CONJUNTOS COMPACTOS, Esquemas de Topologia

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

CONJUNTOS COMPACTOS

Simone Milioli da Luz

Florianópolis

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E^ MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

Simone Milioli^ da Luz

CONJUNTOS COMPACTOS

Trabalho de conclusão de curso apresentado ao Curso de Matemática - Habilitação Licenciatura,paraobtenção do grau de Licenciado em Matemática. Orientador: William Glenn Whitley

Florianópolis 2000

Sumário

• 1 Introdução
• 2 Compactos em R
• 3 Espaços Métricos Compactos
• 4 Espaços Topológicos Compactos
• Referências Bibliográficas

Capitulo 1

Introdução

Neste trabalho faremos urn estudo mais amplo de espaços compactos do que o visto na graduação. Inicialmente estudaremos as propriedades de com- pacidade em R e IV. Em seguida procuraremos estender os conceitos^ e teoremas obtidos em R para espaços métricos. Para finalizar, faremos um estudo de espaços topológicos compactos em geral, bem como suas relacões com funções continuas. Alguns conceitos e teoremas que foram utilizados neste trabalho não serão apresentados, pois já foram demonstrados durante o curso. Portanto, é con- veniente que o leitor tenha conhecimento referente aos Cálculos^ e alguma noção de Análise para facilitar o acompanhamento do texto. Antes de começar com o desenvolvimento do trabalho, faremos urn pe- queno resumo do surgimento dos conjuntos compactos. Algumas definições a respeito de conjuntos compactos aparecem desde o

inicio do século XIX através da Análise. Embora não se usasse o termo com-

pacto naquela época, já se conheciam alguns teoremas que hoje equivalem a compacidade de conjuntos. Como, por exemplo, o Teorema de Bolzano- Weierstrass. Esse Teorema, que diz que todo conjunto infinito e limitado pos- sui um ponto de acumulação, foi descoberto em 1830 por Bernhard Bolzano e tornou-se conhecido somente 50 anos mais tarde quando foi redescoberto por Karl Weierstrass. Aparentemente Cauchy também conhecia este Teorema. Outro teorema que também está relacionado com conjuntos compactos é o Teorema de Borel-Lebesgue que diz que todo subconjunto fechado de uma reta pode ser coberto por um conjunto de intervalos de modo que se cada ponto do conjunto é ponto interior de pelo menos um dos intervalos,^ então

Capitulo 2

Compact os em

Seja X um subconjunto de IR. Uma cobertura de X é uma família

C= (C).) ),EL de conjuntos CA C^ R^ tais que^ X^ c^ U^ CA^ ;^ ¡St()^ 6,^ para to-

).EL do x e X, existe algum A E L^ tal que^ x^ e C)..

Uma cobertura de X c U A), diz-se aberta quando cada conjunto A A , AEL A e L, é aberto em R. A cobertura^ U C),^ de^ X^ é^ finita^ quando L^ é um xEL conjunto finito; isto e, L = (^) {Ai, An} eX CCxiU U C, (^) ft-

Uma subcobertura de C é uma família C' = (C).) xeL„ L' c L, tal que ainda

se tenha X c UC.

AEU Os intervalos abertos C1^ -= (0,^ C2 = (i, 1)^ e^ C3 =(^ A),^ constituem

uma cobertura^ C^ = (C1 ,^ C2,^ C3 )^ do intervalo^ X =^ it^ De fato, o intervalo

c Cl UC2UC3 =-- (0,1); ou seja [1,1]^ c^ C), para^ L =--^ {1, 2, 3}.^ Ago- AL

ra, L' = { 1, 3} determina uma^ subcobertura^ de^ C,^ pois temos que o intervalo

IL 1]^ C 6 1^ U C3 = (0, 1^1 3 ),^ ou em outra^ notação,^ X^ C^ U^ C,,^. ).EL'

Definição 1 Um conjunto^ K^ c^ R^ chama-se^ compacto^ quando^ toda cobertura aberta de K possui subcobertura finita.

Seja X um subconjunto finito de R. Digamos que X = {ai, (^) az, •-•, an }^.

