Conjuntos Convexos, Notas de estudo de Informática

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Conjuntos Convexos

Conjuntos Convexos  Um subconjunto é chamado um conjunto convexo se dados quaisquer dois pontos , então para todo  (^) Um subconjunto é chamado um conjunto convexo se todos os pontos no segmento de reta que une os pontos quaisquer de X também pertencem a X. n X  x ` e x `` X

 x ` ( 1  ) x `` X  0 , 1 

n X 

Ex: Conjuntos convexos em 2 

Ex: Conjuntos não convexos em 2 

(PPL)

Minimizar c 1 x 1 +c 2 x 2 +...+cnxn sujeito a: a 11 x 1 +a 12 x 2 +...+a1nxn b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 +...+a2nxn b 2 am1x 1 +am2x 2 +amnxn bm x 1 ,x 2 ,...,xn (^)  0   

c 1 x 1 +c 2 x 2 +...+cnxn = função objetivo c 1 , c 2 , ..., cn = coeficientes de custos x 1 , x 2 , ..., xn = variáveis de decisão

Podemos escrever o (PPL) na forma matricial abaixo: (PPL)

x 0, onde

sujeitoa : Ax b

minimizar c

t

x

2 1                n c c c c  n x n x x x                  2 1 m m b b b b                  2 1

m m mn n n

a a a

a a a

a a a

A

1 2 21 22 2 11 12 1

Escrivaninha Mesa Armário Prateleira Disponibilida- de de recursos Tábua 1 1 1 4 250 Prancha 0 1 1 2 600 Painéis 3 2 4 0 500 Valor de revenda 100 80 120 20 -

1. Escolha da variável de decisão Quantidade em unidades a serem produzidas do produto escrivaninha, mesa, armário e prateleira.
2. Elaboração da função objetivo
3. Formulação das restrições tecnológicas a. Restrição associada a disponibilidade de tábuas b. Restrição associada a disponibilidade de pranchas c. Restrição associada a disponibilidade de painéis d. Restrições de não negatividade

                                                500 600 250 b 3 2 4 0 0 1 1 2 1 1 1 4 20 120 80 100 Podemosobservarque,noproblemaacima,sefizermos : 4 3 2 1 A x x x x c x 0 , j 1,..., sujeitoa: a , i 1,...,3 Estaformaédenominadaforma canônica maximizarz c podemosreescrevê lonaforma : 4 1 ij 4 1 j      

  j j j j j x x b x

No caso de PL, o algoritmo mais utilizado é o simplex. Para que o simplex seja aplicado, é fundamental reduzir o PPL a forma padrão. O modelo de um PPL encontra-se na forma padrão quando ele é formulado da seguinte maneira: 0 sujeitoa: a , i 1,..., m maximizarz c 4 j 1 ij 4 1 j         j j i j j x x b x

b. Variáveis livres Chamam-se variáveis que não têm qualquer restrição de sinal. Podemos substituir por duas variáveis e , de maneira que , sendo e . Evidentemente: k

x

' k x " k x

• x x k " k '  k x^0 '  k

x 0

"

k

x

0 0 0 ' " k ' " k ' " k k k k k k k x x x x x x x x x          Assim substituímos uma variável livre por duas variáveis positivas.