primeiro empréstimo e o valor dos juros pagos;

16).)b a taxa simples de juros mensal e anual cobrada no segundo empréstimo.

17) Um refrigerador é vendido por R$ 980,00 à vista ou com uma entrada de 25% e mais um

pagamento de R$ 793,80 após 40 dias. Qual a taxa mensal de juro simples envolvida na operação?

18) Calcular o montante produzido por um capital de R$ 2.000,00 aplicado durante 9 meses,

à taxa de 12% ao semestre de juros simples.

19) Uma pessoa tomou emprestado R$ 1.400,00 durante 4 meses e 17 dias, a uma taxa de

juros simples de 17% ao trimestre. Qual o valor dos juros a ser pago?

20) Calcular a taxa anual de juros simples que rendeu um fundo de investimento, sabendo-

se que o capital aplicado foi de R$ 4.000,00 e que o valor de resgate foi de R$ 5.200, após seis meses.

21) Uma mercadoria cujo o preço à vista é R$ 500,00 foi vendida com uma entrada de 25%

e, mais um pagamento no valor de R$ 401,25 com vencimento para 42 dias. Qual a taxa mensal de juros simples cobrada no financiamento?

22) Após quanto tempo os capitais de R$ 7.000,00 e R$ 9.000,00, empregados às taxas de

juros simples de 6% e 4% ao mês, respectivamente, atingirão o mesmo montante

23) Qual a taxa mensal de juros simples que deve ser aplicado um capital para duplicar de

valor em 1 ano e 3 meses?

24) Um capital de R$ 4.000,00 foi aplicado a juros simples por 72 dias; um outro capital de

R$ 5.000,00 foi também aplicado a juros simples, à mesma taxa durante 45 dias. Determinar a taxa anual, sabendo-se que a diferença entre os juros da 1ª aplicação e da 2ª aplicação são iguais a R$ 31,50.

25) O preço à vista de um televisor é R$ 500,00. Entretanto, em dois pagamentos, com

entrada, na ocasião, de R$ 200,00, e outro em 30 dias, o preço sobe para R$ 530,00. Qual é a taxa cobrada?

8 PRAZO MÉDIO

Sejam os capitais , ,..........., , todos empregados em juros simples, a uma mesma taxa i durante os tempo t 1 , t 2 , ..........,t (^) m , respectivamente. Chama-se prazo médio aquele no qual deve-se empregar a soma dos capitais, a mesma taxa, para obter um juro igual a soma dos juros de cada capital determinado separadamente.

Se os capitais forem iguais o prazo médio é calculado pela seguinte fórmula:

Exemplo 1: Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 5.000,00 e R$ 3.000,00 foram aplicados em juro simples durante 36 dias, 60 dias, e 156 dias, respectivamente. Durante quanto tempo deve- se aplicar a soma destes capitais, a mesma taxa, para obter o mesmo juro?

Na HP 12 C f 36 enter 2000 60 enter 5000 156 enter 3000 g

Exemplo 2: Se a taxa de juros é 6%a.m., qual o juro produzido no exemplo 1?

Exemplo 3: Uma pessoa deposita R$ 500,00 no início de cada mês, a taxa de 5%a.m., em juro simples. Calcular o montante constituído no final de um ano.

M= 6.000,00 ( 1 + 6,5 x 0.05) M = R$ 7.950,

Exercícios propostos:

1) Um título de R$ 105.000,00 vencível em 31/03 foi pago da seguinte maneira: R$

25.000,00 em 31/03; R$ 20.000,00 em 15/04; R$ 15.000,00 em 20/04; R$ 24.000,00 em 30/04 e R$ 21.000,00 em 10/05. Sabendo-se que a taxa de juro simples cobrada pelo credor foi de 6%a.m., qual o juro pago na liquidação?

2) Uma empresa devedora de um título de R$ 420.000,00 pagou-o da seguinte maneira :

R$ 120.000,00 no vencimento; R$ 75.000,00 com atraso de 12 dias; R$ 120.000,00 com atraso de 25 dias e R$ 105.000,00 com atraso de 42 dias. Sabendo-se que o total de juros pago na liquidação foi de R$ 11.080,00, determinar a taxa de juro simples, anual cobrada pelo credor?

3) Um título de R$ 108.000,00 vencível no dia 31 de março foi pago da seguinte maneira:

R$ 28.000,00 no vencimento R$ 20.000,00 em 15/ R$ 15.000,00 em 20/ R$ 24.000,00 em 30/ R$ 21.000,00 em 10/ Qual foi o atraso médio no pagamento do título se todos os pagamentos foram feitos no mesmo ano?

4) Uma empresa adquiriu um equipamento no valor de R$ 200.000,00. Pagou 25% no ato

e o restante foi amortizado em 15 parcelas mensais iguais acrescidas de juro simples a no seu vencimento. Sabendo-se que o total dos juros pagos no financiamento foi de R$ 24.000,00, qual a taxa mensal do juro simples?

5) Os capitais de R$ 8.000,00, R$ 10.000,00 e R$ 6.000,00 foram aplicados à mesma taxa

de juros simples, pelos prazos de 8, 5 e 9 meses, respectivamente. Obtenha o tempo necessário para que a soma desses capitais produza juros à mesma taxa, igual à soma dos juros dos capitais individuais aplicados nos seus respectivos prazos.

6) Os capitais de R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00 foram aplicados à mesma

taxa de juros simples, pelos prazos de 4,3 e 2 meses, respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplicação desses capitais.