Fenômeno de Transporte I: Aula 3 - Conservação de Quantidade de Movimento, Slides de Fenômenos de Transporte

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Fenômeno de Transporte I

Aula 3 Conservação de Quantidade

de Movimento

UFPB/DEQ-2021.

Claude Louis Marie

Henri Navier (1785-

1836) .Engenheiro,

matemético e Físico.

George Gabriel Stokes (

- 1903). Matemático e Físico

(irlandês)

Equação da dinâmica dos fluidos: Equação de Navier -Stokes

De forma análoga a taxa de massa que atravessa uma porção da SC é:

Onde é a densidade. A taxa de transferência da propriedade pela SC:

Transferência da propriedade através da SC

Integrando em toda a superfície de controle (SC):

˙

˙ Ψ = ∫

𝑆𝐶

𝜌𝜓

⃗ 𝑢 ⋅

⃗ 𝑛 𝑑𝐴

O acúmulo de no volume de controle e a advenção através da superfície de

controle representa a taxa líquida de dita propriedade. De modo que:

𝐷 Ψ

𝐷𝑡

=

𝜕 Ψ

𝜕 𝑡

˙ Ψ =

𝜕

𝜕 𝑡

∫

𝑉𝐶

𝜌𝜓 𝑑𝑉 + ∫

𝑆𝐶

𝜌𝜓

⃗ 𝑢 ⋅

⃗ 𝑛 𝑑𝐴

: Derivada material

Advenção de através da SC

Balanço de quantidade de movimento

A quantidade de movimento é uma propriedade da matéria representada pelo

produto de a massa pela velocidade. É uma propriedade extensiva vetorial.

Pela segunda Lei de Newton para sistemas sólidos e particulados se expressa que:

Existe uma relação íntima entre a quantidade de movimento e as forças que sobre

o corpo se exercem

massa

⃗

𝐹

𝑟 ⃗

𝐹

3

⃗

𝐹

2

⃗

𝐹

1

1. Forças mútuas:

São as forças de contato entre o fluido e seu entorno. No caso do

volume de controle estas forças atuam na superfície de controle.

Força concentrada Força distribuída (^) Superfície Curva

Forças sobre o fluido

Propriedade Massa m kg

Vazão mássica kg/s

Fluxo mássico kg/s-m

2

Vazão volumétrica m

3

/s

Fluxo volumétrico m

3

/s-m

2

Vazões e Fluxos

Fluxo: É uma magnitude (vetorial ou tensorial) que representada a quantidade de

propriedade que atravessa uma unidade de área numa unidade de tempo :

𝜓

A vazão é a quantidade total que atravessa a superfície por unidade de tempo (escalar)

˙ Ψ = ∫

𝐴

⃗ 𝑞

𝜓

⋅

⃗ 𝑛 𝑑𝐴

As forças distribuídas

𝑑

⃗

𝐹

𝑑

⃗

𝐴

Vamos a definir primeiro um conceito

chamado de esforço. O esforço se define

como a força exercida sobre uma superfície

de modo que:

𝑑

⃗

𝐹 = 𝝈 ⋅

⃗ 𝑛 𝑑𝐴

é o esforço que ao ser multiplicado escalarmente pela área nos entrega o vetor força.

Esta magnitude é conhecida como tensor. Uma magnitude tensorial contém duas

direções (dois índices). Uma é a direção da força e a outra é a direção da área ( ).

Assim, para um vetor (3X1)

Ao multiplicar por uma matriz quadrada de 3X3:

Sendo

Tem-se um outro vetor () de modo que: (3X3) (3x1) = 3x

Abrindo temos:

𝑖

∑

𝑗 = 1

3

𝑖 , 𝑗

𝑗

𝑖 , 𝑗

𝑗

Na álgebra linear ao multiplicar uma matriz por um vetor obtemos outro vetor

Forças Mútuas

Esforço de corte

Esforço normal

O balanço de Quantidade de Movimento

𝐷

𝐷𝑡

𝜌 ⃗𝑢=

𝜕

𝜕

∫

𝑉𝐶

𝜌 𝑢⃗ 𝑑𝑉 + ∫

𝑆𝐶

𝜌 𝑢⃗ 𝑢⃗ ⋅

⃗ 𝑛 𝑑𝐴= ∑

𝑖

⃗

𝐹

𝑖

𝜕

𝜕

∫

𝑉𝐶

𝜌

⃗ 𝑢 𝑑𝑉 + ∫

𝑆𝐶

𝜌

⃗ 𝑢

⃗ 𝑢 ⋅

⃗ 𝑛 𝑑𝐴= − ∫

𝑆𝐶

𝑃

⃗ 𝑛 𝑑𝐴+ ∫

𝑆𝐶

𝝉 ⋅

⃗ 𝑛 𝑑𝐴+ ∫

𝑉𝐶

𝜌

⃗ 𝑔 𝑑𝑉

Equação de balanço integral de quantidade de movimento linear

Acúmulo

QM no VC

Advenção

QM pela SC

Força de

pressão

sobre a SC

Força

viscosa

sobre a SC

Força do

peso sobre

a SC

Água escoa num tubo de 5 cm de diâmetro dobrado a 180°. A dobra está vertical e tem

uma distância de 75 cm entre os flanges 1-2. Sabendo que a vazão mássica é de 23 kg/s

, p

1

=165 kPa e p

2

=134 kPa; determine a força que os flanges devem suportar para

manter o sistema fixo, desconsidere os efeitos viscosos.