Se C = (CA)AEL é cobertura aberta de^ X^ então cada ponto de^ X^ pertence

a algum C. Digamos que al E (^) CA1, a2^ E CA2, am E C. Então

X C Cm U CX2 C. COMO^ {CA,, ...CAj é um conjunto finito,^ X^ é

um conjunto compacto.

Para mostrarmos que um conjunto X não é compacto basta encontrarmos

uma cobertura aberta de X que não contenha subcobertura finita.

A reta R não é um conjunto compacto. De fato, para A^ = (—n, n),^ a cobertura aberta {A n ;^ n^ E^ N}^ de^ R não^ admite^ subcobertura finita,^ pois a unido de um número finito de intervalos (—n, n) é igual ao intervalo de maior índice, que não é igual R.

0 intervalo (a, b) também não é um conjunto compacto. Considere a

família de abertos A n = (a ± b — (^) ). Então^ (a, b)^ C^ U^ A.^ No entanto a n=i

unido de um número^ finito de intervalos (a^ ±^ b^ —^ ;^1 ) é^ igual ao intervalo de

maior índice, que não contem o intervalo (a, b).

0 teorema a seguir sera demostrado para nos auxiliar nas demonstrações dos próximos teoremas.

Teorema 1 (Intervalos Encaixantes)^ Seja {In ;^ n > 1}^ uma família de

intervalos fechados e limitados tal que In±i C In V n > 1. Ent^ Fio existe

IC) E n ,.^ Além disso, se I n^ =^ [an , b] e^ limn (bn —^ an )^ =^ 0,^ x o^ é^ 7inico.

n>

Demonstração: Seja {an ,^ intervalos não triviais.^ Como

In±i C In,^ temos que^ an^ <^ an±i^ < bn±i < bn.^ Ou seja,^ a^ seqüência^ (an)

é monótona não decrescente e limitada superiormente por bk^ V^ k > 1.^ Por-

tanto existe limn an = 10 e xo <^ bn V n > 1.^ E^ a^ seqüência^ (bn ) é^ monótona

não crescente e limitada inferiormente por 10. Então existe limn b71 = yo e xo<yo, Como^ < xo < bnean<yo<bnVn, x 0 ei71 Vney0E/71 Vn. Portanto {x o , Yo} C (^) ri (47) Alem disso,^ se^ limn (bn — an) = 0, então^ x o^ = yo , n>

pois limn (bn — an) = um71 an — limn bn = xo — yo. Suponhamos, que exis-

ta (^) Ii E (^) fl I,, então an^ <^ x i^ <^ bn^ V n >^ 1. Daf.xo = limnan <^ x i^ e n>

YO = liMnbn >^11 e portanto,^10 <^ x i^ < yo. Ou seja,^10 =^11 = yo, então

r > O tal que (x0 — r, x0 + r) C A.

Seja k E N tal que —b2-ka < r. Então xo — ak < bk — ak = —b2-ka < r e

bk —x0 < bk — ak = —1a r,^ ou seja, frzk^ ,^ bkj^ C (xo — r, xo r) C A 0.^ Desta

forma encontramos uma subfamilia finita que cobre [a k , bk ], que é um absurdo. Portanto a suposição inicial está errada; ou seja, dada uma família de aber- tos que contém F é possível obter uma subfamília finita que ainda contem F. Agora, sejam F qualquer subconjunto fechado e limitado e {/4} ),EL uma cobertura aberta de F.^ Sabemos que existe um intervalo [a,^ b]^ tal que F C [a, b]. Seja B = ([a,b] — F). Então B é aberto e [a, b] c (U /4) U B. AEL Conforme mostramos acima, existem [a, b] c AA, U U A A „U B. Mas B não contém pontos de F^ e^ é^ um subcobertura finita de^ F.^ Portanto F é compacto_

Pelo Teorema 2 temos que todo intervalo fechado [a, b]^ de It^ é compacto. Gostaríamos de mostrar um exemplo mais interessante de um intervalo^ [a,^ b] que satisfaz o teorema.

