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Introduc¸ ˜ao `a an´alise
Aula 9 — sexta-feira, 18 fevereiro 2011
9.1. Espac¸os compactos.
Definic˜ao 9.1.1. Sejam (xn) uma seq¨uˆencia dos elementos dum conjunto X qualquer, e
n 1 < n 2 <... < nk <...
uma seq¨uˆencia crescente dos n´umeros inteiros positivos. A seq¨uˆencia
(xni )∞ i=1 = (xn 1 , xn 2 ,... , xnk ,.. .)
e dita uma ´ subseq¨uˆencia, ou uma seq¨uˆencia extrata, da seq¨uˆencia original (xn)∞ n=1. N
O conceito seguinte ´e provavelmente o mais importante do nosso curso.
Definic˜ao 9.1.2. Um subconjunto K dum espac¸o m´etrico X e dito´ compacto se cada seq¨uˆencia dos pontos de K cont´em uma subseq¨uˆencia que converge e tem o seu limite em K. N
Exemplo 9.1.3. R n˜ao ´e compacto: a seq¨uˆencia
1 , 2 , 3 , 4 ,... , n,...
n˜ao cont´em nenhuma subseq¨uˆencia convergente, por que nenhuma subseq¨uˆencia n˜ao ´e uma seq¨uˆencia de Cauchy: a distˆancia entre dois termos distintos de cada subseq¨uˆencia ser´a sem- pre maior ou igual a 1. N
Exemplo 9.1.4. Cada espac¸o m´etrico finito, X, ´e compacto. Qual que seja uma seq¨uˆencia (xn) dos pontos de X, pelo menos um ponto aparece `a seq¨uˆencia a infinidade das vezes:
∃x ∈ X : {n : xn = x} e infinito.´
Portanto, a seq¨uˆencia constante
x, x, x,...
e uma subseq¨ ´ uˆencica de (xn). Certamente, esta subseq¨uˆencica ´e convergente em X. N
Observac¸ ˜ao 9.1.5_._ A compacidade ´e uma verc¸ ˜ao “contınua” da finidade, da mesma maneira que a integral e uma verc¸˜ao “contınua” da soma. N
Teorema 9.1.6. Seja K um sub-conjunto compacto dum espac¸o m´etrico X qualquer. Ent˜ao K e fechado em´ X_._ 1
Demonstrac¸ ˜ao. Seja x ∈ X um ponto adherˆente a K. Existe uma seq¨uˆencia (xn) dos ele- mentos de K que converge para x: xn → x.
Como K ´e compacto, a seq¨uˆencia (xn) tenha uma sub-seq¨uˆencia convergente (xnk )∞ k=1 cuja o limite ´e contido em K:
∃κ ∈ K xnk → κ quando k → ∞.
No mesmo tempo, a sub-seq¨uˆencia certamente converge para x, todo como a seq¨uˆencia ori- ginal: xnk → x quando k → ∞.
Grac¸as `a unicidade do limite duma seq¨uˆencia convergente num espac¸o m´etrico, conclu´ımos:
x = κ ∈ K.
Isso significa que K cont´em todos os seus pontos adherˆentes, logo ´e fechado no espac¸o X.
Observac¸ ˜ao 9.1.7_._ No linguagem um pouco antiquado mas expressivo e en´ergico dos anos 1930, o resultado acima diz que cada espac¸o compacto K e absolutamente fechado,´ isso ´e, fechado na cada espac¸o m´etrico contendo K como um sub-espac¸o m´etrico. N
Teorema 9.1.8. Cada espac¸o m´etrico compacto ´e completo.
Demonstrac¸ ˜ao. A prova direita: seja (xn) uma seq¨uˆencia de Cauchy no espac¸o m´etrico compacto K. Existem uma sub-seq¨uˆencia (xnk ) convergente para um limite x ∈ K. Verifica- se facilmente que com efeito lim n→∞
xn = x.
A prova alternativa: seja X um espac¸o m´etrico compacto. Denotaremos Xˆ a sua comple- tamento. De acordo com o teorema 9.1.6, X e fechado em´ Xˆ, e como X ´e denso, temos X = Xˆ, logo X e completo.´
Observac¸ ˜ao 9.1.9_._ Certamente, existem numerosos espac¸os m´etricos completos e n˜ao com- pactes, tais que R. A compacidade ´e uma propriedade muito mais poderosa que a comple- tude. N
Teorema 9.1.10. Cada sub-conjunto fechado dum espac¸o m´etrico compacto ´e compacto.
Demonstrac¸ ˜ao. Sejam K um espac¸o compacto e F ⊆ K um sub-conjunto fechado. Dada uma seq¨uˆencia (xn) qualquer dos pontos de F , pode-se extrair uma subseq¨uˆencia (xnk )∞ k= que converge para um limite x ∈ K, porque K e compacto:´
xnk → x ∈ K quando k → ∞.