Solução:

Para resolver o problema temos 2 equações:

1. Balanço de massa
2. Balanço de Forças (B. QM. em x)

Considera-se que:

1. O sistema é unidimensional (eixo x)
2. Estado estacionário
3. Fluido incompressível (

⃗ 𝑛

1

= 𝑒^

𝑥

⃗ 𝑛

2

= −

^ 𝑒

𝑥

𝑒^ ^

𝑥

⃗

𝐹

𝑅 ⃗ 𝑛

𝑔

= −

^ 𝑒

𝑦

𝜕

𝜕

∫

𝑉𝐶

𝜌

⃗ 𝑢 𝑑𝑉 + ∫

𝑆𝐶

𝜌

⃗ 𝑢

⃗ 𝑢 ⋅

⃗ 𝑛 𝑑𝐴= − ∫

𝑆𝐶

𝑃

⃗ 𝑛 𝑑𝐴+ ∫

𝑆𝐶

𝝉 ⋅

⃗ 𝑛 𝑑𝐴+ ∫

𝑉𝐶

𝜌

⃗ 𝑔 𝑑𝑉 +

⃗

𝐹 𝑅

∫

𝑆𝐶

𝜌 𝑢⃗ 𝑢⃗ ⋅

⃗ 𝑛 𝑑𝐴= ∫

𝐴 1

𝜌 𝑢⃗

1

⃗ 𝑢

1

⋅

⃗ 𝑛

1

𝑑 𝐴

1

∫

𝐴 2

𝜌 𝑢⃗

2

⃗ 𝑢

2

⋅

⃗ 𝑛

2

𝑑 𝐴

2

2. Balanço de QM:

A primeira integral:

∫

𝑆𝐶

𝜌 𝑢⃗ 𝑢⃗ ⋅

⃗ 𝑛 𝑑𝐴= − ∫

𝐴 1

⃗ 𝑢

1

𝑑 𝑚˙

1

∫

𝐴 2

⃗ 𝑢

2

𝑑 𝑚˙

2

= 𝑚˙ (𝑢

2

⃗ 𝑛

2

− 𝑢

1

⃗ 𝑛

1

)

ou:

A segunda integral:

−

∫

𝑆𝐶

𝑃 𝑛⃗ 𝑑𝐴= −

∫

𝐴 1

𝑃

1

⃗ 𝑛

1

𝑑 𝐴

1

−

∫

𝐴 2

𝑃

2

⃗ 𝑛

2

𝑑 𝐴

2

− ∫

𝑆𝐶

𝑃 𝑛⃗ 𝑑𝐴= − (𝑃

1

𝐴

1

⃗ 𝑛

1

• 𝑃

2

𝐴

2

⃗ 𝑛

2

)

A segunda Integral :

Substituindo se tem:

𝑚 ˙

𝑢

2

⃗ 𝑛

2

− 𝑢

1

⃗ 𝑛

1

= −

𝑃

1

𝐴

1

⃗ 𝑛

1

• 𝑃

2

𝐴

2

⃗ 𝑛

2

• 𝜌 𝑔𝑉 𝑛⃗

𝑔

⃗

𝐹

𝑅

𝑚 ˙

𝑢

2

( − 𝑒^

𝑥

) − 𝑢

1

( 𝑒^

𝑥

)

= −

𝑃

1

𝐴

1

𝑒^

𝑥

• 𝑃

2

𝐴

2

− 𝑒^

𝑥

• 𝜌 𝑔𝑉 ( − 𝑒^

𝑦

)+

⃗

𝐹

𝑅

Expressando os vetores unitários nos sistema cartesiano (

Ou:

⃗

𝐹

𝑅

= [

− 𝑚˙

𝑢

1

+𝑢

2

𝑃

1

− 𝑃

2

𝐴 ]

e ^

𝑥

[

− 𝜌 𝑔𝑉 ]

e ^

𝑦

𝑢 1

=𝑢 2

=

𝑚˙

𝜌 𝐴

⃗

𝐹

𝑅

=

[

− 2

˙

𝑚

2

𝜌 𝐴

𝑃

1

− 𝑃

2

𝐴

]

e ^

𝑥

+ [ − 𝜌 𝑔𝑉 ] e ^

𝑦