0 conjunto de Cantor ou conjunto ternário é um conjunto compacto que não contém intervalo aberto algum e portanto seu interior é vazio, como vere- mos a seguir. Considere o intervalo fechado e limitado [0, 1]. Agora retiramos a terça parte central aberta; ou seja, retiramos o intervalo aberto , i). Se- ja h tal intervalo. Dos intervalos restantes [0, 1]^ e [i,^ 1]^ retiramos a terça parte central aberta de cada um dos intervalos, isto 6, os intervalos (4, &) e (¡, g). Sejam 12 e 13 respectivamente os intervalos retirados. Restam então os quatro intervalos fechados [0, tl, [t , e [t , 1]. Retiramos a terça parte central aberta de cada intervalo restante indefinidamente. Consideremos os intervalos abertos retirados como 00 h,12 , ...,^ então o conjunto de Cantor é K = [0, 1] — (^) U ';^ ou seja, é o conjunto dos pontos que não forem retirados n= ao longo das etapas. Como cada intervalo retirado é um conjunto aberto em R e também em [0, 1], o conjunto de Cantor é um subconjunto fechado em [0,1] e limitado, portanto é um conjunto compacto.

Teorema 3 (Bolzano-Weierstrass) Todo subconjunto infinito e limitado X C 11 possui um ponto de acumulaçcio.

Demonstração: Como^ X é^ um conjunto limitado, existem a,^ b^ E^ R, com a < b tal que^ X^ c [a, b]. Sendo^ X^ um conjunto infinito então pelo menos um dos intervalos [a, —a+2 b] e [a--P, bi contém uma infinidade de pontos de X.^ Seja [a l , b1 ] tal intervalo. Analogamente pelo menos um dos intervalos [ai , -1-P-1- e[aP-, b 1 ] contém uma infinidade de pontos de^ X.^ Considere [a2 , b2] o intervalo desejado. Prosseguindo desta forma obtemos uma família de intervalos tal que:

i) [a i , bn±i] c [an ,^ bin]^ c [a, b] V^ n^ >^ 1; b — a 2n ; e iii) cada [an , bn] contém uma infinidade de pontos de^ X.

Pelo Teorema dos Intervalos Encaixantes temos que existe x o^ E^ fl [an'bni. n> Afirmamos que x o é ponto de acumulação de^ X.^ De fato, se r > 0, consi- b — a deremos B(x o ,^ r). Seja n E N tal que^ 2n < r. Sendo que 1 0 E [an ,^ bn]^ e T é maior que o comprimento de [an , bn), então [an , bn) c B(x o ,r). Como [an , bn] n X C B(x o , r) n X contém uma infinidade de pontos de^ X,^10 E^ X'.

Teorema 4 Toda sequência limitada^ de^ niimeros^ reais possui uma^ subse- gic'encia convergente.

Demonstração: Seja (xn ) uma seqüência de números reais tal que a < < b V n. > 1. Consideremos os intervalos [a,^ W-1^ e [aP, bl. Pelo menos um destes intervalos contém os termos x i., para uma infinidade de indices n. Seja [al ,^ b1 ] tal intervalo. Considere agora os intervalos [a 1 ,] e[112-12-b -, bd. Pelo menos um destes intervalos contém uma infinidade de termos xn. Seja [a2 , b2] tal intervalo. Prosseguindo desta maneira temos

i) [ak±i, bk±i] c^ [ak ,bk ] c^ [a,^ b] V k > 1; b — a ii) bk — ak =^ 2k e limk(bk — a k ) = 0; e iii) cada [ak, bk] contém uma infinidade de termos da seqüência^ (In).