Isso significa que x e um ponto adherˆ´ ente a F , logo contido em F :
x ∈ F.
9.3. Teoremas de Weierstrass.
Teorema 9.3.1. A imagem dum conjunto compacto pela aplicac¸ ˜ao cont´ınua ´e compacto. Em outras palavras, sejam X e Y dois espac¸os m´etricos, K ⊆ X um sub-conjunto com- pacto, e f : X → Y uma aplicac¸ ˜ao cont´ınua. Ent˜ao o sub-conjunto f (K) de Y e compacto.´
Demonstrac¸ ˜ao. Seja (yn) uma seq¨uˆencia qualquer dos pontos de f (K). Para cada n esco- lhamos um xn ∈ K tal que f (xn) = yn. Como K e compacto, existe uma subseq¨´ uˆencia (xnk )∞ k=1 convergente em K para um limite κ ∈ K. Como a aplicac¸ ˜ao f e cont´´ ınua, con- clu´ımos
yn = f (xn) → f (κ) ∈ f (K) quando n → ∞.
Eis um corol´ario importante que, por raz˜oes hist´oricas, habitualmente ´e cortado em duas partes de maneira um pouco grotesca.
Teorema 9.3.2 (Primeiro teorema de Weierstrass). Cada func¸ ˜ao real cont´ınua sobre um espac¸o m´etrico compacto ´e limitada...
Teorema 9.3.3 (Segundo teorema de Weierstrass). ...e atinge os seus limites.
Demonstrac¸ ˜ao. Seja K um espac¸o m´etrico compacto (em especial, n˜ao vazio), e seja f : K → R uma func¸ ˜ao cont´ınua. A imagem f (K) ´e compacto grac¸a ao teorema 9.3.1, logo limitado em R (teorema de Heine-Borel 9.2.1). Como f (K) n˜ao ´e vazio, o supremo b = sup f (K) existe e pertence `a R. Evidentemente, b e um ponto adherˆ´ ente de f (K). Como f (K) ´e fe- chado em R, temos b ∈ f (K), isso ´e, existe um x ∈ K tal que f (k) = sup f (K). Logo, o supremo ´e igual ao m´aximo de f sobre K:
sup x∈K
f (x) = max x∈K
f (x).
O ´ınfimo a = inf f (K) e tratado da mesma maneira.´
9.4. Uma propriedade dos aplicac¸ ˜oes cont´ınuas dos espac¸os compactos.
Definic˜ao 9.4.1. Uma aplicac¸˜ao cont´ınua f : X → Y entre dois espac¸os m´etricos quaisquer X e Y e dita´ fechada se para cada parte fechada G de X a sua imagem, f (G), por f ´e fechada em Y.
Exemplo 9.4.2. Sejam X = R^2 munido da distˆancia usual, Y = R, G ⊆ R^2 o grafo da func¸ ˜ao y = 1/x, isso ´e,
G =
x,
x
: x ∈ R \ { 0 }
e p : R^2 → R a projec¸ ˜ao:
p(x, y) = x.
Verifica-se facilmente que a aplicac¸˜ao p e cont´´ ınua e que o conjunto G ´e fechado em R^2 , mas ao mesmo tempo a imagem p(G) = R \ { 0 }
n˜ao ´e fechada em R. Conclu´ımos: a aplicac¸˜ao p n˜ao ´e uma aplicac¸ ˜ao fechada. N
Proposic¸ ˜ao 9.4.3. Cada aplicac¸ ˜ao cont´ınua dum espac¸o m´etrico compacto K para um espac¸o m´etrico Y qualquer ´e fechada.
Demonstrac¸ ˜ao. Seja F ⊆ K uma parte fechada qualquer. Logo F e compacto, e a sua´ imagem f (F ) pela aplicac¸ ˜ao cont´ınua f e compacto em Y. Cada sub-conjunto compacto dum espac¸o m´etrico ´e fechado.
Corol´ario 9.4.4. Seja f : K → Y uma aplicac¸ ˜ao cont´ınua e bijetiva entre dois espac¸os m´etricos, onde K e compacto. Ent˜´ ao a aplicac¸ ˜ao inversa f −^1 e con´´ ınua. (Como diz-se, f e´ um homeomorfismo. )
Demonstrac¸ ˜ao. A fim de mostrar que a aplicac¸ ˜ao g = f −^1 : Y → K ´e cont´ınua, seja G ⊆ K uma parte fechada qualquer. Temos
g−^1 (G) = f (G),
e f (G) e fechado em´ Y porque a aplicac¸˜ao f e fechada segundo a proposic´ ¸˜ao 9.4.3. Con- clu´ımos: a imagem inversa de cada parte fechada de K por g ´e fechada em Y , e portanto g = f −^1 e cont´´ ınua.