lo

3 = 4) Dada uma seqüência (x n ) de pontos de^ K,^ há duas possibilidades

para o conjunto dos valores xn , ou o conjunto X = {x1 , x2, (^) ...} é finito

ou infinito. Se X é finito, existe algum valor a = x, = x„ = = xn,

que se repete infinitas vezes, e portanto nos clá, uma subseqüência constante

que converge para a. No caso de X ser infinito, pela hipótese, o conjunto K

possui um ponto de acumulação de X, digamos b E X' n K. Então para todo

k E N, existe ink tal que x„ E (b — , b +. E^ (b^ —^ , b +^ t) contem uma

infinidade de termos xi com indices arbitrariamente grandes. Portanto^ b^ é^ o

limite da subseqüência (^) (xrik )-

4 1) Se K for um conjunto ilimitado (digamos superiormente), toma-

mos um x1 E K e observemos que sempre é possível obter x2 e K tal que

x2 > x1 ± 1. Assim encontramos uma seqüência (x ii ) de pontos de^ K^ com

Xn ±i > xri 1. Portanto, toda subseqüência de^ (xn )^ é^ não convergente, pois

é ilimitada. Portanto K é limitado. Agora se K não for fechado, existe uma

seqüência de pontos (Zn ) de K com /imnxn = x 0 K e desta forma qualquer

subseqüência converge para z çl K.^ Portanto^ K^ deve ser fechado.

Quando um conjunto cumpre uma das condições do Teorema 5, con- seqüentemente cumpre todas as outras. As condições do teorema implicam na compacidade do conjunto.

Se A e B são subconjuntos do JR tal que A é compacto e B^ é fechado,

Então An B é compacto. Com efeito, sendo^ A^ um subconjunto compacto,^ é

fechado e^ limitado. Sabemos que^ AnB^ C^ A,^ então^ como A^ é^ limitado,^ AnB

também 6. Sendo A e B subconjuntos fechados, A n^ B^ também 6. Portanto

como AnB é fechado e^ limitado, pelo Teorema 5, AnB^ é^ um subconjunto

compacto.

Capitulo 3

Espaços Métricos^ Compactos

Sabemos que IR é um espaço métrico e apresentamos no capitulo ante- rior alguns conceitos de compacidade em R. Neste capitulo, faremos um estudo de espaços métricos em geral, e apresentaremos resultados de espaços métricos em geral, semelhantes aos encontrados em R.

Definição 2 Um espaço métrico^ (M, d)^ é^ compacto se, para toda^ cobertu-

ra aberta {Ax} A EL existe^ uma^ subcobertura finita^ A),,}^ tal que

M C UAA„.^ ¡go 6,^ um^ espaço^ métrico^ M diz-se^ compacto^ quando^ toda

cobertura aberta possui uma^ subcobertura finita.

Teorema 6 Todo subconjunto fechado de um^ espaço^ métrico compacto^ é

compacto. Reciprocamente, um subconjunto compacto de qualquer^ espaço

métrico é fechado.

Demonstração: Sejam M um espaço métrico compacto e^ F^ um subcon-

junto fechado de M.^ Dada uma cobertura aberta^ {AA}AEL^ de^ F,

M = UA ), U (M — F).^ Portanto^ {AA}AEL U {M^ — Fl é uma cobertura

aberta de M. Como M é compacto por hipótese, extraimos da cobertura

aberta uma subcobertura finita M = AA, U U AAn^ U^ (M — F).^ Como

nenhum ponto de F pertence a M — F,^ então^ F c^ A A ,U ...0^ A A„.^ Logo^ F é

compacto.

Reciprocamente, seja K^ C^ M^ um subconjunto compacto de um espaço

métrico qualquer. Suponhamos que K^ não seja fechado em^ M.^ Neste caso

é uma cobertura de M. No entanto, nenhuma subcobertura finita contém^ M.

Se K, N C M são subconjuntos compactos, então KUN é compacto. Com efeito, dada uma cobertura aberta lit. ),} xel, de KUN, então K c (^) U ),EL eNCU AA. Como K é compacto, existe uma subcobertura finita com xEr, K c AA, U AA 2 ... U Axn. Analogamente, N C (^) U U A4 , onde AA. não são necessariamente diferentes. Portanto temos K CA ),, U AAp. Ou seja, KUN6 compacto.

Segue do exemplo anterior que a reunido finita de subconjuntos compactos é compacta. No entanto a reunião infinita de conjuntos compactos pode não ser compacta. Note que todo conjunto é formado pela reunido de seus pontos que são compactos. Por exemplo, o conjunto Z não é compacto,^ pois não é limitado, por outro lado, urn conjunto formado por um número inteiro é um conjunto finito e portanto compacto.

A noção de espaço compacto pode também ser formulada em termos de conjuntos fechados.

Se (A A ) ),EL é uma família de abertos em M. Então os complementares FA = M — A), formam uma família de fechados em M.^ E ainda, M = UAA <=> = 0.

Portanto um espaço métrico é compacto se,^ e somente se, toda família (F),),\EL de fechados com interseção vazia possui uma subfamilia finita com interseção vazia: n = 0. De fato, seja^ M^ um espaço métrico compacto. Suponhamos ri FA = 0. Então pela lei de De Morgan temos, E L

M = 25c = ( AELn F)c =^ AELu^ Fxe.^ Como (F),) xEL é uma família de fecha-

dos, cada F é aberto e assim {FAcl é cobertura aberta. Como^ M é^ um espaço compacto por hipótese, então existem F)„e, Fx„c^ E^ {TV} tal que M C FAi c U U FAn c.^ Assim, pela lei de De Morgan sabemos que, 0 = Mc^ =^ (F ),^ i^ e u^ FAn c) c =^ FA i cc^ n n^ FAr, =^ FA,^ n n^ FAn^ Ou seja, FA, n n = 0.

Reciprocamente, seja {FA } uma cobertura aberta^ de^ M.^ Pela lei de De

Morgan, 0 = MC =-- (^) ( U FA )c fl F^.^ Como cada FA^ é^ aberto,^ então )EL AEL (F)AL é uma família de fechados e tem interseção vazia. Logo por hipótese existem (^) FAi c , •••, Px c^ E {PV}AEL tal que FAi c FA: = 0. Assim, M = = (FA ,'^ (-1 FAn c)c =^ FA ,"^ U^ UFA,,^ = FA U U FA R. Portanto M é compacto, pois toda cobertura aberta^ de^ M^ possui^ subcobertura finita.

Definição 3 Diz-se que uma família (F),) ),EL^ tem a propriedade da^ interse- ção finita se para todo subconjunto finito^ {Ai, An} C^ L^ tem-se,

FA, n n FAn 0.

Um exemplo de uma família com a propriedade de interseção finita^ é^ a

classe An = (—Da, rd. Note que ri (An)^ = 0,^ mas qualquer subclasse^ finita AEZ de An tem uma interseção não vazia, satisfazendo a condição.

Podemos formalizar a discussão anterior no seguinte teorema.

Teorema 9 Um espaço métrico M é compacto se, e somente se, para toda família (FA )A EL de fechados com a propriedade de interseção finita, tem-se

n (FA) 0. AEL

Teorema 10 A imagem de um conjunto compacto por^ uma^ aplicação^ conti- nua é um conjunto compacto. Demonstração: Sejam f : M /V continua eKc M compacto.^ Da- da uma cobertura^ aberta^ f(K) c U^ AA ,^ obtemos^ uma cobertura aberta AEL K c U f-1 (AA). Sendo K compacto, podemos extrair uma^ subcober- AEL

tura finita^ K^ c ri(AA,) u f -1 (AA2) u u^ f -1 (AA).^ Dai^ temos que

f(K) c f f'(A. Ai )U f f -1 (AA 2 )U ...0 f f -1 (AA n )^ C^ AA,^ U^ AA,^ U U^ AA. Portanto f(K) é compacto.

O circulo LS' = {(x, y) E R2 ; x 2 + y 2 =^ 1}^ é^ compacto, pois^ é^ a imagem pela aplicação continua f :^ R --> R2^ definida por^ f(t)^ =^ (cos^ t, sen t)^ de

16

Demonstração: Sejam M compacto e f : M N uma função continua, então pelo Teorema 10, f (M) C N é compacto. Logo, sendo f (M) compacto é limitado. 1 A função continua f: (-1, +1) R, definida por f (x) =^ 1 — x2 ' não é limitada. Isto pode ocorrer porque seu domínio^ não^ é^ um conjunto fechado e, portanto não é compacto.

Teorema 14 Se M é compacto, toda função real continua^ f:M—Ré limitada e atinge seus valores máximo e mínimo^ em M. Mais precisamente: existem x o , x 1 E M tais que f(x 0) < f (x) < f(x i ) para todo x E M.

Demonstração: Sejam M compacto^ e f : M^ JR continua, então pelo Teorema 10, temos que f (M) é um subconjunto compacto de R. Portanto é fechado e limitado.^ Dai,^ existem a^ =^ in^ f f (M)^ e^ b =^ sup^ f (M),^ tais que a e f(M) ebef (M). Ou seja, existem xo^ e xi^ E M^ tais que^ f(x 0)^ =^ a e f (xi ) -- b. Portanto f(x 0) < f (x) < f^ (x i )^ para todo^ x^ E^ M. 1 A função g : [0, +co) — IR, definida por g(x) = (^) 1 + x 2 7 é^ continua e limitada e assume seu valor máximo no ponto x = O. Mas,^ não^ existe um ponto x E [O, +co) tal que^ g(x) =^ O^ =^ in^ f {g(x); x E^ [0, ±oo)}.^ Isto pode ocorrer porque seu domínio é fechado mas não é limitado.

0 Teorema a seguir é conseqüência^ imediata do Teorema^ 14.

Teorema 15 Sejam M compacto e f:^ M —> lif?^ continua tal que^ f(x) > para todo x E M. Então existe^ e>^^0 tal que^ f(x) > c^ para todo^ x^ E^ M.

Demonstração: Sendo M compacto^ e^ f:^ M^ IR uma^ função^ continua então f(M) é compacto e portanto é fechado e limitado. Portanto, existe c = in^ f { f (x); x^ E^ M}^ tal que^ c E^ AM).^ Temos^ c>^^0 pois^ f(x)^ > 0^ para todo x E M. Logo c > 0 e f(x)^ >^ c^ para todo^ x^ E^ M.

A função f R R definida por f (x) =^ (^1) é continua e f(x) > 1 + X 2 para todo x E R. Mas para e>^ 0,^ podemos^ obter^ x^ E^ N tal que^ f (x) <^ c.

18

Isto ocorre porque Ill não é conjunto compacto.

Definição 5 Diz-se que um subconjunto^ K^ de um^ espaço^ métrico M^ é

totalmente limitado quando para^ todo^ E > 0, existir um conjunto finito

F ={a l , ..., an } em M tal que K C UB(ai ,E).

i=

Teorema 16 Ern qualquer espaço métrico M, um conjunto totalmente limi-

tado é limitado

Demonstração: Seja M um espaço métrico totalmente limitado, então

dado e = 1, existe xi, xn E M tais que para todo ponto x^ E^ M,

d(x , x i) < E. Assim M^ C^ UB^ (x i ,^ E)^ limitado pois é a unido finita de

subconjuntos limitados.

A reciproca do Teorema 16 não é válida. Observe que no espaço S = {(x); x 11^ <^ 1} com a métrica^ d((xn), (M)) =^ sup^ I n Y n o con-

junto fechado F = a2 , ...}, onde:

a2 =-- (0,1,0,0,0, ••.)

an =-- (02.02.0%;.:2, 1, 0, ...) n-1 vezes

é limitado, pois^ d(an ,^ am )^ =^ 1. No entanto^ F^ não é totalmente limitado,

pois para E = qualquer bola^ B^ (a,^ E)^ em^ S^ não pode conter mais do que

um ponto de F. Então para este E não se pode obter um conjunto finito

F ={a i , em S tal que F C^ UB^ (a,^ ,

Como todo conjunto totalmente limitado é limitado, pelo exemplo ante- rior percebemos que ser totalmente limitado é uma condição mais forte do que ser limitado.

No entanto quando nosso espaço métrico é a reta IR, temos que para todo

subconjunto X C RT. limitado, então X^ é totalmente limitado. Com efeito,